Ə. A. Quliyev
Ən sadə sıralar (X-XI)
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.13.Funksional t ənliklər.
|
1.11. Ən sadə sıralar (X-XI). Şagirdlərin silsilələrlə tanışlığı IX sinfin c
əbr kursunda “ədədi və həndəsi silsilə” mövzusu ilə əlaqədar olur. Sonra X sinifd ə “Cəbr və analizin başlanğıcı” kursunda “Sonsuz ardıcıllıqlar və onların limiti” mövzusunda onların ən sadə sıralarla tanışlığı imkanı yaranır. Ən sadə ədədi sıraların öyrənilməsinin z əruriliyini sonsuz dövrü onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi, habelə sonsuz azalan h əndəsi silsilənin hədləri cəmi haqqında məsələlər həlli zamanı göstərmək olar. Birinci həddi 0 1 ≠ = a a v
ə ortaq vuruğu q olan h
əndəsi silsiləyə baxaq: ,...
..., , , 1 −
aq aq a , şagirdlər məlum düstur üzr ə bu silsilənin ilk n həddi cəmini tapa bilərlər. Bu silsilənin bütün h ədlərinin cəmini tapmaq olarmı, yəni ... ...
1 2 + + + + + −
aq aq aq a
c əmini tapmaq mümkündürmü? Bu cəm sonsuz sayda toplananlardan ibar
ətdir və ilk baxışdan məsələnin həll olunmazlıqı görünür. Eyni zamanda sonsuz h əndəsi silsilənin hədlər cəminin tapıla bilməsi belə fikir yaradır ki, məsələ realdır. Yalnız onu dəqiq ifadə etmək və uyğun an- 54
layışlara tərif vermək lazımdır. Müəllim qeyd edir ki, ...
... 2 1 + + + + n x x x
şəklində ifadə sıra adlanır. İndi məsələ bu ifadənin ədədi qiymətini müəyyən etməyi və onu hesablamağı öyrətməkdən iba- r ətdir. Ədədi sıranın tərifini daxil etdikdən sonra şagirdlərə deyilir ki, ardıcıllığın n a ümumi h əddi, sıra halında sıranın ümumi həddi adlanır. Qısa olaraq ümumi həddi n a
olan sıra isə ∑ ∞ =1 n n a
şəklində yazılır. Sıranın xüsusi cəmi və onun limiti anlayışlarından istifadə edərək sıra- nın cəminin tərifi verilir, “yığılan” və “dağılan” sıra istilahlarının məz- munu açılır. Bunun üçün konkret misallardan istifadə olunur. Ədədi sıraları öyrəndikdən sonra onun xüsusi halı kimi sonsuz azalan həndəsi silsil ənin hədləri cəminə qayıtmaq lazımdır. Şagirdlərin ən sadə sıralar v ə bununla əlaqədar anlayışları yaxşı başa düşmələri üçün ardıcıllıq və onun limiti haqqında bilməlidirlər, bunlara aid müvafiq çalışmalar həll etm
əlidirlər. Sonra ən sadə sıralar haqqında nəzəri məlumatlar uyğun çalışmalar üzərində öyrədilməlidir. Konkret misallar üz ərində sıranın ilk n həddi cəminin tapılması, h ədləri müsbət olan sıranın yığılan olmasını göstərmək üçün bütün xüsusi c əmlərin hər hansı eyni bir c ədədindən kiçik olduğunu gös- t ərməyin kifayət olması, onun xüsusi cəmləri ardıcıllığının yığılan “ix- tiyari artan m əhdud ardıcıllığın limiti vardır” təklifindən alınması, sonlu c əmlər üçün doğru olan “hədlərin yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir” qanununun ümumiyy ətlə sonsuz sıraya aid olmaması, mütləq və şərti yığılan sıra anlayışları, yığılan sıra üçün { }
n a
