Ə. A. Quliyev

 

T

əkrarlı birləşmələr 

 

H

ər  hansı  çoxluğun  n  sayda  müxtəlif elementlərinin hər birinin 

yalnız bir dəfə daxil olduğu təkrarsız birləşmələrlə (məsələn, 384-399, 

411-

415 çalışmaları belə birləşmələrə aiddir) yanaşı eyni bir elementin 

bird

ən çox daxil olması mümkün olan təkrarlı birləşmələrə də baxmaq 

lazım gəlir. 

F

ərz edək ki, 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

əri uyğun olaraq 

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

 

d

əfə təkrarlanan M çoxluğu verilir. 

m

=

+

+

+

+

λ

γ

β

α

...

  olsun. M 

 

167 

çoxluğunu  nizamlanması  nəticəsində 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

əri  uyğun 

olaraq 

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

 d

əfə təkrarlanan m sayda elementi olan permutasi-

yalar alınır. Həmin permutasionlar təkrarlı permutasiyalar adlanır. 

Bel

əliklə 

α

 sayda 

β

,

a

 sayda 

γ

,

b

 sayda c v

ə s. 

λ

 sayda 

e

 ele-

mentl

ərindən ibarət  M  çoxluğunun  elementlərinin müəyyən qayda ilə 

h

ər  bir  nizamlı  düzülüşünə 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

əri  uyğun  olaraq 

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

  d

əfə  təkrarlanan 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

ərindən düzəlmiş 

t

əkrarlı permutasion deyilir. 

λ

γ

β

α

+

+

+

+

=

...

m

 

ədədinə permuta-

sionun t

ərtibi deyilir. 

Verilmiş elementlərdən düzəlmiş bütün mümkün olan təkrarlı permu-

tasiyaların  sayı 

( )

m

P

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

  il

ə  işarə  edilir. Burada 

λ

γ

β

α

+

+

+

+

=

...

m

 

bütün elementl

ərin sayı, 

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

 is

ə hər bir elementin təkrarlanması 

saylarıdır. Məsələn, 

b

a,

 elementl

ərinin hər biri 2 dəfə təkrarlanan tərtibi 

4

2

2

=

+

=

m

 olan təkrarlı permutasiyalar bunlardır: 

baba

bbaa

baab

abab

aabb

,

,

,

,

. 

Teorem  1.  Çoxluğun 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

əri  uyğun  olaraq 

λ

γ

β

α

...,

,

,

,

  d

əfə  təkrarlanan 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

ərindən düzəlmiş 

bütün mümkün müxt

əlif təkrarlı permutasiyaların sayı  (

)

!

!...

!

!

!

...

λ

γ

β

α

λ

γ

β

α

+

+

+

+

-a 

b

ərabərdir. Yəni, 

( )

(

)

!

!...

!

!

!

...

,...,

,

λ

γ

β

α

λ

γ

β

α

λ

β

α

+

+

+

+

=

m

P

, burada 

m

=

+

+

+

+

λ

γ

β

α

...

 

T

əkrarlı  permutasiyalar  haqqında  verilən nəzəri məlumatı  uyğun 

çalışmalarla möhkəmləndirmək lazımdır. 

416. “Riyaziyyat” sözünd

ən neçə  anaqram (bir kəlmənin hərfləri 

il

ə başqa söz düzəltmə) düzəltmək olar? 

417. 3 ağ və 2 qara dairəni yanaşı qoymaqla neçə naxış düzəltmək 

olar? 

418. 2, 3, 5 r

əqəmləri vasitəsilə 2 rəqəmi 3 dəfə, 3 və 5 rəqəmlə-

rinin h

ər biri isə 2 dəfə təkrarlanmaqla necə yeddi rəqəmli ədəd yazmaq 

olar? 

419. Eyni ölçüd

ə 10 dairəcik vardır. Bunlardan 3-ü ağ, 2-i qara və 

5-

i  qırmızıdır.  Dairəcikləri  yanaşı  qoymaqla  neçə  müxtəlif  naxış 

düz

əltmək olar?  

420. 2, 3, 0, 3, 4, 2, 3 r

əqəmləri vasitəsilə  neçə  müxtəlif 

yeddir

əqəmli ədəd yazmaq olar?  

