Ə. A. Quliyev

(

)

xdx

x

d

cos

sin

=

 

və 

(2)  düsturundan  istifadə  edib 

∫

∫

+

+

=

−

=

C

x

x

x

xdx

x

x

xcoxdx

cos

sin

sin

sin

 

alırıq.  

303 (20). 

∫

∫

∫

∫

+

+

−

=

+

+

+

−

=

+

+

−

=

+

C

arctgx

x

x

x

dx

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

3

1

1

1

1

1

1

1

3

2

2

4

2

4

2

4

. 

304.  İnteqralaltı  funksiyanın 

2

2

x

x

y

−

=

 

yəni 

(

)

0

,

1

1

2

2

≥

=

−

+

y

x

y

 

qrafikini  quraq.  Bu  qrafik  mərkəzi 

A(1;  0)  nöqtəsində  və  radiusu  1  olan 

(Şəkil  78)  yarımçevrədir.  İnteqral 

yarımçevrə  və 

5

,

0

=

x

, 

0

=

y

  düz 

xətlərilə əhatə olunmuş əyrixətli trape-

siyanın  sahəsinə  bərabərdir.  Bu  sahə 

ABC üçbucağının və CAD sektorunun 

sahələri  cəminə  bərabərdir.  ABC 

üçbucağında 

5

,

0

=

AB

, 

3

5

,

0

=

BC

, 

0

60

=

∠CAB

. 

(

)

8

3

=

ABC

S

,  dərəcə 

ölçüsü 120

0

 

olan  sektorun  sahəsi 

(

)

3

π

=

CAD

S

. 

Beləliklə, 

3

8

3

2

2

5

,

0

2

π

+

=

−

∫

dx

x

x

. 

305.  Konusu  oturacaq  müstə-

visinin paralel müstəvilərlə “elementar 

konuslara” ayıraq (Şəkil 79). Müstəvi 

ilə  kəsmə  nəticəsində  oturacaqları 

konu

sun  oturacağından 

x

 

və 

x

x

∆

+

 

məsafədə  olan  alınmış  konuslardan 

 

336 

birinə  baxaq.  Onun  oturacağının  radiusu 

( )

H

x

H

R

x

r

r

−

⋅

=

=

, 

hündürlüyü 

x

∆

-

dir. Onun həcmi təqribən oturacağının radiusu həmin 

radius  olan  silindrin  həcminə  yəni 

( )

x

r

x

V

∆

=

2

π

,  kütləsi  isə 

( )

x

d

r

x

m

∆

=

2

π

 

dir. Baxılan silindri 

x

 

hündürlüyünə qaldırmaq üçün 

tələb  olunan  işi 

A

∆

 

ilə  işarə  edək.  Onda 

x

dgx

r

A

∆

=

∆

2

π

 

və  ya 

dgx

r

x

A

2

π

=

∆

∆

. Burada limitə keçib 

dgx

r

A

2

π

=

′

 

alırıq. Onda  

(

)

(

)

∫

∫

∫

=

+

−

=

−

=

=

H

H

H

dx

x

Hx

x

H

H

dg

R

xdx

x

H

H

dg

R

dgxdx

r

A

0

3

2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

π

π

π

 

12

4

3

2

2

2

2

0

4

3

2

2

dg

H

R

x

Hx

x

H

H

π

=









+

−

=

 

306. Suyun müqavimət qüvvəsi bir tərəfdən təcillə, digər tərəfdən 

isə  məsələnin  şərtinə  görə  sürətlə  mütənasibdir.  Beləliklə,  sürətin 

törəməsinə  bərabər  olan  təcil,  sürətin  özü  ilə  mütənasibdir,  yəni 

kv

V

=

′

, 

kdt

V

dv

kv

dt

dv

=

= ,

.  Dəyişənlərinə  ayrılan  diferensial  tənlik 

aldıq.  Alınmış  tənliyin  hər  tərəfini  inteqrallayıb 

∫

∫

= kdt

V

dv

, 

1

ln

C

kt

v

+

=

, 

1

C

t

k

e

v

+

=

, 

( )

t

k

ce

t

v

=

.  Qayığın  başlanğıc  sürəti  10 

m/san olduğundan 

( )

10

0

=

v

, 

0

10

e

C

=

, 

10

=

C

. 5 saniyədən sonra 

qayığın  sürəti  8  m/san  olduğundan 

( )

8

5

=

V

, 

k

e

5

10

8

=

, 

5

8

,

0

ln

=

k

. 