ardıcıllığının sıfıra ya- xınlaşması şagirdlərə öyrədilir. Bu zaman baxılan sıranın hədlərinin yerinin dəyişdirilməsi ilə əla- q ədar ümumiləşdirmə və analogiya aşağıdakından ibarət olur: Möt ərizələrdən istifadə edərkən ehtiyatlı olmaq lazımdır. Ən sadə misal olaraq 1-1+1- 1+... dağılan sırasında mötərizələri (1-1)+(1-1)+... kimi qoymaqla o, sıfıra yığılan sıraya çevrilir. Lakin belə bir fakt diqq
əti daha çox cəlb edir: elə dağılan sıra vardır ki, mötərizələrin müvafiq şəkildə qoyulması ilə o, əvvəlcədən verilmiş ixtiyari ədədə yığılan olur. Ədədi sıraların təlimində Riman teoreminin (ixtiyari şərti yığılan sıranın hədlərinin yerini dəyişməklə dağılan və cəmi ixtiyari əvvəl- c ədən verilmiş ədədə bərabər olan yığılan sıralar almaq olar) mühüm 55
yer tutur. Bu teoremin isbatında, adətən, köməkçi təklifdən ( ... 3 2 1 + + + a a a
sırası şərti yığılırsa, onda onun müsbət hədlərindən t ərtib olunmuş sıra dağılandırsa, mənfi hədlərindən düzəlmiş sıra da dağılır) istifadə etmək lazım gəlir. Riman teoreminin kompleks variantı ilə əlaqədar demək olar ki, bu vaxta q ədər sıranın n a h
ədlərini ixtiyari həqiqi ədəd hesab edirdik. Onlar kompleks ədədlər də ola bilər. Riyazi analizd ə ∑
= + + + + + = 0 2 1 0 ... ... n n n a a a a a
ədədi sıra- sının xüsusi cəmi adlanan n n A A ∞ → = lim limiti varsa v ə sonludursa o verilmiş həmin sıranın cəmi adlanır. Bu tərifə əsasən “rəqs edən” dağı- lan sıranın cəmi olmadığı deyilir və belə sıralara çox vaxt sistematik ola
raq baxılmır. Lakin XVIII əsrin ikinci yarısında riyazi analiz sah
əsində müxtəlif faktlar, məsələn iki yığılan sıranın hasilinin dağılması, hər hansı yeni mənada dağılan sıraların cəmlənməsinin müm künlüyü qarşıya qoyuldu. Məlum oldu ki, belə “cəmləmənin” bəzi metodları olduqca lazımlı məsələdir. Həmin metodlar haqqında mək- t əbdə ətraflı məlumat vermək mümkün deyil. Lakin riyaziyyatda ümu- mil əşdirmə əməliyyatının əhəhmiyyətli olduğunu göstərmək məqsədi il ə bir sıra qeydlər etməyi lazım bilirik. Demək lazımdır ki, Koşi tərə- find ən limitlərin ciddi nəzəriyyəsinin yaradılmasına qədər (və onunla əlaqədar sıralar nəzəriyyəsinin) riyaziyyatda dağılan sıralara az təsadüf edilmişdir. Onların isbatlarda tətbiqi mübahisəli olsa da, ayrı-ayrı hallarda bunlara ədədi məna vermək cəhdləri olmuşdur. Məsələn, hələ Leybnis ə qədər 1-1+1-1+... sırasının cəmi olaraq 2 1
ədədi götürülmüşdür. Eyler bunu bel ə əsaslandırmışdır ki, ... 1
1 5 4 3 2 + − + − + − = + x x x x x x
ayrılışında (yalnız 1 < x
olduqda doğru olan) x yerində 1 yazdıqda h əqiqətən ... 1
1 1 2 1 + − + − = alınır. Bununla artıq həqiqətən başlanğıcı vardır, lakin məsələnin qoyuluşunda aydınlıq yoxdur. Müasir analizd ə məsələ başqa cür qoyulur. Sıranın bu və ya digər d əqiq ifadə edilmiş “ümumiləşdirilmiş cəmi” – nin tərifi əsas götürülür. 56
