Elastiklik nazariyasining

ELASTIKLIK NAZARIYASINING
TEKIS MASALASI

Umumiy holda elastiklik nazariyasining fazoviy masalasi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Yuqoridagi boblarda ko‘rdikki, bu differensial tenglamalar ancha murakkabdir. Lekin amaliy masalalarning shunday bir sinfi mavjudki, bu masalalar uchun ba’zi farazlar yordamida differensial tenglamalarning asosiy sistemasi ancha soddalashtiriladi. Amaliy masalalarning ushbu sinfi – elastiklik nazariyasining tekis masalalari degan umumiy nom bilan yuritiladi va o‘z ichiga tekis deformatsiya va tekis kuchlangan holatni oladi.

Tekis deformatsiya.

Chetki kesimlari o‘qiga perpendikuylar bo‘lgan prizmatik yoki silindrik jismni qaraymiz (7.1-chizma). Jismning uchlari shunday mahkamlanganki, bunda ularning nuqtalari o‘z tekisliklarida erkin harakat qiladi, o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlarga ega emas deb faraz qilamiz.

Jismning yon sirtlariga qo‘yilgan tashqi kuchlar o‘qining normal bo‘ylab yo‘nalgan va jism uzunligi bo‘ylab tekis taqsimlangan. Jism ko‘ndalang kesimlari

tekisliklarida ular o‘zaro muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil etadi.
Ko‘rsatilgan chegaralanishlarda deformatsiya natijasida jismning ko‘ndalang kesimlari tekisligicha qoladi va ularning nuqtalari o‘qi bo‘ylab ko‘cha olmaydi. Shunday qilib tekis deformatsiya jism nuqtalarining o‘qiga perpendikular tekisliklardagina ko‘cha olishlari bilan xarakterlanadi:
(7.1)
Agar qaralayotgan holda jismning chetki uchlari tekisligicha qolgan holda o‘qi yo‘nalishida ilgarilanma harakatlana olsa, u holda (7.1) dan farqli ra-vishda ko‘chish nolga teng bo‘lmasdan koordinataga bog‘liq ravishda (bikr ko‘chish aniqligida) chiziqli qonun bo‘yicha o‘zgaradi, ya’ni
(7.2)
Jismning bunday deformatsiyalangan holati umumlashgan tekis deformatsiya deyiladi.
Tekis deformatsiya holati odatda o‘qi yo‘nalishida juda katta uzunlikka ega bo‘lgan jismlarda yuzaga keladi. Tekis deformatsiyaga misol sifatida suvning gidrostatik bosimi ostidagi hamda o‘z og‘irlik kuchi ta’siri ostidagi to’sin devor yoki to‘g‘onni keltirish mumkin. (7.2 - chizma). Agar to‘g‘onning uchlari bikr mahkamlangan deb hisoblansa, to‘g‘onning hamma kesimlari, shu jumladan uchlaridagi ham, tekis deformatsiya holatida bo‘ladi. Agar to‘g‘onning uchlari mahkamlanmagan deb hisoblansa, to‘g‘onning o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlariga uning asosi bilan asosga tegib turgan yer sirti (to‘gonning tubi) orasidagi ishqalanish natijasida yuzaga keluvchi siljish bog‘lanishlari to‘sqinlik qiladi.
Bu holda Sen-Venan prinsipiga asosan tekis deformatsia holatida to‘g‘onning uchlaridan yetarli uzoqlikdagi kesimlari bo‘ladilar.
Faraz qilaylik, tekis deformatsiya holatidagi jism uchun (7.1) munosabatlar berilgan bo‘lsin.
U holda Koshining olti differensial bog‘lanishlaridan faqat uchtasi qoladi:
(7.3)
qolgan uchtasi nolga aylanadi

Guk qonunining deformatsialarga nisbatan yechi gan ko‘rinishi

(7.4)
kabi bo‘ladi. Deformatsialarning olti uzviylik tenglamalaridan faqatgina bittasi qoladi
(7.5)
qolganlari esa aynan qanoatlantiriladilar.
Tekis deformatsianing (7.1) munosabatlaridan hamda Guk qonunidan

bu erda
, (7.6)
kelib chiqib kuchlanish tenzori komponentalari uchun quyidagi ifodalarga ega bo‘lamiz:
(7.7)
Bu yerda kuchlanish tenzorining komponentalari ham, xuddi ko‘chishlar kabi, koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Yuqoridagi (7.7) ifodalarning birinchi ikkitasidan

u holda
(7.8)
Muvozanat (….) differensial tenglamalari tekis deformatsiya holatida quyidagi ko‘rinishni oladi
(7.9)
Qaralayotgan jismning yon sirtlaridagi (…) chegaraviy shartlar uning ko‘ndalang kesimining L konturidagi shartlarga keltiriladi:
(7.10)
Jism uchlaridagi chegaraviy shartlar ularning mahkamlanishlari jism uchlari va ko‘ndalang kesimlarida kuchlanishlarning yuzaga kelishiga olib keladi. Xuddi ana shu kuchlanishlarning mavjudligi jismning tekis deformatsiya holatining asosiy sababchisidir.
Jism uchlaridagi zo‘riqishlar umumiy holda bo‘ylama kuchga
(7.11)
hamda va bosh markasiy o‘qlarga nisbatan momentlarga
(7.12)
keltiriladi.