Ə. A. Quliyev

1.15.İki ekvivalent bərabərsizlik (Xs.). Məsələ 1. Hər hansı üçbucağın 

t

ərəfləri uzunluqları 

c

b

a ,

,

 is

ə 

(

)

(

)

(

)

abc

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

3

2

2

2

≤

−

+

+

−

+

+

−

+

 

(1) olduğunu isbat edin.  

M

əsələ2.  İxtiyari  üçbucağın  A,  B,  C  bucaqları  üçün 

2

3

cos

cos

cos

≤

+

+

C

B

A

 

(2)  olduğunu  isbat  edin.  Bu  məsələlərdən 

birisinin h

əlli məlumdursa onda digərini  asanlıqla  ona  gətirmək olar. 

F

ərz edək ki, 2 məsələsi həll  edilmişdir.  Bu  halda  1-in necə  həll 

edildiyini göst

ərək. (2) bərabərsizliyindən istifadə  etməklə  (1)-i isbat 

etm

ək lazımdır. Lakin əvvəlcə (2) –in başqa üsulla həllini bilmək yaxşı 

olar. (2)-in sol t

ərəfini belə 

çevir

ək: 

C

B

A

B

A

C

B

A

cos

2

cos

2

cos

2

cos

cos

cos

+

−

+

=

+

+

.  Şərtə  görə 

0

180

=

+

+

C

B

A

 

olduğundan 

2

90

2

0

C

B

A

−

=

+

, Odur ki, 

2

sin

2

90

cos

2

cos

0

C

C

B

A

=













−

=

+

; 

1

2

cos

0

≤

−

≤

B

A

  -dir; Onda 

2

sin

2

cos

2

cos

C

B

A

B

A

≤

−

+

,  

Bel

əliklə, 

2

sin

2

1

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

2

cos

2

2

C

C

C

C

C

B

A

B

A

−

+

=

+

≤

+

−

+

; 

x

C =

2

sin

 

işarə etsək 

1

2

2

2

sin

2

1

2

sin

2

2

2

+

+

−

=

−

+

x

x

C

C

 

alarıq. 

İndi 

2

3

1

2

2

2

≤

+

+

−

x

x

 

olduğunu  isbat  etsək, onda buradan (2)-in 

doğru  olması  alınır. 

1

2

2

2

+

+

−

=

x

x

y

  t

ənliyi ilə  verilən parabolaya 

ba

xaq.  Bu  parabolanın  təpəsi 













2

3

;

2

1

  nöqt

əsidir,  onun  qolları  isə 

 

68 

aşağıya  doğru  yönəlmişdir.  Deməli 

x

∀

  üçün 

2

3

1

2

2

2

≤

+

+

−

x

x

 

b

ərabərsizliyi  doğrudur.  Beləliklə  (2) bərabərsizliyi (1)-dən istifadə 

etm

ədən isbat edildi.  İndi  (2)-dən istifadə  etməklə  (1)  –  isbat edək. 

Bunun üçün n

əzərə alaq ki, 

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

−

+

+

−

+

+

−

+

=

=

−

+

+

−

+

+

−

+

  (3) Dem

əli isbat etmək 

lazımdır  ki, 

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≤

−

+

+

−

+

+

−

+

ab

c

b

a

ac

b

a

c

bc

a

c

b

  (4). 

Kosinuslar teoremin

ə əsasən (4) dən (2)-ni alarıq, yəni (1) doğruluğunu 

f

ərz etdiyimiz (2) bərabərsizliyinə gətirildi.  

