Ehtimollar nazariyasi rivojlanish qisqacha tarixi

Ehtimollar nazariyasi rivojlanish qisqacha tarixi
Ehtimollar nazariyasining tarixi ko'plab o'ziga xos xususiyatlar bilan ajralib turadi. Birinchidan, taxminan bir vaqtning o'zida paydo bo'lgan (masalan, matematik tahlil yoki analitik geometriya) matematikaning boshqa sohalaridan farqli o'laroq, ehtimolliklar nazariyasida antik va o'rta asrlarga xos bo'lmagan predmetlar mavjud edi, bu mutlaqo Yangi vaqtni yaratish edi [1]. Uzoq vaqt davomida ehtimollik nazariyasi sof eksperimental fan sifatida qabul qilingan va "juda ham matematik emas" [2] [3], uning qat'iy asoslanishi faqat 1929 yilda ishlab chiqilgan, ya'ni hatto o'rnatilgan nazariya aksiomatikasidan ham kechroq (1922). Bugungi kunda ehtimollik nazariyasi amaliy fanlar sohasida o'zining qo'llanilish sohasi bo'yicha birinchi o'rinlardan birini egallaydi; "Ehtimoliy usullar bu yoki boshqa tarzda qo'llanilmaydigan tabiiy fanlar deyarli yo'q" [4].
Tarixchilar ehtimollik nazariyasining rivojlanishida bir necha davrlarni ajratib ko'rsatishgan [5] [6].
16-asrgacha, orqa fon. Qadimgi davrlarda va O'rta asrlarda tabiiy faylasuflar tasodifning paydo bo'lishi va uning tabiatdagi roli to'g'risida metafizik munozaralar bilan cheklanganlar [7]. Bu davrda matematiklar ehtimollik nazariyasi bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqdilar va ba'zan echishdi, ammo hali umumiy usullar va tematik tushunchalar paydo bo'lmagan. Bu davrning asosiy yutug'i keyinchalik ehtimollik nazariyasini yaratuvchilar uchun foydali bo'lgan kombinatorial usullarni ishlab chiqish deb hisoblash mumkin.
XVII asrning ikkinchi yarmida cheksiz ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari va usullari shakllanishining boshlanishi. Dastlab, rag'bat birinchi navbatda qimor o'yinlarida yuzaga keladigan muammolar edi, ammo demografik statistika, sug'urta va taxminiy hisob-kitoblar bo'yicha amaliy vazifalarni o'z ichiga olgan ehtimollik nazariyasi doirasi deyarli darhol kengaya boshladi. Ushbu bosqichda Paskal va Fermat yangi fan g'oyalariga muhim hissa qo'shdilar. Gyuygens ikkita fundamental tushunchani kiritdi: voqea ehtimolini raqamli o'lchovi, shuningdek tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish tushunchasi.
18-asrda ehtimolliklar nazariyasining tizimli ekspozitsiyasi bilan monografiyalar paydo bo'ldi. Ulardan birinchisi Yoqub Bernullining "Taxminlar san'ati" (1713) kitobi edi. Unda Bernoulli tasodifiy hodisa ehtimolining klassik ta'rifini taklif qildi, chunki ushbu hodisa bilan bog'liq bo'lgan ehtimoliy natijalar sonining umumiy natijalar soniga nisbati. Shuningdek, u murakkab hodisalar uchun ehtimollikni hisoblash qoidalarini bayon qildi va "katta sonlar qonuni" kalitining birinchi versiyasini berdi, nima uchun bir qator testlardagi voqealar chastotasi tasodifiy ravishda o'zgarmasligini, ammo ma'lum ma'noda uning yakuniy nazariy qiymatiga (ya'ni ehtimollik) ega ekanligini tushuntirdi.
