Ə. A. Quliyev

1.9. Bezu teoremi (XI s.). F

ərz edək ki, f(x) həqiqi  ədədlər 

sah

əsində (R) 

1

≥

n

 d

ərəcəli bir dəyişənli çoxhədlidir. Onda 

( )

x

f

 - in 

 

49 

R-d

ə n-dən az olmayan sayda kökləri vardır, 

a

 

yalnız və yalnız 

( )

x

f

 

çoxh

ədlisi 

(

)

a

x

−

 - ya bölündükd

ə həmin çoxhədlinin köküdür. 

XX 

əsrin 60-  cı  illərinə  qədər bu teorem məktəbdə  isbatı  ilə 

birlikd

ə  öyrənilmişdir.  Lakin  sonrakı  illərdə  2003-cü ilə  qədər ümu-

mt

əhsil məktəblərinin  proqramında  o  olmadı.  Çoxhədlilərin öyrə-

nilm

əsində  müxtəlif ifadələrin eyni  çevrilməsində, eynilik və  bəra-

b

ərsizliklərin  isbatında,  tənliklərin və  bərabərsizliklərin həllində  istər 

ist

əməz Bezu teoremindən və daha çox onun ümumiləşdirilmiş forma-

sından  istifadə  etmək  lazım  gəlir.  Odur  yaxşı  olar  ki,  dərs prosesində 

ümumil

əşdirilmiş Bezu teoremi və onun tətbiqləri də öyrənilsin. Ümu-

mil

əşdirilmiş  Bezu  teoremi  belədir: Fərz edək ki, 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

  R 

h

əqiqi  ədədlər sahəsində 

1

>

k

  d

əyişənli 

1

≥

n

  d

ərəcəli, 

(

)

z

y

g

...,

,

 

is

ə  R-də 

1

−

K

  d

əyişənli çoxhədlilərdir. 

(

)

[

]

z

y

z

y

g

f

...

,

,

...,

,

 

sıfır 

çoxh

ədlidirsə, onda 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

  çoxh

ədlisi 

(

)

[

]

z

y

g

x

...,

,

−

  - 

ə 

bölünür. 

Bu teoremi, habel

ə  onun tətbiqlərini mənimsəmək üçün onunla 

əlaqədar olan bir sıra anlayışları da öyrənmək lazımdır. 

F

ərz edək ki, 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

  R h

əqiqi ədədlər sahəsində çox dəyi-

şənli çoxhədlidir. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, şagirdlər çox dəyişənli 

funksiyalarla 

əlaqədar müxtəlif  əməliyyatlarla  qarşılaşdıqları  halda  bu 

haqda da onlara ümumi m

əlumat verilmir. Belə funksiyaların şagirdlərə 

öyr

ədilməsi  işinin  metodik  sistemini  hazırlamaq  ayrıca  tədqiqatın 

mövzusu ola bil

ər. 

Verilmiş R həqiqi ədədlər sahəsindən götürülmüş sıfırdan fərqli hər 

bir 

ədəd, habelə 

{ }

0

R

  -  d

ən olan verilmiş çoxhədlidən ədədi vuruqla 

f

ərqlənən hər bir çoxhədli  baxılan  çoxhədlinin R-də  trivial çoxhədli 

böl

əni adlanır. Verilmiş çoxhədlinin bütün başqa bölənlərinə R-də onun 

qeyri-trivial böl

ənləri deyilir. 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

  çoxh

ədlisinin R-də  trivial 

olmayan böl

ənləri yoxdursa ona R-də  gətirilməyən çoxhədli deyilir. 

H

əqiqi R ədədlər sahəsində trivial olmayan bölənləri olan 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

 

çoxh

ədlisi R-də gətirilən çoxhədlidir. R sahəsində ortaq bölənləri yalnız 

sıfırdan  fərqli  ədəd (yəni  sıfır  dərəcəli çoxhədli) olan R-də  verilmiş 

(

)

z

y

x

f

...,

,

,

 v

ə 

(

)

z

y

x

g

...,

,

,

 çoxh

ədlilərinə qarşılıqlı sadədir deyilir. 

Çoxd

əyişənli  funksiyanın  və  ümumiləşdirilmiş  Bezu  teoreminin  mək-

 

50 

t

əbdə  tətbiqinə  aid çoxlu sayda nümunələr göstərmək  olar. Məsələn, 

“h

əqiqi R ədədlər sahəsində 

bc

c

b

a

ac

bc

ab

c

b

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

−

−

+

+

+

+

+

 

ifad

əsini sadələşdirin”  çalışmasını  yerinə  yetirmək  üçün  şagirdlərin 

c

əbri kəsrin surət və  məxrəcinin 

(

)

c

b

a

+

+

  -

ə  bölündüyünü, hər iki 

h

əddin üç dəyişənli funksiya olmasını bilmələri tələb olunur. 

