Elektromagnit maydon

Erkin maydonlarni kvantlash

Hozirgacha erkin maydonlarni qarab chiqdik. Endi shu to’lqin maydonlarni kvantlashni qarab chiqamiz. Kvantlangan maydonlar nazariyasida maydon funksiyalari zarralarni va ularning o’zaro bir —biriga aylanishlarini bayon qiladi. Shu sababdan to’lqin funksiyalar kvantlanganda operator xarakteriga ega bo’ladi va tug’ilish hamda yo’qolish operatorlariga ajraladilar. Bu tug’ilish va yo’qolish operatorlari orasida esa o’rin almashtirish munosabatlari o’rnatiladi. Bu o’rinda operator U⁺(k) m — massali, k - 4 — impulsli zarrachaning tug’ilishini, U^-(k) esa shunday zarrachaning yo’qolishini bildiradi. Bu opreatorlar orasida quyidagi o’rin almashtirish munosabatlarini keltirish mumkin.

, agar bo’lsa va nihoyat

Bu munosabatlar ma’nosi quyidagicha: zarralarning tug’ilish, shu bilan birga yo’qolish operatorlari orasida bog’liqlik yo’q, agar tug’ilish va yo’qolish operatorlari turlicha impulsga .ega bo’lsa ham ular orasida bog’liqlik bo’lmaydi. Va nihoyat , bir xil zarra bir xil impulsli tug’ilish va yo’qolish operatorlari orasidagina bog’liqlik, ya’ni sabab — oqibat aloqasi mavjuddir. Oxirgi munosabatni maydon kvantlari spinini inobatga olgan holda boshqacha ko’rinishda yozishimiz mumkin.
. Bu ifodada — ishora butun spinli maydonlar uchun o’rinli bo’lib Boze —Eynshteyn kvantlashi, + ishora esa spinor maydonlar uchun o’rinli bo’lib Fermi — Dirak kvantlashi deyiladi. Bu tasdiq "Butun spinli zarrachalarni ifodalovchi maydonlar Boze —Eynshteyn usuli bo’yicha, kasr spinli zarrachalarni ifodalovchi maydonlar esa Fermi — Dirak usuli bo’yicha kvantlanadi" degan Pauli teoremasini ifodalaydi.
Opreatorlar normal ko’paytmasi
Normal ko’rinishdagi operator va operatorlar normal ko’paytmasi tushunchalari hisoblashlarini osonlashtirish maqsadida kiritiladi. Operatorning normal formasi deganda har bir had U⁺— tug’ilish U⁺ operatorlarining U^- — yo’qolish operatorlaridan chapda joylashgan ko’rinishi tushuniladi. Operatorlar normal ko’paytmasi deganda esa ikkita operator ko’paytmasining normal formada ifodalanisi tushiniladi. Masalan,

ya’ni operatorlar normal ko’paytmasi: kabi belgilanadi.
Shunga ko’ra, barcha dinamik kattaliklar normal ko’rinishda ifodalanadi. Masalan, va hakozo. Vakuum amplitudasi ₀ ni aniqlashga ko’ra, ya’ni va bunga qo’shma ifoda bo’ladi. Bunga ko’ra, dinamik kattaliklarning vakuumdagi o’rtacha qiymatlari 0 ga teng bo’ladi va h.k. Ya’ni, hisoblarda nol energiya, nol zaryad kabi kvantlashda hosil bo’ladigan nofizik kattaliklardan shu yo’l bilan qutilish mumkin. Endi operatorlar normal ko’paytmasini bilgan holda skalyar, vektor, elektromagnit maydonlarni qaraydigan bo’lsak, dinamik kattaliklar normal ko’rinishda yoziladi va bu erkin maydonlarni qaraganimizdagiday tug’ilish va yo’qolish operatorlari ma’lum fizik harakatni bildiradi. Agar spinor maydonni qarasak energiya —impuls 4 —vektori
bo’lib, bu kattalik musbat aniqlanmagan edi, Spinor maydon operatorlari Fermi — Dirak munosabatlarini qanoatlantirishini inobatga olsak bo’ladi, ya’ni musbat aniqlanadi. Bu yerda va mos ravishda — impulsli, —massali, -+1 zaryadli, spinining Z o’qiga proyeksiyasi yoki bo’lgan zarracha tug’ilish va yo’qolish operatorlari, va operatorlar esa — 1 zaryadli, spin proyeksiyasi yoki zarrachaga, ya’ni antizarraga mos keladi.