Ə. A. Quliyev

x

x

z

y

z

y

f

+

−

+

−

=

2

, burada C-ixtiyari 

sabitdir, başqa sözlə baxılan halda 

z

y

 

parametrlərindən asılı ifadədir. 

C-ni tapmaq üçün 

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

C

x

x

z

y

z

y

y

x

z

x

z

y

z

y

x

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

2

2

2

2

2

2

2

 

eynil

iyində 

0

=

x

 

götürək, onda 

c

zy

yz

=

−

2

2

 odur ki,  

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)(

)

z

x

y

x

z

y

yz

x

z

y

x

z

y

yz

x

x

z

y

z

y

f

−

−

−

−

=

+

+

−

−

−

=

−

−

+

−

=

2

 

Qeyd edək ki, sonuncu çevirmədə üçhədlinin vuruqlarına ayrılmasl 

Viyet teoreminə əsaslandı. Baxılan məsələni onun x-ə nəzərən kvadrat 

üçhədli  olmasından  istifadə  edərək  törəməni  tətbiq  etmədən  də  həll 

etmək  olar.  Sonrakı  məsələdə  də  verilmiş  ifadə  x-ə  nəzərən  kvadrat 

üçhədlidir, lakin onu aşkar şəkildə göstərmək üçün bir qədər mürəkkəb 

çevirmə  aparmaq  lazım  gəlir,  lakin  törəməni  tətbiq  etməklə  vuruqlara 

ayırmağı daha asanlıqla yerinə yetirmək olur. 

120. c dəyişəni baxılan ifadəyə ən az dərəcədən daxil olduğundan 

ona 

( )

c

f

 

funksiyası kimi baxıb  

( )

(

)

(

)

(

)

=

−

+

+

+

−

−

=

−

+

+

−

−

=

′

c

b

abd

c

b

c

a

ab

a

bc

ad

b

b

a

c

a

c

f

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 

(

)

2

2

2

a

bd

b

ac

a

−

+

−

=

 

alırıq.  Odur  ki, 

( )

(

)

1

2

2

2

C

a

bd

b

ac

c

f

+

−

+

−

=

. Burada 

1

C

  - 

yalnız 

d

b

a ,

,

-

dən 

asılı 

ixtiyari 

sabitdir. 

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

2

2

2

2

2

2

2

C

a

bd

b

ac

bc

ad

b

a

d

b

c

a

+

−

+

−

=

−

−

+

−

+

−

 

eyniliyində 

a

c

=

 götürüb  

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

=

−

−

+

−

=

+

−

−

−

−

+

−

=

b

a

b

a

d

b

bd

b

d

b

a

b

a

d

b

C

 

 

alırıq.  

Beləliklə, verilmiş ifadə 

(

)

2

2

2

b

a

bd

ac

−

−

+

 - 

na bərabərdir. 

121.  y-

i  sabit  hesab  edərək  verilmiş  ifadəni 

( )

x

f

  -

lə  işarə  edib 

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+

+

−

=

+

+

+

+

+

−

−

=

′

y

y

x

y

x

x

y

x

x

y

y

x

x

x

f

cos

2

sin

2

sin

cos

cos

sin

cos

2

sin

2

sin

 

(

)

0

2

sin

cos

2

=

+

+

y

x

y

 

alırıq. Odur ki, 

( )

C

x

f

=

. Bu eynilikdə 

y

x

−

=

2

π

 

götürüb 

y

c

2

sin

=

 

alırıq. Beləliklə, verilmiş ifadə 

y

2

sin

-

ə bərabərdir. 

Qeyd  edək  ki,  C  inteqral  sabitini  tapmaq  üçün  diferensiallanmanın 

 

250 

aparıldığı dəyişəni elə qeyd etmək lazımdır daha sadə çevirmə aparmaq 

lazım gəlsin. 

122. 

