Ehtimollar nazariyasi va matematik statistitika elementlaridan nazariy savollar

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistitika elementlaridan amaliy savollar.
1. Misol. 1) ta elementdan tadan tuzilgan; 2) ta elementdan tadan tuzilgan o‘rinlashtirishlar sonini toping.
2. Misol. Hisoblang:
3. Masala. ta elementdan tadan tuzilgan gruppalashlar soni ta elementdan 4 ta dan tuzilgan gruppalashlar sonidan 5 marta kichik. ni toping.
4. Masala. 1,2,3,4 raqamlardan ularning har birini bir martadan ortiq ishlatmasdan nechta uch xonali va to‘rt xonali son tuzish mumkin?
5. Masala. 3 ta yashil, 4 ta ko‘k va 5 ta qizil marjonni nechta usul bilan ipga tuzish mumkin?
6. Misol. Uchta talaba bir biri bilan bog‘lamaganda bitta masalani ishlatayaptlar. Faraz qilamiz, hodisa – birinchi talaba masalani yechdi, ikkinchi talaba masalani yechdi, uchinchi talaba masalani yechdi. hodisalar orqali, quyidagi hodisalarni ifodalang:
1) - barcha talabalar masalani yechdi;
2) - masalani faqat birinchi talaba yechdi;
3) - hech bo‘lmaganda bitta talaba masalani yechdi;
4) - masalani fakat bitta talaba yechdi.
7. Misol. Qutida 7 ta oq, 3ta qora shar bor.Undan tavakkaliga olingan sharning oq bo‘lishi ehtimolini toping.
8. Misol. Telefonda nomer terayotgan abonent ohirgi ikki raqamni sedan chiqarib qo‘yadi va faqat bu raqamlar har hil yekanligini yeslab qolgan holda ularni tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilganligini ehtimolini toping.
9. Misol. Qurilma 5 ta yelementdan iborat bo‘lib , ularning 2 tasi yeskirgan. Qurilma ishga tushirlganda tasodifiy ravishda 2 ta yelement ulanadi. Ishga tushirishda yeskirmagan yelemetlar ulangan bo‘lish ehtimolini toping.
10. Misol. Yashikda 4 ta oq, 10 ta qora va 6 ta ko‘k shar bor. Yashikdan tasodifan bitta shar olinadi. Shu sharning oq rangda bo‘lish ehtimolini toping.
11. Misol. O‘yin kubi tashlanganda juft raqam yozilgan tomoni tushish ehtimoli topilsin.
12. Misol. Ikkita o‘yin kubi tashlangan. Kublarning tushgan tomonlaridagi ochkolar yig‘indisi juft son, shu bilan birga kublardan hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko chiqish ehtimolini toping.
13. Misol. Hajmi 20 ga teng bo‘lgan tanlanmaning chastotalari taqsimoti berilgan:

