Economic Growth Second Edition

Figure 1.2
The golden rule of capital accumulation. The vertical axis shows the steady-state level of consumption per
person that corresponds to each saving rate. The saving rate that maximizes steady-state consumption per person
is called the golden-rule saving rate and is denoted by s
Gold
.
equation (1.20) that s
· f (k
∗
) = (n + δ) · k
∗
; hence, we can write an expression for c
∗
as
c
∗
(s) = f [k
∗
(s)] − (n + δ) · k
∗
(s)
(1.21)
Figure 1.2 shows the relation between c
∗
and s that is implied by equation (1.21). The
quantity c
∗
is increasing in s for low levels of s and decreasing in s for high values of s.
The quantity c
∗
attains its maximum when the derivative vanishes, that is, when [ f
(k
∗
) −
(n + δ)] · dk
∗
/ds = 0. Since dk
∗
/ds > 0, the term in brackets must equal 0. If we denote
the value of k
∗
that corresponds to the maximum of c
∗
by k
gold
, then the condition that
determines k
gold
is
f
(k
gold
) = n + δ
(1.22)
The corresponding saving rate can be denoted as s
gold
, and the associated level of steady-state
per capita consumption is given by c
gold
= f (k
gold
) − (n + δ) · k
gold
.
The condition in equation (1.22) is called the golden rule of capital accumulation (see
Phelps, 1966). The source of this name is the biblical Golden Rule, which states, “Do unto
others as you would have others do unto you.” In economic terms, the golden-rule result
can be interpreted as “If we provide the same amount of consumption to members of each
current and future generation—that is, if we do not provide less to future generations than
to ourselves—then the maximum amount of per capita consumption is c
gold
.”
Figure 1.3 illustrates the workings of the golden rule. The figure considers three possible
saving rates, s
1
, s
gold
, and s
2
, where s
1
< s
gold
< s
2
. Consumption per person, c, in each
case equals the vertical distance between the production function, f
(k), and the appropriate

---

36
Chapter 1
(n 

 ␦)
k
Initial increase
of c
Dynamically inefficient region
Slope 
 n 
 ␦
s
2 

 f (k)
s
gold 

 f (k)
k
gold
k
*
1
k
*
2
k
c
*
2
c
gold
s
1 

 f (k)
f (k)