F

ərz edək ki, 1 həll edilmişdir. Bu halda 2-in necə həll edildiyini 

göst

ərək. (1)-dən istifadə etməklə (2)-i isbat etmək lazımdır. Kosinuslar 

teoremin

ə  görə 

bc

a

c

b

A

2

cos

2

2

2

−

+

=

; 

ac

b

c

a

B

2

cos

2

2

2

−

+

=

; 

ab

c

b

a

C

2

cos

2

2

2

−

+

=

 

y

azarıq. Deməli (2) –ni 

(

) (

) (

)

abc

c

b

a

c

b

c

a

b

a

c

b

a

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≤

−

+

+

−

+

+

−

+

 

(5) 

şəkildə  yazmaq olar. (3) bərabərsizliyini nəzərə  almaqla (5)-i (1) 

şəkildə  yazmaq olar. Beləliklə  (2) bərabərsizliyi, fərziyəyə  görə  isbat 

ed

ə bildiyimiz (1) bərabərsizliyinə gətirildi. Bir sıra çalışmaları, xüsusi 

halda b

ərabərsizlikıərin isbatını, göstərilən üsulla yerinə yetirmək olar 

ki, bu da mü

əyyən ümumiləşdirmədir.  

1.16. Limit v

ə kəsilməzlik 

1. Ümumi qeydl

ər 

2. Ardıcıllığın limiti 

3. Funksiya

nın limiti 

4. Funksiyanın kəsilməzliyi 

1. M

əktəb kursuna analizin başlanğıcının daxil edilməsi onun ideya 

m

əzmununu kifayət qədər zənginləşdirmiş  və  praktik cəhətdən 

genişləndirmişdir. Lakin bununla yanaşı məktəb riyaziyyatında yüksək 

d

ərəcədən  mürəkkəb,  əsasla sürətdə  didaktik  işlənmək tələb edən, 

anlayışlar əmələ gəlmişdir. 

Tarix

ən törəmə anlayışı, riyaziyyatda funksiyanın limiti anlayışının 

d

əqiq tərifinin  hazırlanmasından  əvvəl  yaranmışdır.  Bu  məntiqi  çatış-

 

69 

mazlığa baxmayaraq XVII-XVIII əsr riyaziyyatçılarına o kifayət qədər 

aydın görünmüşdür. Funksiyanın kəsilməzliyi anlayışı da uzun müddət 

bel

ə  intuitiv  qalmışdır.  Odur  ki,  A.N.Kolmoqorov  tarixi  yanaşmanı 

t

ətbiq edərək funksiyanın limitinin dəqiq tərifini vermədən törəmə an-

layışını  daxil  edir

1

.  O,  funksiyanın  limitini,  funksiyanın  kəsilməzliyi 

anlayışı  ilə  müasir  ciddi  formada  şagirdləri  tanış  etdikdən sonra, izah 

edir. 

Bu  anlayışların  daxil  edilməsi  ardıcıllıqları  haqqındakı  məsələni 

mübahis

əli hesab etmək olarsa, onda dəqiq tərifin yeri haqqındakı m-

əsələ heç bir şübhəyə səbəb olmur. Funksiyanın kəsilməzliyi və limiti 

kimi mür

əkkəb  anlayışlardan  söhbət getdikdə, mübahisəsizdir ki, hər 

şeydən əvvəl onları şagirdlər üçün intuitiv aydın etməli və yalnız bun-

dan sonra d

əqiq riyazi tərifə başlamaq lazımdır. Şagirdlərin öz sözləri 

il

ə  “dəqiq olmayan dildə” funksiyanın  kəsilməzliyi və  limiti anlayış-

larının nə demək olduğunu izah etmək bacarığı aydındır ki, dəqiq tərifi 

ifad

ə edə bilmək bacarmaqdan (xüsusən bu ifadədə hər şey şagirdlərə 

aydın  olmayan  halda)  az  əhəmiyyətli deyildir. Bundan belə  nəticə 

çıxarmaq  olmaz  ki,  funksiyanın  kəsilməzliyi və  limiti anlayışlarının 

d

əqiq təriflərini ifadə etməyin əhəmiyyəti yoxdur. 

Ancaq bel

ə  nəticə  çıxarmaq  olar  ki,  aydın  tərif,  bu  anlayışlar 

konkret misallar üz

ərində kifayət qədər izah edildikdən sonra, meydana 

g

əlməlidir. 