Görünür ki, g

ələcəkdə  məktəb riyaziyyat kursunun məzmununu 

mü

əyyənləşdirərkən çoxdəyişənli  funksiyanın,  birdəyişənli üçün Bezu 

teoremind

ən sonra (indiki proqramda XI sinifdə  öyrənilən) onun 

ümumil

əşdirilmiş  formasının  təlimin  hansı  mərhələsində  öyrənilməsi 

üz

ərində  düşünmək  lazım  gələcəkdir. Bu riyazi təlimin məzmununun 

mü

əyyən edilməsinin  əsas  tələblərinə, xüsusən ümumiləşdirmə 

meyarına uyğundur.  

1.10. Kompleks 

ədədlərin öyrənilməsi məktəb  riyaziyyatında 

ədədi sistemlərin qurulmasının sonuncu mərhələsidir. Odur ki, gələcək 

mü

əllimlər bilməlidirlər ki, yeni ədədlər sisteminin daxil edilməsinin 

z

əruriliyinə gətirən praktik tələblərlə yanaşı belə genişlənməni tənliklər 

h

əlli əsasında nümayiş etdirmək faydalıdır. Məlumdur ki, əksər hallarda 

t

ənliklər də  real proseslərin və  vəziyyətlərin  ideallaşdırılmış  riyazi 

modelinin  qurulması  nəticəsində  alınır.  Təsadüfi deyil ki, 

(

)

(

)

a

b

Z

b

a

b

ax

a

b

N

b

a

b

a

x

/

,

,

,

,

,

∈

=

<

∈

=

+

, 

b

ax

=

2

(

a

b

a

b

a

,

0

,

0

≥

≠

 

tam  kvadrat  olmadıqda), 

(

)

0

4

0

2

2

<

−

=

+

+

ac

b

c

bx

ax

  olduqda, 

(

)

0

,

0

<

>

=

b

a

b

a

x

 

şəkildə tənlikləri həll edərkən uyğun olaraq tam, 

rasional, h

əqiqi və kompleks ədədlər sistemini alırıq.  

Diskriminantı  mənfi olan kvadrat tənliyə  gətirilən məsələyə  ilk 

d

əfə  İtaliya  alimi  Cerol  Kardano  (1501-1576)  baxmışdır.  Sonra kub 

t

ənlikləri həll edərkən N.Tartal sofist ədədlərlə qarşılaşmışdır. R.Dekart 

is

ə göstərmişdir ki, k dərəcəli cəbri tənliyin “onun dərəcəsindəki vahid-

l

ərin sayı qədər kökü vardır” və bu köklər içərisində “təsəvvür edilən” 

v

ə ya “xəyali” olanlar vardır. Həqiqi ədədlərin kifayət olmadığı hala aid 

daha  bir  misalı  xatırlayaq:  həqiqi  ədədlər sahəsində  müsbət  əsasdan 

m

ənfi  ədədin loqarifmi yoxdur. Müxtəlif məsələlərin təhlili riya-

ziyyatçıları ədədlər sahəsini, bir hissəsi xəyali ədədlərdən ibarət, kom-

pleks 

ədədlər sahəsinə qədər genişləndirməyin zəruriliyinə gətirmişdir. 

XIX 

əsrin  əvvəlində  kompleks  ədədlərin həndəsi  şərhi və  koordinat 

müst

əvisində onlar üzərində əməllər daxil edilmiş və geniş yayılmışdır. 

 

51 

H

əqiqi  ədədləri nəzərdən keçirmək  bu  şərhin yekunlaşdırılmasına 

köm

ək edir. Həqiqi  ədədlər, koordinat düz xətti üzərindəki nöqtələr, 

başlanğıcı  koordinat  düz  xətti üzərində  O nöqtəsində  -  koordinat sis-

teminin  başlanğıcında  olan  vektorlar  çoxluqlarını  uyğun  olaraq 

3

2

1

,

,

M

M

M

 il

ə işarə edək. Bu üç çoxluq arasında təbii qarşılıqlı bir-

qiym

ətli uyğunluq vardır. 

3

2

1

~

~

M

M

M

 v

ə ya 

→

↔

↔

x

x

M

O

M

x

. Eyni 

zamanda h

ər hansı nöqtənin vəziyyətini müəyyən etmək üçün müstəvi 

üz

ərində  düzbucaqlı  koordinat  sistemində 

( )

y

x,

 

ədədlər cütünün 

verilm

əsi  lazımdır  və  tərsinə. Deməli həqiqi  ədədlərlə  koordinat düz 

x

əttinin nöqtələri, habelə həqiq ədədlər cütü ilə koordinat müstəvisinin 

nöqt

ələri  arasında  qarşılıqlı  birqiymətli  uyğunluq  vardır.  Kompleks 

ədədlər 

1

−

+ y

x

 

şəkildə  olduğundan,  yəni həqiqi  ədədlər cütü ilə 

mü

əyyən olduğundan onları koordinatları 

( )

y

x,

olan müst

əvi nöqtələri 

il

ə təsvir etmək olar. 