Verilmiş ifadəni 

( )

a

f

 ilə

 

işarə edib 

( )

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

=

−

−

+

⋅

+

=

+

−

−

−

−

+

−

+

−

+

+

=

′

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

a

f

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

 

( )

1

24

,

24

C

abc

a

f

bc

+

=

=

, 

( ) (

) (

) (

) (

)

0

0

3

3

3

3

1

=

−

−

+

−

−

−

+

=

=

b

c

c

b

c

b

c

b

f

C

 

alırıq.  Belə-

liklə, baxılan ifadə  abc

24

-

yə bərabərdir. 

123. 

Verilmiş ifadəni 

( )

x

f

 

-

lə işarə edib 

( ) (

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

−

+

+

+

+

=

+

+

−

+

+

−

+

+

+

=

′

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

z

y

xz

xy

x

y

x

z

y

z

x

z

y

z

x

y

x

x

f

 

) (

)

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

y

x

y

z

yz

xz

xy

−

=

−

−

−

−

−

 

alırıq,  buradan  ( )

C

xyz

x

x

f

+

−

=

6

2

3

 

və 

0

=

x

 

olduqda bu eynilikdən 

(

)

(

)

3

3

3

3

3

2

2

3

z

y

z

y

xyz

z

y

z

y

C

+

=

+

−

+

+

+

=

  

alırıq. Beləliklə, 

(

)

xyz

z

y

x

f

3

2

3

3

3

−

+

=

. 

124. 

n

k

n

n

k

n

n

k

n

k

2

cos

2

2

2

cos

1

1

1

π

π

π

π

∑

∑

=

=

=

 

olduğundan limitin altındakı 

ifadə 









2

;

0

π

 

inteqrallama  parçasını  n  bərabər  hissəyə  bölməklə 

x

y

cos

=

 

funksiyasının  inteqral  cəminin 

π

2

-

yə  hasilinə  bərabərdir. 

Odur ki, axtarılan limit 

∫

=

2

0

2

cos

2

π

π

π

xdx

-

yə bərabərdir. 

125. İxtiyari  

0

≥

x

 üçün 

3

3

x

x

arctgx

−

≥

 

bərabərsizliyi ödənilir. 

Doğrudan da bu bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinin fərqinin törəməsi 

mənfi feyil, odur ki, bu fərq 0-a bərabər olan ən kiçik qiymətini 

0

=

x

 

olduqda alır. Beləliklə, 

∫

∫

∫

=









−

=

−

>

1

0

2

1

0

3

1

0

9

8

3

1

3

sin

dx

x

dx

x

x

x

dx

x

arctgx

. 

126.  Aşkardır  ki,  -3  və  -5  bu  tənliyin  kökləridir.  Onun  digər 

köklərini  tapmaq  üçün 

4

+

= x

y

 

əvəzləməsini  aparaq,  onda  tənlik 

(

) (

)

2

1

2

4

3

2

=

+

−

+

−

y

y

y

 

və ya 

0

1

2

2

3

4

=

+

−

−

+

y

y

y

y

 

şəklinə 

düşər. 1 və -1 alınmış bu tənliyin kökləridir; bu lazımı qruplaşdırmanı 

 

251 

tapmağa  kömək  edir: 

(

)

−

−

+

=

+

−

−

+

2

1

2

2

2

2

3

4

y

y

y

y

y

y

y

 

(

)

(

)(

) (

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

3

2

−

+

+

−

=

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

−

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

.  Bundan  sonra  verilmiş  tənliyin  qalan  iki  kökünü  asanlıqla  tapmaq 

olar: 

0

1

2

=

−

+ y

y

, 

2

5

1

,

2

5

1

2

1

+

−

=

−

−

=

y

y

. Onda 

2

5

9

,

2

5

9

4

3

+

−

=

+

−

=

x

x

. 