Bu t ərifin yalnız bu və ya digər konkret ədədi sıraya deyil belə sıraların tam sinfin ə tətbiq edilməsi nəzərdə tutulur. Bunun qanuni olmasına heç bir şübhə yoxdur: oxucu xatırlamalıdır ki, hətta adi “sıranın cəmi” anlayışı, nə qədər sadə və təbii görünsə, yalnız məqsədəuyğunluqda özünü doğruldan, şərti qəbul edilmiş tərif əsasında daxil edilməlidir. “Ümumil
əşdirilmiş cəmin” tərifi adətən, iki tələbi ödəməlidir. Birincisi ∑
a
sırasının “ümumiləşdirilmiş cəmi” A, ∑ n b sırasının “ümumi- l əşdirilmiş cəmi” B isə, onda ( ) ∑ + n n qb pa
sırasının “ümu- mil əşdirilmiş cəmi”, burada q p, iki ixtiyari sabitdir, qB pA +
ədədi olmalıdır. Bu tələbi ödəyən cəmləmə metoduna xətti cəmləmə metodu deyilir. İkincisi, adi tərif yeniyə xüsusi hal kimi daxil olmalıdır. Daha doğrusu, adi mənada A cəminə yaxınlaşan sıranın “ümumiləşmiş cəmi” d ə olmalıdır və o da A-ya bərabərdir. Bu xassəni ödəyən cəmləmə metoduna t ənzimli (müntəzəm) cəmləmə metodu deyilir. Əlbəttə, adi c əmləmə metoduna nisbətən daha geniş sinifdə “cəmləmə” müəyyən etm əyə imkan verən müntəzəm metod maraqlıdır: yalnız bu halda tam əsasla “ümumiləşdirilmiş cəmləmə” haqqında danışmaq olar. Sıranın “ümumil
əşmiş cəmi” anlayışına uyğun olaraq dağılan inteqral üçün “ümumil
əşdirilmiş qiymətdən” danışmaq mümkündür. Riyaziyyatdan xüsusi qabiliyy ətli şagirdlərə gələcəkdə göstərilən anla
yışların əsas xüsusiyyətləri və tətbiqləri ilə ətraflı tanış olacaqla- rının mümkünlüyünü demək lazımdır. M əktəb riyaziyyat kursunda ardıcıllığın monotonluğu və məhdu- dluğu anlayışlarına xüsusi diqqət verilməlidir. Riyazi analizlə ilk dəfə tanış olan şagirdlər üçün bir çox faktlar (ardıcıllığın artması, azalması, m əhdudluğu, funksiyanın kəsilməzliyi və s.) intuitiv olaraq aydın görünür. Eyni zamanda riyazi analizin m əzmunu intuisiyanın göstər- dikl ərini məntiqi olaraq təsdiq və inkar etmək bacarığı tələb edir. İlk ad dımdan burada intuisiya və məntiqin dialektikasını hiss etdirmək, yeni m ərhələdə müşahidələr əsasında ümumiləşdirmələr aparmağı, “aşkar” faktların formallaşdırılması ilə məntiqi olaraq nöqsansız və praktik t ətbiqlər üçün faydalı nəticələrin qurulmasına necə keçirildiyini şagirdlərə anlatmaq lazımdır. 1 .12. Ədədlərin toplananlarına ayrılması məsələsi kombi- natorikanın maraqlı bölmələrindən biridir. Bu məsələdə verilmiş ədədi bu v ə ya digər şərtlərə əsasən neçə üsulla toplananlarına (məsələn, cüt v ə tək toplananlarına, bərabər olmayan toplananlarına və s.) ayırmağın 57
mümkünlüynü h əll etmək lazım gəlir. Ədədlərin toplananlarına ayrıl- masını L.Eyler ətraflı öyrənmişdir. Bir sıra müxtəlif məsələlər onun baxdığı: “Qiymətləri k n n n ...,
, , 2 1
olan markalar satılır. Bu qiymətlər vasit əsi ilə, sırası ilə fərqlənən iki üsul müxtəlif hesab edilərsə, N manatı neçə üsulla xərcləmək olar” məsələsinin xüsusi hallarıdır. M əktəbdə birləşmələr nəzəriyyəsinin elementləri öyrənildiyindən X-XI sinifl ərdə bu məsələyə baxmaq olar. N manatın qiymətləri
