Erkin va so‘nuvchi tebranishlar. Majburiy tebranishlar

3. Matematik mayatnik

Mayatnik deb og‘irlik markazdan o‘tmagan ixtiyoriy o‘q atrofida tebrana oladigan har qanday qattiq jismga aytiladi.

Mayatniklarning eng sodda turi matematik mayatnikdir.
Matematik mayatnik deb vaznsiz ingichka cho‘zilmaydigan ipga osilgan, ma’lum massali moddiy nuqtadan iborat sistemaga aytiladi.


2-rasm.
Juda kichik shar osilgan ingichka ipdan tashkil topgan mayatnik amalda matematik mayatnik bo‘la oladi (2 - rasm).
Matematik mayatnik muvozanat vaziyatidan juda kichik, ya’ni 5єdan katta bo‘lmagan burchak ostidagi tebranishi ham garmonik tebranishdan iborat bo‘ladi.
Matematik mayatnik tebranish davrini ifodalovchi formulani kelib chiqishini qarab chiqamiz.
Garmonik tebranayotgan matematik mayatnik chetki muvozanat holatda bo‘lganda (2 – rasm), uning og‘irlik kuchini ikkita va tashkil etuvchi kuchlarga bo‘lamiz. Og‘irligining tashkil etuvchisi ipning - taranglik kuchi bilan muvozanatlashadi.
mayatnikni muvozanat holatiga qaytaruvchi tashkil etuvchi kuch esa tebranishni hosil qiladi. Bunda minus ishora kuch X siljishga qarama-qarshi yo‘nalganligini ifodalaydi. Rasmda bo‘lgani uchun kuch quyidagiga teng bo‘ladi:
(24)
Ikkinchi tomonidan, Nyuton ikkinchi qonuniga binoan matematik mayatnikning harakat tenglamasi quyidagiga tengdir:
(25)
(24) va (25) formulalarni tenglashtirib, matematik mayatnikning garmonik tebranishining tezlanishini aniqlaymiz:
(26)
Bu oniy tezlanish bo‘lganligi uchun
(27)
(27) formuladan matematik mayatniknig siklik chastotasi - ni aniqlaymiz:

Shunday qilib, matematik mayatnikning tebranishi garmonik bo‘lganda uning tebranish davri (26) dan quyidagiga teng bo‘ladi:
(28)
Matematik mayatnikning tebranish davri, uzunlikdan chiqarilgan kvadrat ildizga proporsional bo‘lib, .erkin tushish tezlanishidan chiqarilgan ildizga teskari proporsional.
Mayatnikning tebranish davri uning massasiga va tebranish davri amplitudasiga bog‘liq bo‘lmaydi, ya’ni tebranishning boshidagi va oxiridagi davrlari bir xil bo‘ladi.
Mayatniklarning juda keng tarqalgan amaliy tadbiqi ulardan soatlarda vaqtni o‘lchash uchun foydalanishdir.
Laboratoriyada matematik mayatnik yordamida erkin tushish tezlanishi ning qiymatini aniqlash mumkin.
Buning uchun o‘lchanayotgan mayatnik tebranishining yetarlicha katta tebranish soni asosida uning tebranish davri topilib, esa (28) formuladan aniqlanadi:
(28’)