Bernoulli g'oyalari 19-asr boshlarida Laplas, Gauss, Poisson tomonidan ancha rivojlangan. Amaliy statistikada ehtimoliy usullardan foydalanish sezilarli darajada kengaydi. Matematik tahlil usullaridan foydalanishga imkon beradigan doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik tushunchasi ham aniqlangan. Fizikada ehtimollik nazariyasini qo'llashning birinchi urinishlari paydo bo'ladi. 19-asrning oxiriga kelib statistik fizika paydo bo'ldi, o'lchov xatolarining qat'iy nazariyasi, ehtimoliy usullar turli xil amaliy fanlarga kirib bordi.
20-asrda mikroto'lqinlar nazariyasi fizikada, biologiyada irsiyat nazariyasi yaratildi, ularning ikkalasi ham asosan ehtimoliy usullarga asoslangan. Karl Pirson matematik statistika algoritmlarini ishlab chiqdi, ular amaliy o'lchovlarni tahlil qilish, gipotezalarni tekshirish va qarorlarni qabul qilish uchun keng va hamma uchun ishlatiladi. A. N. Kolmogorov ehtimollik nazariyasining klassik aksiomatikasini bergan. Ehtimollar nazariyasini qo'llashning boshqa yangi sohalari qatorida, ma'lumot nazariyasi va tasodifiy jarayonlar nazariyasini ham eslatib o'tish kerak. Ehtimollik nima va uning barqarorligi sababi nima haqida falsafiy munozaralar davom etmoqda.
O'rta asrlar Evropa va yangi asrning boshlanishi
A va V hodisalar birgalikda bo‗lmasin hamda ularning eh-timolliklari
berilgan bo‗lsin. Yo A, yo V hodisaning ro‗y berishi, ya‘ni bu hodisalarning
yig‗indisi A+V ning ehtimolligini qan-day topish mumkin? Bunga quyidagi
teorema javob beradi.
3.1-teorema (birgalikda bo‘lmagan hodisalarning ehti-molliklarini
qo‘shish). Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisa-lar yig‘indisining ehtimolligi bu
hodisalar ehtimolliklari-ning yig‘indisiga teng:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) . (3.1)
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
n — elementar hodisalarning umumiy soni;
m 1 — A hodisaning ro‗y berishiga qulaylik tug‗diruvchi ele-mentar hodisalar
soni;
m 2 — V hodisaning ro‗y berishiga qulaylik tug‗diruvchi ele-mentar hodisalar
soni.
Yo A, yo V hodisaning ro‗y berishiga qulaylik tug‗diruvchi ele-mentar
hodisalar soni m 1  m 2 ga teng. Shuning uchun
Qarama-qarshi hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etgani uchun
3.1-teoremadan
P (  )  P ( A )  P ( A )  1
ekanligi kelib chiqadi, shu sababli
P ( A )  1  P ( A ) . (3.3)
2-misol. Kun davomida yog‗ingarchilik bo‗lishining ehtimol-ligi p  0 ,3
ga teng. Kun ochiq bo‗lishining ehtimolligi topil-sin.
Yechish. «Kun davomida yog‗ingarchilik bo‗ladi» va «Kun ochiq»
hodisalari qarama-qarshi hodisalardir, shuning uchun qidirila-yotgan ehtimollik
q  1  p  1  0,3  0,7 ga teng.
(2.1) formuladan quyidagi teoremani olamiz.
3.2-teorema (bog‘liq hodisalarning ehtimolliklarini ko‘paytirish). Ikkita
bog‘liq hodisalar ko‘paytmasining ehti-molligi ulardan birining ehtimolligining
shu hodisa ro‘y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisa shartli
ehtimolligi-ga ko‘paytmasiga teng:
P ( AB )  P ( A / B )  P ( B ) . (3.4)
3-misol. Yig‗uvchida 3 ta konussimon va 7 ta ellipssimon valik bor.
Yig‗uvchi tavakkaliga avval bitta valikni, so‗ngra esa ikkinchi valikni oldi.