Aşağıda ardıcıllığın limiti, funksiyanın limiti və kəsilməzliyi anla-

yışlarının  daxil  edilməsinin  mümkün  olan  metodik  yanaşmalarından 

birin

ə baxaq.  

 

2.Ardıcıllığın limiti 

2.1. 

Ardıcıllıq dedikdə natural arqumentli funksiya 

N

n

a

n

f

n

∈

→ ,

:

 

başa  düşülür. Odur ki, mahiyyət  etibarı  ilə  sonsuzluqda  xüsusi halda 

funksiya  N  çoxluğunda  təyin  olduqda,  funksiyanın  limitindən söhbət 

gedir. 

Pedaqoji nöqteyi n

əzərdən  bu  xüsusi  halın  ayrılması  tamamı  ilə 

özünü doğruldur, bir tərəfdən o intuitiv aydın və əyani, digər tərəfdən 

is

ə  çoxlu tətbiqləri, o cümlədən riyaziyyat kursunun özündə  (sonsuz 

silsil

ələr, çevrənin uzunluğu, cismin səthi və həcmi) vardır.  

                                                 

1

Колмогоров А.Н., функции, графики, непрерывные функции. 

“

математика в школе”, 1965, №6, cт 12-21 

 

70 

2.2.Ardıcıllığın  limiti  məktəbdə  çoxdan öyrənmə  obyektidir. Pe-

daqoji  –  riyazi 

ədəbiyyatda  ardıcıllığın  limiti  anlayışının  məktəbdə 

öyr

ənilməsinə aid müxtəlif nöqteyi-nəzərləri əks etdirən  metodik işlər 

vardır

1

. Bu fikirl

ərin müqayisəli təhlili tədrisə hazırlaşanlar üçün şüb-

h

əsiz ki, faydalıdır. Bunu onlara sərbəst iş kimi tapşırmaq olar. 

2.3.Ardıcıllığın limiti anlayışının daxil edilməsi prosesinin müm-

kün olan metodik sxeml

ərindən birini göstərək. 

Ardıcıllığa aid müxtəlif misalları və onların ədəd düz xətti üzərində 

t

əsvirini nəzərdən keçirməklə işə başlamaq məsləhətdir. 

(1)   

,...

,...,

3

,

2

,

1

n

 

(2)   

,...

1

,...,

3

1

,

2

1

,

1

n

 

(3)   

,...

,...,

16

,

9

,

4

,

1

2

n

 

(4)   

,...

1

,...,

9

1

,

4

1

,

1

2

n

 

(5)    

( )

,...

2

1

...,

,

8

,

4

,

2

n

n

⋅

−

−

−

 

(6)    

( )

,...

2

1

1

,...,

8

1

,

4

1

,

2

1

1

n

n

⋅

−

−

+

 

(7)   

,...

1

,...,

4

3

,

3

2

,

2

1

+

n

n

 

(8)   

( )

...

,

1

...,

,

1

,

1

,

1

n

−

−

−

 

(9)   

( )

,...

10

1

1

,...,

10

1

,

10

1

,

10

1

1

+

−

−

n

 

(10)    

(

)

,...

2

1

,

1

2

,...,

4

1

,.

3

,

2

1

,

1

n

n

−

 v

ə s. 

Bu ardıcıllıqların “özünü aparmasındakı” mühüm fərqləri asanlıqla 

görm

ək olar. 

Onlardan b

əziləri üçün ((2), (4), (6), (7), (8), (9)) ardıcıllığın bütün 

h

ədlərinin daxil olduğu ədəd düzxət parçasını göstərmək olar, başqaları 

((1), (3), (5), (10)) üçün is

ə belə parça yoxdur. 