 

168 

F

ərz edək ki, n sayda müxtəlif 

e

c

b

a

...,

,

,

,

  elementl

əri olan M 

çoxluğu  verilir.  Bu  elementlərdən hər birində  k element olan bütün 

mümkün olan çoxluqlar düz

əldək. Elementləri sayı k olan çoxluğun hər 

bir elementi verilmiş 

e

c

b

a

...,

,

,

,

 elementl

ərin birindən ibarətdir. 

1

>

k

 

ol

duqda  k  elementli  çoxluğun  elementlərindən bəziləri bir neçə  dəfə 

t

əkrarlana (əlbəttə  k-dan çox olmamaqla) bilər. Tərtib olunan bu 

çoxluqların hər biri, verilmiş n elementdən hər birində k element olan 

t

əkrarlı kombinizon adlanır. Beləliklə, elementlərinin hər biri verilmiş n 

elementin birind

ən ibarət olan k elementli hər bir M çoxluğuna verilmiş 

n elementd

ən hər birində k element olan təkrarlı kombinezon deyilir.  

M

əsələn, 

b

a,

 elementl

ərindən hər birində üç element olan təkrarlı 

kombinezonlar 

bbb

abb

aab

aaa

,

,

,

-dir. 

c

b

a ,

,

 elementl

ərindən hər bi-

rind

ə  iki element olmaqla düzəldilən təkrarlı  kombinezonlar  isə  bun-

lardır: 

cc

bc

bb

ac

ab

aa

,

,

,

,

,

. Verilmiş n elementdən hər birində k ele-

ment olmaqla düz

əldilən təkrarlı  kombinezonlar,  təkrarsız  kombine-

zonda olduğu kimi, biri birindən ona daxil olan elementlərlə fərqlənir. n 

elementd

ən hər birində k element olmaqla düzəldilən müxtəlif təkrarlı 

kombinezonların sayı 

k

n

C

m

 il

ə işarə edilir. Bilmək lazımdır ki, burada 

n

k

>

 ola bil

ər 

Teorem 2. n elementli çoxluqdan h

ər birində  k element olmaqla 

düz

əldilən bütün mümkün müxtəlif təkrarlı  kombinezonların  sayı 

(

)

(

)

!

1

!

!

1

1

−

−

+

=

=

−

+

n

k

k

n

C

C

k

k

n

k

n

 düsturu il

ə hesablanır. 

 

T

əkrarlı kombinezonlara aid müxtəlif məsələlər həll edilir. 

421.  Baxçada  10  adda  gül  vardır.  Bunlardan hər birində  20 gül 

olmaqla neç

ə üsulla buket düzəltmək olar? 

422. 10 müxt

əlif kitabdan 12-si neçə üsulla satıla bilər? 

423. Eyni n 

əşyanı p nəfərə neçə üsulla paylamaq oalr? 

F

ərz edək ki, n müxtəlif 

e

c

b

a

...,

,

,

,

 elementl

əri verilir. n element-

l

ərindən hər birində k element olan və k elementlərinin hər biri verilmiş 

n elementl

ərinin birindən ibarət bütün mümkün olan nizamlı çoxluqlar 

düz

əldək. 

1

>

k

 

olduqda bu çoxluqların bəzilərində ayrı-ayrı element-

l

ər bir neçə  dəfə  təkrarlana bilər (k dəfədən çox olmamaqla). Həmin 

çoxluqların hər biri verilmiş n elementdən hər birində k element olan 

t

əkrarlı aranjemanlardır. 

 

169 

Bel

əliklə, elementlərindən hər biri verilmiş n elementlərinin birin-

d

ən ibarət, k elementli hər bir nizamlı M çoxluğuna verilmiş n element-

d

ən hər birində k elemnt olan təkrarlı aranjeman deyilir. 

M

əsələn, verilmiş iki 

b

a,

  elementl

ərindən hər birində  3 element 

olmaqla düz

əldilə  bilən bütün mümkün olan müxtəlif təkrarlı  aranje-

manlar  bunlardır: 

bbb

bba

bab

abb

baa

aba

aab

aaa

,

,

,

,

,

,

,

.  Verilmiş  n 

elementd

ən hər birində  K elemnt olan müxtəlif təkrarlı  aranjemanlar, 

t

əkrarsız aranjemanlarda olduğu kimi, bir-birindən ya onlara daxil olan 

elementl

ərlə, yaxud da onların sırası ilə fərqlənir.  

n elementd

ən hər birində k element olan müxtəlif təkrarlı aranje-

manların sayı 

k

n

A

 il

ə işarə edilir.  

