Economic Growth Second Edition

2.9
Appendix 2B: Irreversible Investment
Suppose that investment is irreversible, so that ˆc
≤ f (ˆk) applies. Reconsider in this case the
dynamic paths that start with ˆk
< ˆk
∗
at a position such as ˆc

0
in figure 2.1. These paths would
eventually hit the production function, ˆc
= f (ˆk), after which the constraint from irreversible
investment would become binding. Thereafter, the paths would move downward along
the production function, so that ˆc
= f (ˆk) would apply. Hence, the capital intensity would
decline in accordance with ˙ˆk
= −(x + n + δ) · ˆk. Therefore, ˆk (and ˆc) would asymptotically
approach zero but would not reach zero in finite time. We now argue that such paths cannot
be equilibria.
When the constraint ˆc
≤ f (ˆk) is binding, so that all output goes to consumption and none
to gross investment, the price of capital, denoted by
φ, can fall below 1. The rate of return
to holders of capital then satisfies (see note 11)
r
= R/φ − δ + ˙φ/φ
(2.89)
Profit maximization for competitive firms still implies the condition R
= f

(ˆk), which can
be substituted into the formula for r .
Consumer optimization entails, as usual,
˙c/c = (1/θ) · (r − ρ)
Therefore, substitution for r from equation (2.89) yields the formula for the growth rate
of ˆc:
˙ˆc/ˆc =

1
θφ

· [ f

(ˆk) + ˙φ − φ · (δ + ρ + θx)]
(2.90)

---

Growth Models with Consumer Optimization
135
The condition ˆc
= f (ˆk), together with ˙ˆk = −(x + n + δ) · ˆk, implies another condition
for the growth rate of ˆc:
˙ˆc/ˆc = −α(ˆk) · (x + n + δ)
(2.91)
where
α(ˆk) ≡ ˆk · f

(ˆk)/f (ˆk) is the capital share of income (which is a constant in the case
of a Cobb–Douglas production function). Therefore, equations (2.90) and (2.91) imply a
condition for ˙
φ:
˙φ = − f

(ˆk) + φ · [δ + ρ + θx − α(ˆk) · θ · (x + n + δ)]
(2.92)
Suppose that the constraint ˆc
≤ f (ˆk) first becomes binding at some date T , where ˆk(T ) <
ˆk
∗
applies. At this point, f

(ˆk) − δ > ρ + θx. Therefore, when φ = 1 (just at time T ),
equation (2.92) implies that ˙
φ < 0. Over time, the rise in R and the fall in φ tend to raise r
in accordance with equation (2.81). Nevertheless, households are satisfied with a negative
growth rate of ˆc (equation [2.91]) because the rate of capital loss, ˙
φ/φ, rises sufficiently
in magnitude to maintain a low rate of return, r . However, equation (2.92) implies, as ˆk
decreases and f

(ˆk) rises, that ˙φ eventually rises in magnitude toward infinity (regardless
of what happens to
α[ˆk] in the range between 0 and 1). Therefore, φ would reach zero in
finite time and then become negative. This condition violates free disposal with respect to
claims on capital. Hence, paths in which the irreversibility constraint, ˆc
≤ f (ˆk), is binding
cannot exist in the region where ˆk
< ˆk
∗
.
The constraint ˆc
≤ f (ˆk) can be binding in the region where ˆk > ˆk
∗
. This possibility was
noted and discussed by Arrow and Kurz (1970).