                                                 

1

 

a) Aşkunidze В.Т., Шоластер Н.Н. Алгебра и элементарные функции. b) 

s

əh 2-də çıxarış. c)  Методика в школе və  “Квант”jurnalları 

 

71 

Bu v

əziyyət riyazi olaraq məhdud və  qeyri-məhdud  anlayışları 

vasit

əsilə  izah edilir. Məhdudluq və  qeyri-məhdudluğun  intuitiv  başa 

dü

şülmələrindən (təsəvvüründən) istifadə  edərək  biz  aşağıdakı  dəqiq 

anlayışlara gəlirik. 

{ }

n

a

 - m

əhdud ardıcıllıqdır:  

(

)( )

[

]

l

a

n

l

n

≤

∀

>

∃

0

 

{ }

n

a

  -  qeyri m

əhdud  ardıcıllıqdır: 

(

)( )

[

]

l

a

n

l

n

≥

∀

>

∃

0

  v

ə  ya 

(

)( )

[

]

l

a

n

l

n

>

∃

>

∀

0

 

(1)-

(10)  ardıcıllıqlarından  məhdud və  qeyri-məhdud  ardıcıllıqları 

ayırdıqdan sonra  məhdud  ardıcıllıqların özünü aparmasını daha ətraflı 

t

əhlil etmək təbiidir. 

Bu t

əhlilə əsasən belə nəticəyə gəlirik ki, məhdud ardıcıllıqlar da 

“özl

ərini” həmişə “eyni” aparmırlar. 

M

əsələn  (2),  (4),  (6),  (7)  ardıcıllıqlarının  hər birinin özünü aparma-

sında  (8),  (9)  məhdud  ardıcıllıqlarında  olmayan  mühüm  xüsusiyyətlər 

mü

əyyən edilir, belə ki: bu ardıcıllıqların hədləri ardıcıllığın hədlərinin n 

nömr

əsinin artması ilə bir nöqtənin ətrafına “yığılırlar” , hamısı bu nöqtəyə 

yaxınlaşır, hamısı bu nöqtə ilə təsvir olunan ədəddən çox az fərqlənir. 

Bütün bu v

ə başqa ifadə üsulları əlbətdə dəqiq deyil: onlar yalnız konkret 

v

əziyyətlərin müşahidəsi nəticəsində yaranmış intuitiv anlayışları izah edir. 

H

ər hansı məhdud ardıcıllığın özünü aparmasındakı müəyyən edil-

miş xüsusiyyətlərin dəqiq riyazi şərhinə keçmək üçün hər hansı konkret 

misala 

ətraflı baxmaq lazımdır. 

2.4.Nümun

ə olaraq aşağıdakı qayda ilə alınan cizgilənmiş sahələr 

ardıcıllığına baxaq (Şəkil 11). Birinci kvadratın yarısı cizgilənir, hər bir 

sonrakında isə əvvəlki kvadratın cizgilənməsinin qalan hissəsinin yarısı 

cizgil

ənir. 

 

72 

Bu  prosesin  sonsuz  olduğunu  təsəvvür edərək və  bir kvadratdan 

dig

ərinə  keçdikdə  cizgilənmiş  sahələrin necə  dəyişdiyini  müşahidə 

ed

ərək asanlıqla müəyyən etmək olar ki, cizgilənmiş 

n

S

S

S

S

...,

,

,

,

3

2

1

 

sah

ələri ardıcıllığı 1) artandır (hər bir sonrakı cizgilənmiş sahə əvvəl-

kind

ən böyükdür); 2) 

( )

[

]

1

<

∀

n

S

n

 

olduğundan  məhduddur (cizgilən-

miş  ixtiyari  sahə  kvadratın  1-ə  bərabər qəbul edilən sahəsindən ki-

çikdir); 3) Cizgil

ənmiş  sahələr 1-ə  istənilən qədər  “yaxınlaşır”,  yəni 

sah

ələrin cizgilənməsi prosesini kifayət qədər davam etdirməklə  1-dən 

ist

ənilən qədər az fərqlənən sahə ala bilərik. Başqa sözlə desək, əvvəlcə-

d

ən istənilən qədər kiçik müsbət 

ε

 

