Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Onda
( ) ( ) ∫ ≠ + + = + 0 , 1 a C b ax F a dx b ax f
(4). Burada ( ) b ax x + = ϕ . ( ) ( ) ( ) b ax d b ax f a dx b ax f + + = + 1 . b)
( ) ∫ + = C t t dt ln
bərabərliyindən istifadə edib, ( )
0 ≠
ϕ
( ) ( )
( ) ( )
( ) C x x x d x dx x + = = ′ ∫ ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ln
(5) alırıq. c) 0 , 1 , 1 1 > − ≠ + + = + ∫ t C t dt t α α α α
olduğundan 332
( ) ( ) ( ) ( )
( ) C x x d x dx x x + + = = ′ + ∫ ∫ 1 1 α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α α (6) Burada ( )
0 , 1 > − ≠ x ϕ α . 303 (4-
11) inteqrallarını (4)-(6) düsturlarının tətbiqilə hesablayırıq. 4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x C x x d x dx x + + = + + ⋅ = + + = + ∫ ∫ 45 3 5 9 3 5 5 1 3 5 3 5 5 1 3 5 9 9 8 8
5) ( ) ( ) ∫ ≠ + − + = + + = + − 1 , 1 1 , ln 1 k C k a x k C a x a x dx k k
6) ( ) ∫ ∫ + + = + + = +
a x a x a x d a x xdx 2 2 2 2 ln 2 1 2 1
7) ( ) ∫ ∫ + + = + + = +
a x a x a x d a x xdx 2 2 2 2 2 8)
( ) ∫ ∫ ∫ + = = = C x x x d dx x x ctgxdx sin
ln sin
sin sin
cos
9) ∫ ∫ ∫ > + = − = − = − 0 , arcsin
1 1 2 2 2 2 a C a x a x a x d a x a dx x a dx
10) 0 , 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ≠ + = + = + = + ∫ ∫
C a x arctg a a x a x d a a x a dx x a dx
11) + + − − = + − − = + − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ a a x a a x a x dx a a x dx a dx a x a x a a x dx 2 ln 2 ln 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 0 , ln 2 1 ≠ + + − = + a C a x a x a C
333
12) x t x a − = + 2 2 əvəzləməsindən istifadə edək. Onda 2 2
2 2
tx t x a + − = + , t a t x 2 2 2 − = ; t a t t a t t t a t t x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + − = − − = + ; 2 2 2 2 1
a t dx + ⋅ =
alarıq. Bu qiymətləri verilmiş inteqralda yerinə yazıb ∫ ∫ ∫ + + + = + = = + + ⋅ = + C x a x C t t dt t a t t a t x a dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 1 alırıq. 13) 303(12)- nin ümumiləşdirilməsi məqsədilə verilən bu inteqralı hesablamaq üçün
− = + + 2 əvəzləməsindən istifadə etmək olar. Onda
− = + + 2 - dən
a b c t x + + − = 2 2 , ( ) 2 2 2 2 2 2 a t b c a tb a t dx + + + = , a t b c a bt t a c bx ax 2 2 2 + + + = + +
alınır. Bu qiymətləri verilmiş inteqralda yerinə yazıb sadə çevirmələr apardıqdan sonra ∫ ∫ + + = + +
b dt c bx ax dx 2 2 2
və burada u a b = + + 2
əvəzləməsindən istifadə edib
a b u t 2 − = ,
a dt 2 2 = , ( ) 1 2 1 2 ln 1 ln 1 2 2
c bx ax x a b a c u a a t b dt + + + + + = + = + ∫
alırıq. 303 (14-
17) şəklində inteqralları hesablamaq üçün inteqralaltı funksiyanın surətini,məxrəcin törəməsini ayırmaqla, ( ) a b b ax a x 2 2 2 α β α β α − + + = +
bərabərliyindən istifadə edərək çevirmək məqsədəuyğundur. Göründüyü kimi 303(14) və 303(15) uyğun olaraq 303(16) və 303(17)-nin ümumiləşdirilməsidir. Bu deyiləni xüsusi hal üçün sonuncu iki inteqral üzərində göstərək: 334
303 (16). ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 2 9 4 3 2 2 3 4 3 − + = − + + = + x x x
olduğundan ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + − + + + + = + + − + + + = + + + 5 3 2 1 5 3 5 3 2 3 5 3 2 1 5 3 3 2 2 3 5 3 4 3 2 2 2 2 2 2 x x dx x x x x d x x dx dx x x x dx x x x
Sonra məxrəcdə tam kvadratı ayıraq: = + + = − + + = + + 4 11 2 3 4 9 5 2 3 5 3 2 2 2
x x x
2 2 2 2 2 11 2 3 a t x + = + +
= , burada 2 3
= x t , 2 11 =
. Odur ki, 0 , 1 2 2 ≠ + = + ∫
C a t arctg a t a dt
düsturundan istifadə edib C x arctg x x d x x dx + + =
+ +
+ = + + ∫ ∫ 11 3 2 11 2 2 11 2 3 2 3 5 3 2 2 2 alırıq. Beləliklə, ( ) C x arctg x x dx x x x + + − + + = + + + ∫ 11 3 2 11 1 5 3 ln 2 3 5 3 4 3 2 2 303 (17). ( )
∫ ∫ ∫ = − − − − − = − − − − = − − 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 5 4 x x dx dx x x x dx x x x dx x x x
( ) ∫ ∫ − − − − − 2 2 2 3 2 x x dx x x x x d . 2 2 2 2 1 2 1 − − = − x x x
və ∫ > + = − 0 , arcsin
2 2
C a t t a dt
olduğundan ( ) ∫ ∫ + − = − − −
= −
x x x d x x dx 1 2 arcsin 2 1 2 1 2 1 2 2 2 . Beləliklə, ( )
x x x dx x x x + − − − = − − ∫ 1 2 arcsin 3 4 5 4 2 2 . Ümumiləşdirməni (yəni 303 (14-15)-in həllini) göstərilən 303 (16- 17) xüsusi hallarına analoji olaraq yerinə yetirmək olar. 303 (18). Fərz edək ki, ( )
və ( ) x v
eyni aralıqda təyin olmuş x - dən asılı diferensiallanan funksiyalardır. Onda ( ) vdu udv uv d + = (1). ( )
C uv uv d + = ∫
olduğundan (1) düsturundan alınır ki, 335
( ) ∫ ∫ ∫ + = = +
uv uv d vdu udv . Odur ki, hissə-hissə inteqrallama adlanan ∫ ∫ − =
uv udv
(2) düsturu doğrudur. Verilmiş inteqralda ( ) x x u ln = və
( ) x x v =
işarə edək. ( )
dx x x d 1 ln =
və (2) düsturundan istifadə edib ( )
∫ ∫ ∫ + − = ⋅ − = − =
x x x dx x x x x x xd x x xdx ln 1 ln ln ln ln
alırıq. 303 (19). ( )
x x u =
və ( )
x x v sin
=
işarə edək. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|