	2	6	12
	3	10	7

Nisbiy chastotalar taqsimotini yozing.
14. Misol. Oltita bir xil taxtachaga har biriga quyidagi harflardan biri yozilgan: a, t, m, r, s, o. Taxtachalar yaxshilab arashlashtirilgan. Bittalab olingan va «bir qator qilib» terilgan to‘rtta taxtachada «tros» so‘zini o‘qish mumkinligi ehtimolini toping.
15. Misol. Raqamlari har xil ikki xonali son o‘ylangan. O‘ylangan son:
a) tasodifan aytilgan ikki xonali son bo‘lish;
b) tasodifan aytilgan, raqamlari har xil ikki xonali son bo‘lish ehtimolini toping.
16. Misol. Tanga ikki marta tashlangan. Hech bo‘lmaganda bir marta “ gerbli ” tomon tushish ehtimolini toping.
17. Misol. Tangani uch marta tashlaganda hammasida “gerb” tushish ehtimoli topilsin.
18. Misol. Sexda 6 erkak va 4 ayol ishchi ishlaydi. Tabel nomerlari bo‘yicha tavakkaliga 7 kishi ajratilgan. Ajratilganlar orasida 3 ayol bo‘lish ehtimolini toping.
19. Misol. Kutubxonada 10 ta turli kitob bor, bunda beshta kitobning har biri 4 ming so‘mdan, uchta kitob ming so‘mdan, ikkita kitob 3 ming so‘mdan turadi. Tavakkaliga olingan ikkita kitobning bahosi 5 ming so‘mdan bo‘lish ehtimolini toping.
20. Misol. Kutubxonada 10 ta turli kitob bor, bunda beshta kitobning har biri 4 ming so‘mdan, uchta kitob ming so‘mdan, ikkita kitob 3 ming so‘mdan turadi. Tavakkaliga olingan ikkita kitobning bahosi 5 ming so‘mdan bo‘lish ehtimolini toping.
21. Misol. Ikkita o‘yin kubi tashlangan. Kublarning yoqlarida chiqqan ochkolar yig‘indisi beshga, ko‘paytmasi esa to‘rtga teng bo‘lish ehtimolini toping.
22. Misol. Qutida nomerlangan oltita bir xil kubik bor. Hamma kubiklar tavakkaliga bittalab olinadi. Olingan kubiklarning nomerlari ortib borish tartibida chiqish ehtimolini toping.
23. Misol. Yashikda 100 ta detal bo‘lib, ulardan 10 tasi yaroqsiz. Tavakkaliga 4 ta detal olingan. Olingan detallar orasida: 1) yaroqsiz bo‘lmasligi; 2) yaroqli detallar bo‘lmasligi ehtimolini toping.
24. Misol. Sehda bir necha stanok ishlaydi. Smena davomida bitta stanokni sozlashni talab etish ehtimoli ga teng, ikkita stanokni sozlashni talab etish ehtimoli ga teng. Smena davomida ikkitadan ortiq stanokni sozlashni talab etish ehtimoli esa ga teng. Smena davomida stanoklarni sozlashni talab etilishini ehtimolini toping.
25. Misol. Yashikda 10 ta qizil va 6ta ko‘k shar bor. Tavakkaliga 2 ta shar olinadi. Olingan ikkala sharning bir hil rangli bo‘lish ehtimolini toping.
26. Misol. Kutubxona stellajida tasodifiy tartibda ta darslik terib qo‘yilgan bo‘lib, ulardan 5 tasi muqovalidir. Kutubxonachi ayol tavakkaliga 3 ta darslik oladi. Olingan darsliklarning hech bo‘lmaganda bittasi muqovali bo‘lish ( hodisa) ehtimolini toping.
27. Misol. Yashikda 5 tasi standanrt bo‘lgan 20 ta detal ixtiyoriy tartibda joylashtirilgan. Ishchi tavakkaliga uchta detalni oladi. Olingan detallardan hech bo‘lmaganda bittasi standart detal bo‘lishi ( hodisa) ehtimolini toping.
28. Misol. Tanga va kubik bir vaqtda tashlangan. “Gerb tushishi “ va “3” ochko tushishi hodisalarining birgalikda ro‘y berish ehtimolini toping.
29. Misol. Bir qutida 4 ta oq va 8 ta qora shar, ikkinchi yashikda esa 3ta oq va 9 ta qora shar bor. Har qaysi qutidan bittadan shar olindi. Olingan ikkala sharning oq bo‘lish ehtimolini toping.
30. Misol. Kuchlanishni ortirilganda ketma ket ulangan uchta elementdan birining ishdan chiqishi natijasida elektr zanjirida uzilish ruy berish mumkin: elementlarning ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda 0,2; 0,3; 0,4 ga teng. Zanjirda uzilish ruy bermaslik ehtimolini aniqlang.