127.  Verilmiş  funksiyanı 

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

3

2

1

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

1

1

+

−

+

=

+

−

+

=

+

=

−

 

şəkildə göstərək. İkinci toplananın ibtidai funksiyasını asanlıqla tapmaq 

olar, birinci toplanan isə 

( )

x

f

 

şəkildədir, lakin burada 

3

1

x

+  ikihədlisi 

qüvvətinin  dərəcəsi  bir  vahid  azdır,  odur  ki,  onu  da  analoji  qaydada 

çevirmək 

mümkündür. 

Bu 

prosesi 

davam 

etdirməklə 

( )

(

)

(

)

1

3

2

2

3

2

3

2

1

...

1

1

1

−

+

−

−

+

−

+

−

=

n

x

x

x

x

x

x

x

x

f

 

bərabərliyini  

alırıq. Beləliklə 

( )

x

f

-

in ibtidai funksiyası  

( )

(

) ( ) ( )

(

)

(

)

C

x

n

x

x

x

x

x

F

n

+

+

−

+

+

+

+

+

+

+

−

=

−1

3

2

3

3

3

1

1

3

1

...

1

6

1

1

3

1

1

ln

3

1

ln

 

şəkildədir.  

128. Aşkardır ki, -1 və 2 verilmiş tənliyin kökləridir, onun başqa 

kökü olmadığını göstərmək lazımdır. Doğrdudan da bu tənliyin üç kökü 

olsa idi, onda 

29

26

3

2

−

−

+

x

x

 

funksiyası  üç  nöqtədə  sıfıra  bərabər 

olardı,  bu  halda  isə  onun 

( )

26

3

ln

3

2

−

=

′

+

x

x

f

 

törəməsinin  Roll 

teoreminə görə [28, İT, səh 225] ən azı iki kökü olardı. Lakin aşkardır 

ki, 

( )

x

f

′

 

artan  funksiyadır  və  birdən  çox  olmayan  nöqtədə  sıfıra 

bərabər olar. 

129.  Sistemin  birinci  tənliyini 

(

)

(

)

1

2

2

1

1

2

2

2

=

−

+











 −

+

−

z

y

x

 

şəkildə  yazmaq  olar,  buradan  görünür  ki,  O  radiusu  1  və  mərkəzi 













2

,

2

1

,

1

C

 

nöqtəsində olan sferanın tənliyidir. C nöqtəsindən sistemin 

ikinci  tənliyi  ilə  verilən  müstəviyə  qədər  məsafə  1-ə  bərabərdir. 

 

252 

Beləliklə, verilmiş sistemin sferanın müstəviyə M toxunma nöqtəsindən 

ibarət yeganə həlli vardır. Aşkardır ki, M nöqtəsi müstəvi ilə yönəldici 

vektoru 

(

)

12

,

4

,

3

−

 

olan, C nöqtəsindən keçən düz xəttin kəsişməsidir, 

deməli  bu  nöqtənin  koordinatları 













=

+

−

−

=

−

−

=

−

12

12

4

3

12

2

4

2

1

3

1

z

y

x

z

y

x

 

tənliklər 

sisteminin həllidir. Bu sistemdən 

13

14

,

26

21

,

13

10

=

=

=

x

y

x

 

alırıq.  

130. 

Verilmiş 

tənliyi 

8

3

12

24

3

3

+

=

+

−

+

x

x

x

, 

8

3

12

24

12

3

3

+

=

+

+

+

x

x

x

 

şəklində  yazmaq  olar.  Sonuncu 

bərabərliyin  sol  tərəfi  azalan  sağ  tərəfi  isə  artan  funksiyadır,  odur  ki, 

onun birdən çox kökü ola bilməz. Digər tərəfdən aşkardır ki, 

2

−

=

x

 

bu  tənliyin  köküdür.  Beləliklə,  verilmiş  tənliyin  yeganə 

2

−

=

x

 

həlli 

vardır. 

131. 

İnteqralın altındakı kəsrin surətini 

(

)

+

+

=

+

x

x

a