Sürətin  nə  vaxt  1m/san  qədər  azaldığını  müəyyənləşdirmək  üçün 

t

k

e

10

1

=

 

tənliyindən t-ni tapmaq lazımdır, 

k

t

1

,

0

ln

=

, 

8

,

0

ln

1

,

0

ln

5

=

t

. 

307. 

π

π

2

4

2

1

2

1

2

=

⋅

=

= dR

S

. 

308. 

( )

11

10

1

5

=

+

=

−

f

. 

 

337 

309. 

0

4

3

2

4

3

2

4

3

2

3

2

4

2

2

2

2

=

−

+

+

⇒

=

+

+

⇒

=

+

+

⇒

+

+

=

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

x

y

, 

2

4

3

1

−

=

−

=

y

D

, 

0

≥

D

 

olmalıdır. 

0

2

4

≥

−

y

, 

0

2

4

≥

−

y

y

, 

( ) (

]

2

;

0

=

y

E

;  ƏBQ  2-yə  bərabərdir.  Verilmiş  funksiyanın  qiymətlər 

çoxluğunu  belə  də  tapmaq  olar: 

(

)

0

2

1

4

2

>

+

+

=

x

y

, 

0

>

y

, 

(

)

2

2

2

4

2

1

4

2

≤

⇒

=

≤

+

+

=

y

x

y

. Buradan 

2

0

≤

< y

. 

 

310. 

3

5

π

 - IV rüb 

0

3

5

sin

<

π

, 

7

5

π

- II rüb 

0

7

5

cos

<

π

, 

8

7

π

- II 

rüb 

0

8

7

<

π

tg

;  

3- II rüb 

0

3

<

ctg

; 

0

3

8

7

7

5

cos

7

5

sin

>

ctg

tg

π

π

π

. 

311. 

( ) ( )

3

3

f

f

=

−

, 

( ) ( )

4

4

f

f

=

−

, 

( ) ( )

4

3

−

<

−

f

f

 

312. Məlumdur ki, 

( )

x

f

 

funksiyasının əsas düvrü T olarsa, onda 

(

) (

)

(

)

Z

n

nT

x

f

T

x

f

T

x

f

∈

+

=

=

+

=

±

,

...

2

 

bərabərlikləri  doğru-

dur. Odur ki, 

( ) (

) ( )

3

2

4

3

2

14

=

=

⋅

+

=

f

f

f

. 

313.  Əvvəlcə 

( ) { }

x

x

f

=

 

funksiyasının  dövrü  funksiya  olduğunu 

göstərmək  lazımdır.  Doğrudan  da 

x

 

ədədini  müsbət  tam  və  vahidlər 

qədər 

artırsaq, 

onun 

kəsr 

hissəsi 

dəyişməz 

qalar: 

(

) {

}

[

]

[ ]

(

)

[ ]

−

−

+

=

+

−

+

=

+

−

+

=

+

=

+

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

f

 

[ ]

{ }

x

x

x

n

=

−

=

−

, burada n müsbət tam ədəddir. Deməli 

( ) { }

x

x

f

=

 

dövrü funksiyadır. Bu dövr isə istənilən müsbət n tam ədəddir. Müsbət 

tam  ədədlər  içərisində  ən  kiçiyi  1-ə  bərabər  olduğu  üçün  baxılan 

funksiyanın ən kiçik müsbət dövrü T=1-dir.  

Qeyd edək ki, 

( )

[ ]

x

x

f

=

 

funksiyası dövrü funksiya deyil. 

[ ]

2

-

də 

bu fakt əksini fərz etmə metodu ilə isbat olunur. 

 

338 

314. 

t

x

=

+

2

1

 

işarə 

edək. 

Onda 

( )

( )

1

2

1

2

2

1

2

1

2

+

=

⇒

+

=

+

−

=

⇒

−

=

x

x

f

t

t

t

f

t

x

 

315. 