31. Misol. Ko‘prik yakson bo‘lishi uchun bitta aviasion bombaning kelib tushishi kifoy. Agar ko‘prikka tushish ehtimollari mos ravishda bo‘lgan 4 ta bomba tashlansa, ko‘prikni yakson bo‘lish ehtimolini toping. misol. Ko‘prik yakson bo‘lishi uchun bitta aviasion bombaning kelib tushishi kifoY. Agar ko‘prikka tushish ehtimollari mos ravishda bo‘lgan 4 ta bomba tashlansa, ko‘prikni yakson bo‘lish ehtimolini toping.
32. Misol. Ikkita birga ro‘y bermas va hodisalarning har birining ro‘y berish ehtimoli mos ravishda va ga teng. Bu hodisalardan faqat bittasining ro‘y berish ehtimolini toping.
33. Misol. Yashikdagi 10 ta detal orasida 2 tasi nostandart. Tavakkaliga olingan 6 ta detal orasidan nostandart detal bittadan ortiq bо‘lmaslik ehtimolini toping.
34. Misol. 10 ta detalli partiyada 8 ta standart detal bor. Tavakkaliga olingan ikkita detaldan kamida biri standart bilish ehtimolini toping. 10 ta detalli partiyada 8 ta standart detal bor. Tavakkaliga olingan ikkita detaldan kamida biri standart bilish ehtimolini toping.
35. Misol. Tavakkaliga oligan ikki xonali son yo 3 ga, yo 5 ga yo ularning ikkalasiga bir vaqtda karali bo‘lish ehtimolini toping.
36. Misol. Ikki ovchi bo‘riga qarata bittadan o‘q uzishdi Birinchi ovchining bo‘riga tekkizish ehtimoli ga, ikinchisiniki ga teng. Hechbo‘lmagandabittao‘qningbo‘rigategishehtimolini toping.
37. Misol.Yashikda 8 tasi standart bo‘lgan 12 ta detal bor. Ishchi tavakkaliga ikkita detalni oladi. Olingan ikkala detal standart bo‘lishi ehtimolini toping.
38. Misol. Yashikda 6 ta qora, 5 ta qizil va 4 ta oq shar bor. Ketma – ket uchta shar olinadi. Birinchi shar qora ikkinchi shar qizil, va uchinchi shar oq bo‘lish ehtimolini toping.
39. Misol. Sehda 7 ta yerkak va 3ta ayol ishchi ishlaydi. Tabel nomerlari bo‘yicha tavakkaliga 3kishi ajratildi. Barcha ajratib olingan kishilar erkaklar bo‘lish ehtimolini toping.
40. Misol.Yashikda 10 ta mahsulot bo‘lib, shulardan 8 tasi oliy sifatli. Tasodifiy ravishda 2 ta mahsulot olindi. Olingan mahsulotlarni hammasini oliy sifatli bo‘lish ehtimoli topilsin.
41. Misol. O‘quv zalida ehtimollar nazariyasiga doir 6 ta darslik bo‘lib, ularning 3 tasi muqovali. Kutubxonachi tavakkaliga 2 ta darslik oldi. Ikkala darslik ham muqovali bo‘lish ehtimolini toping.
42. Misol. Sexda 7 erkak va 6 ayol ishchiishlaydi. Tabel nomerlari bo‘yicha tavakkaliga 3 kishi ajratildi. Barcha ajratib olingan kishilar erkaklar bo‘lish ehtimolini toping.
43. Misol.Yashikda 8 tasi standart bo‘lgan 12 ta detal bor. Ishchi tavakkaliga ikkita detalni oladi. Olingan ikkala detal standart bo‘lishi ehtimolini toping.
44. Misol. Elektr zanjiriga erkli ishlaydigan 3 ta element ketma –ket ulangan. Birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning buzilish ehtimollari mos ravishda quyidagiga teng: ; ; . Zanjirda tok bo‘lmaslik ehtimolini toping.
45. Misol. Ikkita sportchidan har birining mashqni muvaffaqqiyatli bajarish ehtimoli 0,5 ga teng. Sportchilar mashqni navbat bilan bajaradilar, bunda har bir sportchi o‘z kuchini ikki marta sinab ko‘radi. Mashqni birinchi bo‘lib bajargan sportchi mukofot oladi. Sportchilarning mukofotini olishlari ehtimolini toping.
46. Misol. Merganning uchta o‘q uzishda kamida bitta o‘qni nishonga tekkizish ehtimoli 0,875 ga teng. Uning bitta o‘q uzishda nishonga tekkizish ehtimolini toping.