...,
, , 2 1 olan markalara x ərclənmə üsullarının sayını ( )
N f
– l ə göst ərək. Onda ( ) (
) ( ) ( ) k n N f n N f n N f N f − + + − + − = ... 2 1 (1) münasib əti ödənir. Doğrudan da fərz edək ki, N manatın verilmiş markalara xərclənməsi üsullarından hər hansı biri məlumdur və sonuncu markanın qiyməti 1
- dir. Onda bütün qalan markaların qiyməti 1 n N − olar. T ərsinə, ümumi d əyəri 1 n N −
olan markaların ixtiyari kombinasiyasına qiyməti 1
olan bir markanı birləşdirməklə markaların dəyəri N manat olan kombinasiyalarını alırıq. Bununla dəyəri 1
N − olan müxt əlif kombinasiyalardan d əyəri N manat olan müxtəlif kombinasiyalar alınır. Bel
əliklə, axtarılan kombinasiyaların sayı, axırıncı markanın qiyməti 1
manat olduqda ( ) 1 n N f − - y ə bərabərdir. Eyni qayda ilə isbat edilir ki,
2 n d
əyərli marka ilə qurtaran kombinasiyaların sayı ( ) 2 n N f − -y ə, k n n ,..., 3 d əyərli markalarla qurtaran kombinasiyaların sayı isə uyğun olaraq
( ) ( ) k n N f n N f − − ..., , 3 - ə bərabərdir. İxtiyari kombinasiya göst ərilən tip markaların biri ilə qurtardığından (1) münasibəti doğrudur. Bu münasib ətdə,
0 < N is
ə, mənfi miqdarda pul xərcləmək mümkün olmadığından ( ) 0
N f . Habel
ə sadə hesablama göstərir ki, ( )
1 0 = f
(1) münasib ətinin köməyi ilə ardıcıl olaraq ( ) ( )
( ) 1 ..., , 2 , 1 − N f f f -i he-
sablamaqla ixtiyari N üçün ( )
N f -i tapmaq olar. k n n n k = = = ...,
, 2 , 1 2 1 olduqda, bu m əsələnin xüsusi hallarına baxaq. N ədədinin
,...,
2 , 1 toplananlarına, toplananların ardıcıllığı ilə fərqlənən toplananları müxtəlif hesab etm əklə, bütün mümkün ayrılışını alırıq. Bu ayrılışların sayını ( )
N , ϕ
il ə işarə edək. (1) münasibətindən alınır ki, 58
( ) ( ) ( ) ( )
K N K N K N K N , ... , 2 , 1 , − + + − + − = ϕ ϕ ϕ ϕ
(2). Bununla ( )
1 , 0 = K ϕ v ə 0
N is
ə ( ) 0 , = K N ϕ . ( ) (
) ( ) ( ) K K N K K N K N K N , 1 , ...
, 2 , 1 − − + − + + − = − ϕ ϕ ϕ ϕ
olduğunu n əzərə almaqla ( )
N , ϕ - nın hesablanmasını sadələşdirmək olar. Odur ki, ( )
) ( )
K N K N K N , 1 , 1 2 , − − − − = ϕ ϕ ϕ (3 ). Aşkardır ki, k ədədi N-dən böyük ola bilməz. Odur ki, ( )
N , ϕ N- ın bütün natural ayrılışlarının sayına bərabərdir. (N=N “ayrılışı” daxil olmaqla). Toplananların sayı S-ə bərabər olarsa onda 1 1 − −
N C
ayrılış alarıq. Doğrudan da N vahid götürüb onları bir sırada yazaq. Onlar arasında N- 1 aralıq olacaqdır. Bu aralıqlardan S-1 seçək və orada “arakəsmələr” qoyaq. N ədədinin S natural toplananlarına ayrılışını alırıq ki, hər bir bel ə ayrılma şərh olunan üsulla yeganə qayda ilə alına bilər. N-1 aralıqdan S-1 aralığı 1 1 − −
N C üsulla seçm ək mümkün olduğundan ayrıl- maların
sayı 1 1 − −
N C
- ə b ərabərdir. Odur ki, ( ) 1 1 1 1 1 0 1 2 ...