Teorem 3. n elementli çoxluqdan h

ər birində  k element olmaqla 

düz

əldilən bütün mümkün müxtəlif təkrarlı aranjemanların sayı 

k

n

-ya 

b

ərabərdir. Yəni 

k

k

n

n

A

=

. T

əkrarlı  aranjemanlara  aid  müxtəlif  çalış-

malar yerin

ə yetirmək olar. 

424. 1) 1, 2, 3 r

əqəmləri vasitəsilə neçə beşrəqəmli ədəd yazmaq 

olar?  

2) 1, 2, 3, 4 r

əqəmləri vasitəsilə neçə üçrəqəmli ədəd yazmaq olar?  

425. n 

əşyanı neçə üsulla k qutuya qoymaq olar? 

426. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 r

əqəmləri vasitəsilə 10000-dən kiçik neçə 

müxt

əlif ədəd yazmaq oalr? 

427. 1, 2,  3, 4, 5 r

əqəmləri vasitsəilə  4-ə  bölünən neçə  müxtəlif 

dördr

əqəmli ədəd yazmaq oalr? 

428. Binanın divarında bayraq üçün 8 yuva vardır. Yuvaların hər 

birind

ə yaşıl və ya qırmızı bayraq yerləşdirilməlidir. Bayraqları binanın 

divarında neçə müxtəlif üsulla yerləşdirmək olar? 

429. 

( )

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+

+

+

+

+

=

...

4

4

3

3

2

2

1

0

  çoxh

ədlisinin 

əmsallarını  onun  törəmələrinin  sıfır  nöqtəsindəki qiymətləri vasitəsilə 

ifad

ə edin. 

430. Tör

əmənin tətbiqilə 

(

)

10

1

+

x

  çoxh

ədlisində 

3

x

-in 

əmsalını 

tapın.  

431. Tör

əmənin tətbiqilə 

(

)

9

1

3

−

x

  çoxh

ədlisində 

2

x

-

ın  əmsalını 

tapın. 

432. Tör

əmənin tətbiqilə Nyuton binomu düsturunu isbat edin. 

 

170 

433. A, B, C ixtiyari hadis

ələrdirsə  heç olmasa iki hadisə  baş 

vermişdir hadisəsinin riyazi ifadəsini yazın. 

434. 4 düzgün metal pul eyni zamanda atılır. Bu sınaqda ən çoxu 

bir gerbin yuxarı düşməsi hadisələrini göstərin. 

435. Yeddi kart 1, 2, 3, …, 7 

ədədləri ilə nömrələnib, qutuya yığıl-

mışdır. Elementar hadisələr fəzasını yazın. 

436. Qabda 5 qırmızı, 4 mavi və 3 ağ kürəcik vardır. Bir kürənin 

seçilm

əsi sınağında elementar hadisələr fəzasının elementlərinin sayını 

tapın. 

437. H

ədəfə üç atəş açılır. 

k

A

 il

ə 

(

)

3

,

2

,

1

=

k

 

k

-

cı atəşdə hədəfin 

vurulması işarə edək. 

k

A

 v

ə 

k

A

 hadis

ələri üzərində 

∪

 v

ə 

∩

 

əməllə-

rind

ən istifadə edərək: 1) üç atəşin hər üçünün hədəfə dəyməsi hadisə-

sini; 2) üç at

əşin hədəfdən yayınması hadisəsini; 3) heç olmasa bir atə-

şin hədəfə dəyməsi hadisəsini yazın. 

438. İki metal pul atıldıqda hər ikisində gerb üzünün yuxarı düş-

m

əsi hadisəsinin əksi olan hadisəni deyin. 

439. 600 pomi

dor ştilini yoxladıqda onlardan 100 ədədinin tələf ol-

duğu bilindi. Əkilən ştilin bitməsi ehtimalının təqribi qiymətini tapın. 