47. Misol. Omborxonada uchta stanokda tayyorlangan detallar kiritiladi. Birinchi stanokda detallar umumiy miqdorning 40% i, ikkinchi stanokda 35% i va uchinchi stanokda 25% i tayyorlangan. Bunda birinchi stanokda 90% ikkinchi stanokda 80% va uchinchi stanokda 70 % birinchi sort detal tayyorlangan. Tavakkaliga olingan detal birinchi sortli bo‘lishi ehtimoli qanday?
48. Misol. Zavodning 2 ta sexida bir xil miqdorda mahsulotlar ishlab chiqariladi. 1 va 2- sexlarda ishlab chiqarilgan mahsulotlarni sifatli bo‘lish ehtimollari mos ravishda va ga teng. Zavodda ishlab chiqarilgan mahsulotlardan tasodifan olingan mahsulotning sifatli bo‘lish ehtimoli topilsin.
49. Misol. Ikkita avtomat bir xil detallar ishlab chiqaradi, bu detallar keyin umumiy konveyerga o‘tadi. Birinchi avtomatning unumdorligi ikkinchi avtomatning unumdorligidan ikki marta ortiq. Birinchi avtomat o‘rta hisobda detallarning 60% ini, ikkinchi avtomat esa o‘rtacha hisobda detallarning 84% ini a’lo sifat bilan ishlab chiqaradi. Konveyerdan tavakkaliga olingan detal a’lo sifatli bo‘lib chiqdi. Bu detalni birinchi avtomat ishlab chiqarganligi ehtimolini toping.
50. Misol. Birinchi qutida 20 ta radiolampa bo‘lib, ulardan 18 tasi standart; ikkinchi qutida esa 10 ta radiolampa bo‘lib, ulardan 9 tasi standart. Ikkinchi qutidan tavakkaliga bitta lampa olinib, birinchi qutiga solingan. Birinchi qutidan tavakkaliga olingan lampaning standart bo‘lish ehtimolini toping.
51. Misol. Ichida 2 ta shar bo‘lgan idishda bitta oq shar solinib, shundan keyin idishdan tavakkaliga bitta shar olingan. Sharlarning dastlabki tarkibi (rangi bo‘yicha) haqida mumkin bo‘lgan barcha taxminlar teng imkoniyatli bo‘lsa, u holda olingan sharning oq rangli bo‘lish ehtimolini toping.
51. Misol. Birinchi qutida 8 ta oq va 6 ta qora shar, ikkinchiqutida esa 10 ta oq va 4 ta qora shar bor. Tavakkaliga quti va shar tanlanadi. Olingan shar qora ekanligi ma’lum. Birinchi quti tanlanganligining ehtimolini toping.
52. Misol. Zavodni sexida yalpi mahsulotning , sexda i va sexda i ishlab chiqariladi. Sexlarda ishlab chiqarilgan mahsulotni sifatli bo‘lish ehtimollari mos holda va ga teng. Tasodifiy olingan mahsulot tekshirilganda sifatsiz chiqdi. Uni sexda ishlanganligi ehtimoli topilsin.
53. Misol. Bitta o‘q uzishda nishonga tegish ehtimoli ga teng. 10 ta o‘q uzishda nishonga yetti marta tegish ehtimolini toping.
54. Misol. Ishchi ishlov berayotgan detallar orasida o‘rtacha 4% i nostandart bo‘ladi. Sinish uchun olingan 30 ta detaldan ikkitasi nostandart bo‘lish ehtimolini toping. Qaralayotgan 30 ta detaldan iborat tanlanmada nostandart detallarning eng ehtimolli soni va uning ehtimoli qancha?
55. Misol. Bitta o‘q uzilganda nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. To‘rtta o‘q uzish seriyasida 1) kamida bir marta nishonga tegish; 2) nishonga kamida uch marta tegish; 3) nishonga ko‘pi bilan bir marta tegish ehtimolini toping.
56. Misol. Har bir detalning standart bo‘lish ehtimolligi bo‘lsa, tavakkaliga olingan 5 ta detaldan rosa 2 tasining standart bo‘lishi ehtimolligini toping.
57. Misol. Har bir otilgan o‘qning nishonga tegish ehtimoli =2/3. Otilgan 10 ta o‘qdan 3tasining nishonga tegish ehtimolini toping.
58. Misol. Ikki teng kuchli shaxmatchishaxmat uynashmokda: turt partiyadan ikkitasini yutish ehtimoli kattami yoki olti partiyadan uchtasini yutish ehtimoli kattami (durang natijalar hisobiga olinmaydi)?.