, − − − − − = + + + =
N N N N C C C N N ϕ . Bel əliklə, isbat etdik ki, N-i natural toplananların cəminə 1 2
N
üsulla ayırmaq olar. Xatırlayaq ki, bu zaman toplananların ardıcıllığı da nəzərə alınır. Məsələn, 5 ədədini 16 2 1 5 = −
üsulla toplananlarına ayırmaq olar: 1) 5=5; 2) 5=4+1; 3) 5=1+4; 4) 5=2+3; 5) 5=3+2; 6) 5=3+1+1; 7) 5=1+3+1; 8) 5=2+2+1; 9) 5=2+1+2; 10) 5=1+2+2; 11) 2+1+1+1=5; 12) 5=1+1+1+2; 13) 5=1+1+3; 14) 5=1+1+2+1; 15) 5=1+2+1+1; 16) 5=1+1+1+1+1 Bu m
əsələnin yuxarıdakı ümumiləşməsi isə maraqlıdır. 1.13.Funksional t ənliklər. Məktəb riyaziyyatında tənliklər mühüm yer tutur. Bel ə ki, tənliklər haqqında təlim məktəb riyaziyyatının bütün bölm
ələri ilə əlaqədardır, konkret məzmunlu məsələlər həllinin daha s əmərəli üsullarını verir və bir sıra tip məsələlərin həllini ümumiləş- dirm əyə imkan yaradır. Şagirdlərin məktəbdə öyrəndikləri tənliklərlə əlaqədar biliklərini ümumiləşdirmək və genişləndirmək məqsədi ilə on- lara riyaziyyat elminin mühüm naliyy ətlərindən biri olan “funksional t ənliklər” haqqında bəzi anlayışlar verməyi faydalı hesab edirik. Ele- mentar funksiyaların öyrənilməsində funksional tənliklərin böyük əhə- miyy
əti vardır. Funksiyaların araşdırılması zamanı onların cüt və tək olması, dövrülüyü və s. ümumi xassələrini funksional tənliyi ödəməsi kimi d ə izah etmək olar. Funksiyanın cüt, tək və dövrü olması xassələri 59
uyğun olaraq
( ) ( ) x f x f = − (1),
( ) ( )
x f x f − = −
(2), ( ) ( )
x f a x f = + (3) b ərabərlikləri ifadə edilir. Funksiyanın verilmə üsullarından biri də onu xarakterik xassələrinin göstərilməsi vasitəsi ilə izah etm
ək ola bilər. Funksiyanın bu üsulla verilməsində funksioanl t ənlik anlayışından, yəni verilmiş funksiyanın, arqumentin onun təyin ob lastından götürülmüş bütün qiymətlərində, ödədiyi müəyyən mü- nasib ətdən istifadə edilir. Məsələn, ( ) kx x F = x ətti funksiyası ( ) ( ) ( ) y f x f y x f + = + (4) funksional t ənliyini ödəyir. Doğrudan da ( ) ky kx y x k + = + . Dem
əli bu və ya digər funksiyaya müvafiq funk- sional t
ənliyin həlli kimi baxmaq olar. Onda, təbii olaraq, funksiyanı hər hansı funksional tənliyin həlli kimi təyin etmək məsələsi qarşıya çıxır. M əsələn, üstlü və loqarifmik funksiyaların xarakterik xüsusiyyətlərini aşağıdakı teoremlər vasitəsi ilə vermək olar: 1) Təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğundan ibarət, monoton və ( ) ( ) ( )
x f y f x f + = (5) funk- sional t
ənliyini ödəyən funksiya x a
üstlü funksiyadır, burada 1 ≠
Bu teoremin şərti ( ) x a x F = -in üç mühüm xass əsidir. 2) T
əyin oblastı bütün müsbət ədədlər çoxluğundan ibarət, mo- noton v
ə ( ) ( ) ( ) y f x f xy f + = (6) funksional t ənliyini ödəyən funksiya loqarifmik funksiyadır. Bu teoremin şərti isə ( )
x x f a log
=
funksiyasının üç əsas xassəsindən ibarətdir. Yuxarıda göstərdiyimiz altı funksional tənliklərin hər biri ayrılıqda konkret bir funksiyanı deyil, müəyyən funksiyalar sinfini təyin edir. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|