İrlandiya  riyaziyyatçısı  Ueyam Hamilton 1831-ci ildə  vektor haqda 

anlayışı  daxil  etdikdən sonra kompleks  ədədlərin  vektor  şərhi mümkün 

oldu. Bu şərhə əsasən də kompleks ədədlər, müstəvinin nöqtələri cütü və 

vektorlar  çoxluqları  arasındakı  qarşılıqlı  birqiymətli  uyğunluq  müəyyən 

edilmiş,  bunlarla  əlaqədar  əsas  anlayışlar  (modul,  arqument,  kompleks 

ədədlər  üzərində  əməllər)  daxil  edilmişdir,  kompleks  ədədlərin müxtəlif 

t

ətbiqləri göstərilmişdir.  Kompleks  ədəd  artıq  qeyd  etdiyimiz  kimi  mək-

t

əbdə  həqiqi  ədədi sistemlərin  son  genişləndirilməsi olaraq daxil edilir, 

sonra onunla 

əlaqədar  əsas  anlayışlar  verilir,  iki hədli və  diskriminantı 

m

ənfi olan kvadrat tənliklərin həllinə  tətbiqi öyrədilir. Bu ədədləri və 

onunla 

əlaqədar əsas anlayışları daxil etdikdən sonra triqonometrik funk-

siyaların  kompleks  ədədlər  çoxluğunda  təyin  olunmuş  üstlü  funksiya  ilə 

əlaqəsini  şagirdlərə  öyrətmək olar. Bu əlaqə 

ϕ

ϕ

sin

cos

i

y

+

=

  funk-

siyası  üzərində  aparılan  müəyyən  əməliyyat  əsasında  alınan  Eyler  düs-

turları  ilə  ifadə  olunur. Belə  ki, göstərilən  funksiyanı diferensiallayıb 

(

)

iy

i

i

i

i

i

d

dy

=

+

=

+

=

+

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

sin

cos

cos

sin

cos

sin

2

  v

ə  bur-

adan 

ϕ

i

y

=

ln

 v

ə ya 

ϕ

i

e

y

=

 

alırıq. Deməli 

ϕ

ϕ

ϕ

sin

cos

i

e

i

+

=

 (1), 

bu kompleks 

ədədlər  çoxluğunda  eynilikdir.  Doğrudan  da 

0

=

ϕ

 

olduqda b

ərabərlik  doğrudur.  Onun  hər tərəfini  e  əsasdan loqarifma-

layıb və törəməsini tapsaq sağ və sol tərəfdəki funksiyaların eyniliyini 

 

52 

isbat etmiş olarıq. 

ϕ

cos

  v

ə 

ϕ

sin

 

funksiyasının dövrülüyündən üstlü 

funksiyanın 

( )

ϕ

i

e

 

dövrülüyü  alınır.  (1)-də 

ϕ

  -  in yerind

ə 

ϕ

−

 

yazıb 

ϕ

ϕ

ϕ

sin

cos

i

e

i

−

=

−

 

(2) alırıq. (1) və (2) – dən 

ϕ

cos

  v

ə 

ϕ

sin

  -in 

üstlü funksiya il

ə  ifadələri 

2

cos

ϕ

ϕ

ϕ

i

i

e

e

−

+

=

, 

2

sin

ϕ

ϕ

ϕ

i

i

e

e

−

−

=

 

mü

əyyən olunur ki, bunları ilk dəfə L.Eyler çıxarmışdır.  

Kompleks 

ədədlərin məktəb  proqramında  olması  şagirdlərin bir çox 

başqa  maraqlı  çalışmaları  yerinə  yetirə  bilmələrinə  səbəb olur. Budur 

“

0

1

2

=

+

+ x

x

  olduqda 

( )

3

45

51

60

−

+

+

=

x

x

x

x

f

  ifad

əsinin  ədədi 

qiym

ətini  tapın”  məsələsini kompleks ədəd  haqqında məlumatı  olmadan 

h

əll etmək mümkün deyil. Bunun üçün 

(

)

(

)

1

0

1

1

3

2

=

⇒

=

−

+

+

x

x

x

x

 

olduğunu bildikdən sonra asanlıqla 

( )

0

=

x

f

 

tapılır.  

