Эконометрический анализ

Глава 2. Модель линейной регрессии
здесь может служить литература, посвященная модели потребления при по-
стоянном уровне дохода [см., например, Friedman (1957)].
Мы предполагаем, что каждое наблюдение в выборке (y
i
, x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
iK
),
i = 1, . . . , n порождено случайным процессом, описываемым уравнением
y
i
= x
i
1
β
1
+ x
i
2
β
2
+
· · · + x
iK
β
K
+ ε
i
.
Наблюдаемое значение y
i
складывается из детерминированной части и слу-
чайного члена ε
i
. Наша цель — оценить величины неизвестныхпараметров
модели, исследовать соответствие теоретической модели и имеющихся дан-
ных, исследовать на этих данных, выполняются ли предположения теории,
и, возможно, предсказать с помощью модели значения переменной y. Наши
дальнейшие действия существенно зависят от предположений относитель-
но случайного процесса, породившего имеющиеся у нас наблюдения.
Пример 2.1.
Кейнсианская функция потребления
В примере 1.2 рассматривалась модель потребления, предложенная Кейн-
сом в его General Theory (1936). Теория о том, что уровни потребления C
и дох ода X связаны, представляется вполне соответствующей наблюдае-
мым фактам, представленным на рис. 1.1 и 2.1. (Данные содержатся в табл.
F2.1.)
Рис. 2.1. Потребление в США в 1940–1950 гг.
Конечно, линейная функция является всего лишь приближением. Даже
если пропустить аномальные наблюдения военныхлет, потребление и до-
ход нельзя связать каким-либо простым детерминированным образом.
Линейная модель C = α + βX предназначена в первую очередь для
выделения некоторыхважныхсвойств этой части экономики. Попытка
описать все факторы, влияющие на эту связь, была бы обречена на
провал. Следующий шаг — включить в модель случайность, содержащуюся

---

2.2. Модель линейной регрессии
17
в реальныхпеременных
. Поэтому запишем C
=
f (X, ε), где ε есть
случайный элемент. Здесь важно избежать соблазна воспринимать ε как
универсальную «ловушку» для всехнедостатков модели. Кажется, что
модель с ε адекватно описывает данные без наблюдений военныхлет,
но для объяснения наблюдений 1942–1945 гг. явно не хватает чего-то
систематического. Потребление в эти годы не могло подняться до уровня,
исторически соответствующего уровням дохода, из-за ограничений воен-
ного времени. Модель, претендующая на объяснение уровня потребления
в этот период, должна включать влияние этихфакторов.
Остается понять, каким образом случайный член должен быть включен
в уравнение. Наиболее частый подход состоит в том, чтобы считать
его аддитивным. Это значит, что уравнение нужно переписать в стоха-
стическихтерминахв виде C = α + βX + ε. Это уравнение представляет
собой эмпирический аналог теоретической модели Кейнса. Но как быть с
«аномальным» периодом введения ограничений? Если мы проигнорируем
нашу интуицию и попытаемся построить линейное приближение ко всей
выборке (в следующей главе подробно описывается, как это сделать), то
получим пунктирную линию рисунка. Однако эта линия очевидно сме-
щена вследствие ограничений военного времени. Более подходящей для
этихданныхспецификацией, включающей как случайную составляющую,
так и особые условия 1942–1945 гг., была бы линия, сдвинутая вниз в этот
период, т.е. C = α + βX + d
waryears
δ
w
+ ε, где новая переменная d
waryears
равна единице в 1942–1945 гг. и нулю для остальныхнаблюдений, а δ
w
< 0.
Одной из наиболее полезныхчерт модели множественной регрессии явля-
ется возможность выделить независимые влияния разныхнезависимыхпе-
ременныхна зависимую переменную. В примере 2.2 описывается одна ча-
сто встречающаяся модель.