440. Üç z

ər atılır. Zərlərin üçündə də yuxarıya düşən üzdə xalların 

sad

ə ədədlər olması hadisəsinin eyni imkanlı bütün nəticələrinin sayını 

v

ə bu hadisə üçün əlverişli nəticələrin sayını tapın. 

441.  Əlaçı  tələbə  imtahana  salınmış  150  sualdan  149-nu öyrənib 

imtahana g

əlmişdir. Hər biletə 5 sual salınmış və biletlər diqqətlə qarış-

dırılmışdır.  1)  Tələbə  biletin  suallarının  5-i də  bilir hadisəsinin ehti-

malını  tapın.  2)  Tələbə  biletin  suallarından  birini  bilmir  hadisəsinin 

ehtimalını tapın. 

442.  1)  B,  R,  C,  Ə  həriflərinin hərəsini  bir  karta  yazıb  qutuya 

yığdılar. Kartları diqqətlə qarışdırdıqdan sonra bir-bir təsadüfən çıxara-

raq sıraya düzdükdə, “Cəbr” sözünün alınma ehtimalını tapın. 

2) “Riyaziyyat” sözünün d

ə həmin qayda ilə alınma ehtimalını ta-

pın. 

443. Qabda 20 eyni kür

əcik vardır. Onların 12-si qırmızı, qalanları 

ağdır. Kürələrdən təsadüfən 5-i seçilir. Seçilmiş 5 kürənin 3-ü qırmızı-

dır hadisəsinin ehtimalını tapın. 

444. Murad dostunun telefonunun son iki r

əqəmini unutmuşdur. Bu 

r

əqəmlərin müxtəlif  olduğunu  bilərək onun ilk dəfə  təsadüfən  yığdığı 

nömr

ənin düzgün olması ehtimalını tapın. 

 

171 

445.  Qutuda  10  qırmızı,  6  yaşıl  və  8  ağ  kürəcik  vardır.  Qutudan 

t

əsadüfən 3 kürəcik  çıxarılır:  1)  kürəciklər müxtəlifdir hadisəsinin; 2) 

kür

əciklərin 3-ü də qırmızıdır hadisəsinin ehtimalını tapın. 

446. Düzgün olmayan z

ərin  atılma  sınağında  hər bir nəticənin 

ehtimalı 

( )

n

E

P

1

1

=

, 

( )

3

1

2

=

E

P

, 

( )

6

1

3

=

E

P

, 

( )

0

4

=

E

P

, 

( )

6

1

5

=

E

P

, 

( )

4

1

6

=

E

P

 

olmuşdur,  burada 

k

E

, 

6

1

≤

≤ k

, z

ərin 

atılmasında k xalın düşməsi hadisəsidir. 1) 

1

E

  v

ə 

3

E

  hadis

ələrindən, 

heç  olmasa,  birinin  baş  verməsi hadisəsinin; 2) 

2

E

  v

ə 

4

E

  hadis

ə-

l

ərindən,  heç  olmasa,  birinin  baş  verməsi hadisəsinin; 3) 

5

E

  v

ə 

6

E

 

hadis

ələrinin heç birinin baş verməməsi hadisəsinin ehtimalını tapın. 

447. Cüt-cüt ortaq n

əticələri  olmayan  (uyuşmayan)  A,  B, C 

hadis

ələri u elementar hadisələr fəzasını  əmələ  gətirirsə  və 

(

)

7

3

=

′

∩

′ B

A

P

 

olarsa, P(C) ehtimalını tapın. 

448. Elementar hadis

ələr fəzası 

{

}

3

2

1

,

,

E

E

E

 

olan sınaq üçün: 1) 

( )

7

1

1

=

E

P

, 

( )

14

5

2

=

E

P

, 

( )

2

1

3

=

E

P

, 2) 

( )

3

1

1

=

E

P

, 

( )

6

5

2

=

E

P

, 

( )

2

1

3

=

E

P

 

hal

larından hansı mümkündür?  

449. M

əktəbin 15 şagirdi riyaziyyat dərnəyinin üzvüdür. Bunların 

3-

cü oğlan qalanları qızdır. Xüsusi qabiliyyəti olan 8 nəfərdən ən çoxu 

bir n

əfərin oğlan olması hadisəsinin ehtimalını tapın. 