1960-

cı ilə qədər kompleks ədədlər orta məktəbin X sinfində öy-

r

ənilmişdir. Lakin sonralar bu mövzunun yalnız fakültətiv məşğələlərdə 

öyr

ənilməsi lazım bilindi.  

T

əcrübə  göstərir ki, bu mövzunun  yenə  də  əsas proqrama daxil 

etm

ək zəruridir.  Hazırkı  proqrama  görə  X sinifdə  kompleks  ədədlər 

öyr

ənilir. Məktəb Planimetriya kursunun bir çox məsələlərini kompleks 

ədədlərin tətbiqi ilə incə və sadə həllərini vermək olar. Lakin kompleks 

ədədlərin əhəmiyyəti təkcə bu və ya digər həndəsə məsələsinin səmərəli 

yolla h

əllini vermək deyil, baxmayaraq ki bu da olduqca mühümdür. 

Kompleks 

ədədlərin tətbiqi nəticəsində çox vaxt yeni faktlar müəyyən-

l

əşdirmək,  alınmış  düsturların  və  münasibətlərin təhlili ilə  maraqlı 

ümumil

əşdirmələr  aparmaq,  bu  yolla  alınmış  nəticələri  əsaslandırmaq 

v

ə  dəqiqləşdirmələr etmək  imkanı  yaranır.  Məktəb planimetriya kur-

sun

da  şagirdlər  paraleloqramın  diaqonallarının  kvadratları  cəmi haq-

qında  teoremi  öyrənirlər. Bu teoremin ümumiləşdirilməsindən ibarət 

“Dördbucaqlının bütün tərəflərinin kvadratları cəmi onun diaqonalların 

kvadratları  cəmi ilə  diaqonalların  orta nöqtələrini birləşdirən  parçanın 

kvadratının dörd misli cəminə bərabərdir” teoremini kompleks ədədin 

t

ətbiqi ilə asanlıqla həll etmək olar. 

F

ərz edək  ki,  ABCD  dördbucaqlısının  diaqonallarının  orta  nöq-

t

ələri M, N – dir və A,B,C,D,M,N nöqtələrinə 

n

m

d

c

b

a

,

,

,

,

,

 kompleks 

ədədləri uyğundur. 

(

)

c

a

m

+

=

2

1

 v

ə 

(

)

d

b

n

+

=

2

1

 

olduğundan  

 

53 

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

=

−

−

+

−

−

+

−

−

+

−

−

=

+

+

+

a

d

a

d

d

c

d

c

c

b

c

b

b

a

b

a

DA

CD

BC

AB

2

2

2

2

 

(

) (

)

a

d

a

d

d

c

d

c

c

b

c

b

b

a

b

a

d

d

c

c

b

b

a

a

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

+

= 2

,  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

−

+

+

+

=

−

−

+

−

−

+

−

−

=

+

+

d

d

c

c

b

b

a

a

n

m

n

m

d

b

d

b

c

a

c

a

MN

BD

AC

4

4

2

2

2

 

(

)

(

)

(

) (

)

−

+

+

+

=

−

−

+

−

−

+

+

+

+

+

−

d

d

c

c

b

b

a

a

d

b

c

a

d

b

c

a

d

b

d

b

c

a

c

a

2

 

(

)

a

d

a

d

d

c

d

c

c

b

c

b

b

a

b

a

+

+

+

+

+

+

+

−

 

Burada 

d

c

b

a

,

,

,

 

uyğun qoşma kompleks ədədlərdir. Teoremin bu 

isba

tından  əvvəl (onu IX sinifdə  uyğun  çertyojdan  istifadə  ilə  isbat 

etm

ək olar). Koordinatları uyğun olaraq 

b

a,

 kompleks 

ədədləri olan A, 

B nöqt

ələri  arasındakı  məsafənin 

(

)

(

)

b

a

b

a

AB

−

−

=

2

  (3) düsturu il

ə 

hesablandığını  əsaslandırmaq  lazımdır.  Bu  çətin deyil. Belə  ki, 

z

z,

 

qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlərdirsə 

(

)

ϕ

ϕ

sin

cos

i

r

iy

x

z

+

=

+

=

, 

(

)

ϕ

ϕ

sin

cos

i

r

iy

x

z

−

=

−

=

, burada 

2

2

y

x

r

+

=

, 

(

)(

)

2

2

sin

cos

sin

cos

r

i

i

r

z

z

=

−

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 dem

əli 

2

r

z

z

=

 (4). Bu is

ə 

radiusu r v

ə mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrənin tənliyidir. 

Bundan sonra (3)-ün (4)-

ə analoji alındığını demək olar. 

Kompleks 

ədədin tətbiqi ilə  planimetriya məsələlərinin həllinə 

(bunu ayrıca tədqiq etmək lazımdır) aid başqa nümunələr də göstərmək 

mümkündür.