Eng kichik kvadratlar usuli

Y₁=a+bX₁ (8)
ko’rinishda bo’ladi. Bu (8) izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasini eng kichik kvadratlar usuli bo’yicha aniqlash quyidagicha bajariladi: ordinatasi Y₁ ga teng bo’lgan nuqtalardan izlanayotgan to’g’ri chiziqqacha ordinatalar o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq ordinatalarning qiymati a+bX₁ ga teng. Nuqtadan ordinata bo’yicha to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa esa (a+bX_i -Y_i )=ε_i ga teng.
Agar bunday masofalar kvadratlarinnig yig’indisi eng kichik, ya’ni
(9)
bo’lsa, to’g’ri chiziq biz izlayotgan to’g’ri chiziqqa eng yaqin keluvchi chiziq bo’ladi, deb faraz qilish mumkin. Bu yig’indining minimumi differentsial qoidalariga asosan topiladi. (9) tenglamadagi a va b koeffitsientlar o’zgaruvchan kattaliklar bo’lib, ular uchun shunday qiymatlarni aniqlash kerakki, bu qiymatlar (9) ni to’la qanoatlantirsin. Buning uchun (9) dan a va b o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirsak

ifodalarni olamiz. Bularni shunday yozish mumkin.

Yig’indi ichidagi qavsni ochib chiqsak
(10)
(10) ifodani (8) boshlang’ich tenglamaning normal tenglamalari deyiladi.
Bu normal tenglamalar muayyan usul bo’yicha tuziladi. Ko’rinib turibdiki:
1) (10) ning a uchun yozilgan normal tenglamasini hosil qilish uchun (8) boshlang’ich tenglamani har birining chap va o’ng tomonlarini a ning oldida turgan koeffitsientga ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni yig’ib chiqish kerak.
2) (10) ning b ga tegishli normal tenglamasini hosil qilish uchun xuddi oldingiga o’xshash (8) ning chap va o’ng tomonining b ning oldidagi koeffitsientga ko’paytirib, hammasini yig’ib chiqish kerak. Bu normal tenglamalardan foydalanib (8) boshlang’ich tenglamadagi noma’lum a va b koeffitsientlarni aniqlash mumkin. Bu noma’lum koeffitsientlarni aniqlash usullari xilma-xildir. (10) dan a ni aniqlash uchun birinchi yo’lga b ning normal tenglamasini yozamiz, ikkinchi yo’lni bo’sh qoldirib, uchinchi yo’lga a ga tegishli normal tenglamani yozamiz. Bo’sh qoldirilgan ikkinchi yo’lga b ning normal tenglamasini b oldidagi koeffitsientga bo’lishdan hosil bo’ladigan tenglamani yozamiz. Ikkinchi yo’ldagi tenglamani b ning normal tenglamasidagi a ning koeffitsienti ga ko’paytirishdan hosil bo’ladigan tenglama to’rtinchi yo’lga yoziladi. Aytilganlarni bajarib ko’raylik:
.


Agar uchinchi tenglamadan to’rtinchi tenglamani ayirsak,
.
Tenglik hosil bo’ladi, bundan izlanayotgan a koeffitsient topiladi:
(11)
a ning oldidagi P_a koeffitsientga a ning