Birinchi valik konussimon, ikkinchisi esa ellipssimon ekanligining ehtimolligi
topilsin.
Yechish. Birinchi valik konussimon ekanligi (V hodisa)ning ehtimolligi
Endi A va V hodisalar bog‗liqmas bo‗lgan holga o‗tamiz va bu hodisalar
ko‗paytmasining ehtimolligini topamiz.
P ( B )   ga teng. 3-yashikdan standart detal olinishi (S
hodisa)ning ehtimolligi 0 ,9P ( C )   ga teng.
A, V va S hodisalar bog‗liqmas bo‗lgani uchun 3.2-natijaga asosan
qidirilayotgan ehtimollik
P ( AB С )  P ( A)  P ( B )  P (С )  0,8  0,7  0,9  0,504 ga teng.
Endi A va V hodisalar birgalikda bo‗lgan holga o‗tamiz va bu hodisalar
yig‗indisining ehtimolligini topamiz.
3.4-teorema (birgalikda bo‘lgan hodisalarning ehtimol-liklarini
qo‘shish). Ikkita birgalikda bo‘lgan hodisalar yi-g‘indisining ehtimolligi bu
hodisalar ehtimolliklarining yi-g‘indisidan ularning ko‘paytmasi ehtimolligining
ayirmasiga teng:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB ) . (3.6)
5-misol. Birinchi va ikkinchi zambarakdan o‗q uzishda ni-shonga tegish
ehtimolliklari mos ravishda p1  0 ,7 va p 2  0 ,8 ga teng. Ikkala zambarakdan

bir vaqtning o‗zida o‗q uzishda hech bo‗lmaganda bitta zambarakning o‗qi

nishonga tegishi ehtimolli-gi topilsin.
Yechish. Har bir zambarakdan nishonga tegish ehtimolligi boshqa
zambarakdan o‗q uzish natijasiga bog‗liq emas, shuning uchun A hodisa (birinchi
zambarakdan nishonga tegish) va V hodisa (ikkinchi zambarakdan nishonga tegish)
bog‗liqmas.
Shu sababli AV hodisa (ikkala zambarakdan nishonga te-gish)ning
ehtimolligi P ( AB )  P ( A)  P ( B )  0,7  0,8  0,56 ga teng. U holda
qidirilayotgan ehtimollik
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB )  0,7  0,8  0,56  0,94 ga teng.
Agar b o g‗ l i q m a s A1 , A2 , , An hodisalar birgalikda muqarrar
hodisani tashkil etsa, u holda shu hodisalardan hech bo‗lmaganda bittasining ro‗y
berish ehtimolligini quyidagi formula bo‗yicha topish mumkin
P ( A1  A2    An )  1  P ( A1 )  P ( A2 )    P ( An ) (3.7)
6-misol. Bosmaxonada 4 ta dastgoh bor. Har bir dastgoh-ning ayni shu
paytda ishlashining ehtimolligi 0,9 ga teng. Ayni shu paytda hech bo‗lmaganda
bitta dastgoh ishlashi (A hodisa)ning ehtimolligi topilsin.
Yechish. Ayni shu paytda dastgoh ishlamasligining ehtimol-ligi
Agar A1 , A2 , , An hodisalar birgalikda bo‗lmasa va hamma-si jamlanib
muqarrar hodisani tashkil etsa, ya‘ni Ai  A j   , i  j ;
A1  A2    An   bo‗lsa, u holda ular hodisalarning to‘la gruppasini
tashkil etadi deb ataladi.
Faraz qilaylik, A hodisa faqat to‗la gruppani tashkil etuv-chi
H 1 , H 2 , , H n hodisalardan biri ro‗y bergandagina sodir bo‗-lishi mumkin, bu
hodisalarni gipotezalar deb ataymiz. Bu hodi-salarning ehtimolliklari va
P ( A / H i ) (i  1, n ) shartli ehti-molliklar ma‘lum bo‗lsin.