ədədi versək, ardıcıllığın elə həddini 

tapmaq olar ki, 1-d

ən fərqi 

ε

-

dan  kiçik  olar.  Baxılan  vəziyyəti digər 

analitik aspektd

ə  öyrənmək məqsədəuyğundur.  Cizgilənmiş  sahələrin 

qiym

ətlərini asanlıqla tapmaq olar: 

n

n

n

S

S

S

S

2

1

2

...;

;

8

7

;

4

3

;

2

1

3

2

1

−

=

=

=

=

  

Bel

əliklə, 

n

n

2

1

2

,...,

8

7

,

4

3

,

2

1

−

 

ardıcıllığını öyrənirik.  

1 il

ə  bu  ardıcıllığın  ümumi  həddi  arasındakı  fərqi tapaq: 

n

n

n

2

1

2

1

2

1

=

−

−

.

 

F

ərqin əvvəlcədən verilmiş 

ε

 

ədədindən kiçik olmasını istəyiriksə, 

y

əni 

ε

<

n

2

1

  olmas

ını  istəyiriksə,  aydındır  ki, 

ε

1

log

2

>

n

  götürm

ək 

kifay

ətdir. Alınmış münasibət həmin ardıcıllıq hədlərini 1-dən istənilən 

q

ədər az fərqlənməsi haqqındakı bizim intuitiv fərziyyəmizi təsdiq edir 

v

ə dəqiqləşdirir. 

H

əmin vəziyyəti ardıcıllığın hədlərinin düz xəttin nöqtələri şəklin-

d

ə təsviri nəticəsində alınan həndəsi mənzərə ilə göstərməklə d\ nəzər-

d

ən keçirmək məqsədəuyğundur. (Şəkil 12) 

 

 

73 

Ardıcıllığın hədlərini təsvir edən nöqtələrin 1 nöqtəsi ətrafına “top-

lanması” müəyyən edilir, yəni hər hansı həddən başlayaraq sağ ucu 1 

nöqt

əsində  olan ixtiyari kifayət qədər  kiçik  parçada  ardıcıllığın  bütün 

h

ədləri, bu parçanın xaricində isə sonlu sayda hədlər yerləşir. Məsələn 

uzunluğu 

10

1

=

ε

 b

ərabər parçanı götürsək, onda onun xaricində ardı-

cıllığın  birinci  üç  həddi, daxildə  isə  dördüncüdən  başlayaraq  bütün 

h

ədlər yerləşir; 

100

1

=

ε

 götürdükd

ə, onun xaricində əvvəldən 6 hədd, 

daxild

ə isə bütün qalanları yerləşir. 

Aydındır ki, 

ε

 çox kiçik seçs

ək, bu parçanın xaricində ardıcıllığın 

çox h

ədləri, lakin həmişə sonlu saydası, daxilində isə hər-hansı həddən 

başlayaraq hamısı olar.  

Qeyd etm

ək lazımdır ki, göstərilən halda ardıcıllığın hədləri hamısı 

1 d

ən solda yerləşməklə onun ətrafında toplanır (çünki 

( )

[

]

1

<

∀

n

S

n

).  

Burada h

ədləri  sağda  və  ya hər iki tərəfdə  yerləşməklə  nöqtə 

ətrafını yığılan (toplanan) ardıcıllıqlara misallar göstərmək lazımdır. 

M

əsələn, 

,...

1

,...,

3

1

,

2

1

,

1

n

 

ardıcıllığının  hədləri O nöqtəsindən 

sağda yerləşməklə onun ətrafına toplanır, 

( )

,...

1

1

,...,

4

1

,.

3

1

,

2

1

,

1

1

n

n

+

−

−

−

 

ardıcıllığının  hədləri isə  onun hər iki tərəfində  yerləşməklə  ona  ya-

xınlaşır.