59. Misol. Bitta o‘q uzilgandan ishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. 100 ta o‘q uzilganda rosa 75 ta o‘qning nishonga tegish ehtimolini toping (jadvaldan ).
60. Misol. Agar biror hodisaning ro‘yberish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lsa, bu xodisaning 100 ta sinovdan
1) rosa 50 marta ruy berish ehtimolini;
2) kami bilan 30 marta, ko‘pi bilan 45 marta ro‘y berishehtimolini toping ( -funksiyaning qiymatlar jadvalidan , ning qiymatlar jadvalidan , ).
61. Misol. hodisaning 900 ta bog‘liqmas sinovning har birida ro‘y berish ehtimoli ga teng. A hodisa:
1) 750 marta (Jadvaldan );
2) 710 dan 740 martagacha ro‘y berish ehtimolini toping (jadvaldan , ).
62. Misol. Agar Axodisaningxarbirsinovidaruyberishehtimoli 0,25gatengbo‘lsa, buxodisaning 243 marta sinashda rosa 70 martaro‘yberishehtimolini toping (Jadvaldan (1-ilova) )
63. Misol. Agar A xodisaning har bir sinashda ro‘y berish ehtimoli 0,6 ga teng bo‘lsa, bu xodisaning 2400 marta sinashda 1400 marta ro‘y berish ehtimolini toping ( . Jadvaldan (1-ilova) ).
64. Misol. 100 marta erkli sinovning xar birida hodisaning ruy berish ehtimoli uzgarmas bulib, r=0,8 ga teng. Xodisaning: 1) kamida 75 marta va kupi bilan 90 marta; 2) kamida 75 marta; 3) ko‘pi bilan 74 marta ruy berish ehtimollarini toping(Jadvaldan (2-ilova) quyidagini topamiz: ).
65. Misol. Hodisaning erkli sinovlarning xar birida ruy berish ehtimoli 0,8 ga teng. Xodisaning kamida 75 marta ruy berish ehtimolini 0,9 ehtimol bilan kutish mumkin bulishi uchun nechta sinov utkazish lozim?
66. Misol. A hodisaning rо‘y berish ehtimoli . 1200 ta erkli sinashda nisbiy chastotaning ehtimoldan chetlanishini 0,05 dan oshmaslik ehtimoli topilsin.
67. Misol. Partiyada 10% nostandart detal bor. Tavakkaliga 4 tadetal olingan. Olingan detallar orasidagi nostandart detallar sonining taqsimot qonunini yozing va hosil qiling.
68. Misol diskret tasodifiy miqdor – tangani ikki marta tashlashda «gerbli» tomoni bilan tushish sonining binomial taqsi motqonunini yozing.
69. Misol. Tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan qiymatlari quyidagicha: , , . Birinchi ikkita mumkin bо‘lgan qiymatning ehtimollari ma’lum: , , ning ehtimolini toping.
70. Misol. О‘yin soqqasi 3 marta tashlandi. Olti ochko chiqishining taqsimot qonunini yozing.
71. Misol Yashikdagi 6 ta detal orasida 4 ta standart detal bor. Tavakkaliga 3 ta detal olingan. diskret tasodifiy miqdorning olingan detallar orasida standart detallar sonining taqsimot qonunini tuzing.
72. Misol Darslik 100000 tirajda bosib chiqarilgan darslikning varaqlari notо‘g‘ri yig‘ilgan bо‘lish ehtimoli 0,0001 ga teng. Butun tirajda rosa beshta brak kitob bо‘lish ehtimolini toping.
73. Misol. Ikki mergan nishonga qarata bittadan о‘quzadi. Birinchi merganni nishonga tegish ehtimoli 0.5, ikkinchisiniki 0.4 ga teng. Nishonga tegishlar sonini taqsimot qonuni tuzilsin.
74. Misol. 10000 ta pul buyum lotoreyasi tarqatilgan. О‘yinda ikkita 1000 sо‘mlik yutuq, sakkizta 500 sо‘mlik yutuq, о‘nta 400 sо‘mlik yutuq va yigirmata 100 sо‘mlik yutuq bor. Bitta lotoreya biletiga ega kishi uchun yutuqlar narxiga taqsimot qonuni tuzilsin.
75. Misol tasodifiy miqdor quyidagi integral funksiya bilan berilgan: . Sinov natijasida miqdorning intervalda bо‘lgan qiymat qabul qilish ehtimolini toping.
76. Misol. diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:

X	1	3	5	7
P	0,1	0,3	0,4	0,2

integral funksiyani toping va uning grafigini chizing.
77. Misol. tasodifiy miqdor quyidagi integral funksiya bilan berilgan: sinov natijasida miqdorning intervalda yotgan qiymatni qabul qilish ehtimolini toping.
78. Misol. diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan.

X	3	7	10
P	0,3	0,5	0,2

integral funksiyani toping va uning grafigini chizing.
79. Misol. uzluksiz tasodifiy miqdor differensial funksiyasi berilgan: integral funksiyani toping.
80. Misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo‘yicha uning empirik funksiyasini tuzing.

variantalar	2	6	10
chastotalar	12	18	30

81. Misol. uzluksiz tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan.

X	1	2	3
P	0,3	0,5	0,2

integral funksiyani toping va uning grafigini chizing.
82. Misol. Tasodifiy miqdor differensial funksiyasi orqali berilgan: ; a). Integral funksiyani toping; b). sinash natijasida tasodifiy miqdor oraliqqa tegishli qiymat qabul qilish ehtimolini toping.
83. Misol. uzluksiz tasodifiy miqdorning: differensial funksiyasi berilgan integral funksiyani toping.
84. Misol. Tasodifiy miqdor differensial funksiyasi orqali berilgan: koeffitsiyentni toping.
85. Misol. Ikkita о‘yin soqqasi 1 marta tashlanganda chiqadigan ochkolar kо‘paytmasining matematik kutilishini toping.
86. Misol.. X diskret tasodifiy miqdor uchta mumkin bо‘lgan qiymatni qabul qiladi: ni ehtimol bilan, ni ehtimol bilan va ni ehtimol bilan. ni bilgan holda ni va ni toping.
87. Misol.. Ushbu

Х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

taqsimot qonuni bilan berilgan. Х diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini va о‘rtacha kvadratik chetlanishini toping.
88. Misol. X tasodifiy miqdor (0,2) intervalda differensial funksiya bilan berilgan, bu intervaldan tashqarida . X miqdorning matematik kutilishini toping.
89. Misol.. X tasodifiy miqdor integral funksiya bilan berilgan. X miqdorning dispersiyasini toping.
90. Misol. X tasodifiy miqdor integral funksiya bilan berilgan. X miqdorning dispersiyasini toping.
91. Misol. X tasodifiy miqdor (-3;3) intervalda differensial funksiya bilan berilgan. Bu intervaldan tashqarida . X ning dispersiyasini toping.
92. Misol. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning differensial funksiyasini , ni bilgan holda yozing.
93. Misol. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdor differensial funksiya bilan berilgan. X ning matematik kutilishini va dispersiyasini toping.
94. Misol. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning integral funksiyasi bilan berilgan. f(x) differensial funksiyasini toping.