450. 

(

)

15

2

=

∩ B

A

P

 is

ə 

(

)

B

A

P

∪

 

ehtimalını tapın. 

451. 

{

}

D

C

B

A

U

,

,

,

=

  elementar hadis

ələr fəzasının  A,  B,  C,  D 

hadis

ələrinin cüt-cüt ortaq nəticələri  yoxdursa  (qarşılıqlı 

uyuşmayandırsa) və 

(

)

3

1

=

∪ B

A

P

, 

( )

8

3

=

C

P

 is

ə 

( )

D

P

 -

ni tapın. 

452. 

{

}

10

...,

,

3

,

2

,

1

=

A

 

çoxluğundan  təsadüfən üç müxtəlif  ədəd 

seçi

lir.  Seçilmiş  ədədlərin: 1) cəminin  cüt;  2)  hasilinin  cüt  olması 

ehtimalını tapın. 

 

172 

453. A v

ə  B hər  hansı  sınağın  iki  hadisəsi, 

(

)

8

7

=

∪ B

A

P

, 

( )

8

5

=

A

P

 v

ə 

(

)

4

1

=

∩ B

A

P

 is

ə, 

(

)

B

A

P

/

 

şərti ehtimalını tapın. 

454.  Qutuda  radiusları  eyni  olan  14  qırmızı,  10  yaşıl  və  12  sarı 

kür

əcik vardır. Qutudan təsadüfən 1 kürə götürülür. O, sarı deyildirsə, 

qırmızı olması ehtimalını tapın. 

455. 

{

}

8

...,

,

3

,

2

,

1

=

A

 

çoxluğunun  hər  bir  alt  çoxluğu  karta 

yazılaraq  qutuya  salınır.  Təsadüfən  bir  kart  çıxarılır.  Kartdakı  alt 

çoxluğun 6 elementli olduğu məlumdursa, 4-ün bu kartda olmadığının 

ehtimalını tapın. 

456.  Atılan  iki  zərin birincisində  4 xal düşmüşdür.  İkinci zərdə 

düşən xalın 6 olması ehtimalı nəyə bərabərdir?  

457. D

əmir pul və zər atılır. İsbat edin ki, “rəqəm düşdü” və “tək 

xal düşdü” hadisələri asılı deyil. 

458. A hadis

əsi B hadisəsindən asılı deyil. İsbat edin ki, A hadisəsi 

B

 hadis

əsindən də asılı deyil. 

459. Üç eyni formalı qutunun birincisində 5 ağ və 5 qara, ikinci-

sind

ə 4 ağ və 6 qara, üçüncüsündə isə 7 ağ və 3 qara kürəcik vardır. Qu-

tu

ların birindən ağ kürə çıxdığını bilərək onun ikinci qutudan çıxması 

ehtima

lını tapın. 

460. Tird

əki 5 tüfənglə atılan güllələrin hədəfə dəymə ehtimalları 

uyğun olaraq 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6-dır. bu tüfənglərdən birini təsadüfən 

götürmüş atıcının bir atəşlə hədəfi vurma ehtimalını tapın. 

461.  Kinoteatrın  tamaşa  zalında  10  sıra,  hər  sırada  isə  10 yer 

vardır. Sıra və sıradakı yerin nömrələri cəminin cüt, yoxsa tək olması 

daha ehtimallıdır? 

462. Əvvəlki məsələni: 1) 6 sıra, hər sırada isə 6 yer və 2) 7 sıra, 

h

ər sırada isə 7 yer olduqda həll edin.  

463. D kvadratlanan müst

əvi fiqur, D

1

 is

ə onun daxilində yerləşən 

ixtiyari  oblast  olsun.  D  oblastının  daxilində  təsadüfən götürülən bir 

nöqt

ənin D

1

 

oblastından olması ehtimalını tapın. 

464. Katetl

əri 6 və 8 olan düzbucaqlı üçbucağın daxilində təsadü-

f

ən götürülən bir nöqtənin bu üçbucağın təpələrindən 2-dən böyük mə-

saf

ədə olan oblastın olması ehtimalını tapın. 

 

173 

“Çoxluq anlayışı kimi funksiya da əsas və ilk anlayışdır” 

F.Xausdorf