5

4

2

5

4

5

4

2

2

2

+

−











 −

=

+













−

=

+

−

=

a

a

x

a

x

a

x

a

x

ax

y

. 

Bu funksiya 

(

]

1

;

∞

−

-

də azalan, 

[

)

∞

+

;

1

-

da artan olduğundan 

0

>

a

 

və 

1

2 =

a

 

olmalıdır. Odur ki, 

2

=

a

-dir.  

316. 

( )

(

)

(

)(

)

2

1

2

2

2

2

3

+

−

=

−

+

=

−

+

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

 

funksiyasının  sıfırları 

2

,

1

,

0

−

=

=

=

x

x

x

 

-dir. Odur ki, 

(

) ( )

1

;

0

2

;

∪

−

∞

−

∈

x

 olduqda 

0

<

y

, 

(

) (

)

∞

+

∪

−

∈

;

1

0

;

2

x

 olduqda 

isə 

0

>

y

 

(Şəkil 80). 

 

317. 

0

≥

x

  olduqda 

1

−

= x

y

 

funksiyasının qrafikini quraq və 

onun  bu  hissəsini  Oy  oxuna 

nəzərən  simmetrik  köçürək 

(Şəkil 81). Funksiyanın sıfırlarını 

tapaq: 

1

,

1

0

1

−

=

=

⇒

=

−

x

x

x

. 

Şəkildən 

görünür 

ki, 

(

) (

)

∞

+

∪

−

∞

−

∈

;

1

1

;

x

-da 

0

>

y

, 

(

)

1

;

1

−

∈

x

-

də 

0

<

y

.  

(

]

0

;

∞

−

 

aralığında  verilmiş 

funksiya  azalır, 

[

)

∞

+

;

0

  -da 

artır. 

318. 

( )

( )

x

f

x

f

−

=

−

  oldu-

 

339 

ğundan 

( )

9

2

2

+

=

x

x

x

f

 

tək  funksiyadır. 

0

>

x

  olduqda 

x

x

6

9

2

≥

+

 

(

ab

b

a

2

2

2

≥

+

 

bərabərsizliyinə  görə) 

3

1

9

2

2

≤

+

⇒

x

x

.  Bərabərlik 

3

=

x

 

olduqda alınır. Deməli 

( )

3

1

3

=

f

 

verilmiş funksiyanın ƏBQ-dir. 

Funksiya  tək  olduğundan 

( )

3

1

3

−

=

−

f

 

və  bu  qiymət  funksiyanın 

ƏKQ-dir.  

319.  Sektorun  qövsünün  uzunluğu 

l

, radiusu R olsun. Sektorun 

perimetri 

R

l

2

+

 

olduğundan, şərtə görə 

R

l

l

2

2

+

=

, 

R

l

2

=

. Qövsün 

uzunluğu 

R

l

α

=

 

düsturu ilə hesablanır, burada 

α

 

mərkəzi bucaqdır. 

Onda 

radian

R

R

R

l

2

2

=

=

=

α

. 

320. Şərtə görə 

6

3

sin

2

π

⋅

=

m

, onda 

2

2

sin

2

=

=

π

m

. 

321. Məlum teoremə görə 

( )

x

f

y

=

 

funksiyası əsas dövrü T olan 

dövrü  funksiyasıdırsa 

(

)

b

kx

Af

y

+

=

-

nin  əsas  dövrü 

K

T

-dir. 

Buradan  alınır  ki, 

x

cos

 

funksiyasının  əsas  dövrü 

π

2

 

olduğu  üçün 













+

=

4

3

2

cos

2

1

π

x

y

 

funksiyasının əsas dövrü 

π

π

3

3

2

2

=

=

T

-dir. 

322. 

×









+

=

+

+

+

=











 +

+

2

2

1

3

4

sin

4

cos

3

4

cos

4

sin

3

4

sin

3

4

4

sin

3

4

sin

3

π

π

π

t

t

t

t

t

 

(

)

ϕ

+

+

=

















−

+

+

+

=

+

×

t

t

t

t

t

4

sin

2

2

3

4

cos

2

2

2

4

sin

2

2

2

2

2

3

4

cos

2

2

3

4

sin

. Burada 

2

2

2

cos

+

=

ϕ

, 

2

2

2

sin

−

ϕ