Eshpardayev bobomurodning matematik analiz fanidan "hosiladan foydalanib tenglamalarni yechish"

1.2. Oddiy differensial tenglama
y  f x funksiya a; b intervalda aniqlangan bo’lsin. a; b intervalga
tegishli x0 va x0  x nuqtalarni olamiz. Funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi y  f x0  x f x0 ni hisoblab nisbatni tuzamiz.
2-ta‘rif. Funksiya orttirmasi y ning argument orttirmasi x ga nisbatining
x nolga intilgandagi limiti (agar u mavjud bo’lsa) y  f x funksiyaning x0
nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning hosilasi
Hosilani topish jarayoni funksiyani differensiallash deb ataladi.
Endi yuqorida qaralgan misollarga qaytamiz. Hosila tushunchasidan
foydalanib tenglikni ko’rinishda yozish mumkin. Demak, to’g’ri chiziqli bir tomonlama harakatda oniy tezlik yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng ekan.
Bu hosilaning mexanik ma‘nosidir. (2) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib Shunga o’xshash (19.3) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib f'x0 y  f x Mx0, f x0  koeffitsientiga teng ekan. Bu hosilaning geometrik ma‘nosi.
3-misol. y  x2 funksiyaning istalgan nuqtadagi hosilasi topilsin.
Yechish. f x0 x02, f x0  x x0  x2 , y  f x0  x f x0 =x0  x2  x02  x02  2x0x  x2  x02  2x0x  x2
chunki x0 aniq qiymat. x0 -istalgan nuqta bo’lganligi uchun y  x2 funksiya  ,   intervalning barcha nuqtalarida hosilaga ega ekanligi va uning hosilasi 2х ga tengligi kelib chiqadi, ya‘ni x2  2x.
4-misol. y  x2 parabolaga M3; 9 nuqtasida o’tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsienti topilsin.
x0 f x0 f 3 32  9f 'x0 2x0 f '3 23  6 Biz yuqorida hosilaning mexanik va geometrik ma‘nolari bilan tanishdik. Endi
uning biologik va iqtisodiy ma‘nolari bilan tanishamiz. Hosilaning biologik ma‘nosi. Ko’paygan mikroorganizmlar soni y va ko’payish vaqti t orasidagi bog’lanish y  p(t) tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Vaqtning aniq t momentiga mikroorganizmlarning aniq p(t) soni va
vaqtning boshqa t  t momentiga mikroorganizmlarning aniq pt  t soni mos
keladi. y  pt  t p(t) ifoda t vaqt oralig’ida mikroorganizmlarni o’zgarish
sonini beradi. nisbat ko’payishning o’rtacha tezligi yoki boshqacha aytganda ko’payishning  mikroorganizm ko’payishining samaradorligini anglatadi. Bu hosilaning biologic ma‘nosi. Hosilaning iqtisodiy ma‘nosi. y  f (x)
funksiyani olaylik.
f (t)x  x mahsulotning f x  x miqdori mos keladi. y  f x  x f x ayirma xarajat x ga oshganda olingan qo’shimcha mahsulotning miqdorini beradi.
nisbat sarflangan x xarajat miqdoriga mos olingan mahsulot   xarajatlarning ma‘lum miqdoridagi olingan mahsulot hajmining o’zgarish tezligini
(xarajat birligida olingan mahsulot hajmini) anglatadi. Bu hosilaning iqtisodiy
ma‘nosidir.
3-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya x0 nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u shu
nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi.
4-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya a; b intervalning har bir nuqtasida
differensiallanuvchi bo’lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi deb ataladi.
Funksiyaning uzluksizligi va differensiallanuvchiligi orasidagi bog’lanishni
ko’rsatadigan teoremani isbotlaymiz.
1-teorema. Agar y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u
shu nuqtada uzluksizdir.
Isboti. y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lgani uchun
chekli limit mavjud. Buni limitning xossasi (16.5-teorema) dan foydalanib  y  f (x) x0 funksiyaning chekli hosilaga ega ekanligidan uning uzluksizligi kelib chiqar ekan.
Teskari da‘vo, umuman aytganda, to’g’ri emas, chunonchi nuqtada uzluksiz,
biroq bu nuqtada hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham mavjud.
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya butun sonlar o’qida, jumladan х0=0 nuqtada ham uzluksiz (21-chizma), chunki Bu funksiyaning х0=0 nuqtada hosilaga ega emasligini ko’rsatamiz.
Shunday qilibnisbat х=0 nuqtada har xil bir tomonlama limitlarga ega. Bu
nuqtada limitga emasligini, ya‘ni f '0 hosilaning mavjud emasligini ko’rsatadi.
Demak, funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli
hosilaga ega ekanligi(differensiallanuvchiligi) kelib chiqmas ekan.
Differensiallashning asosiy qoidalari. teorema. Agar ux va vx funksiyalar x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va mahraji noldan farqli bo’lganda bo’linmasi ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, hosilalar а) u  v' u'v' , b) uv' u'v uv'
formulalar yordamida topiladi.
Isbot. (Bo’linma uchun). y  f (x)  bo’lsin, bu yerda vx 0 y orttirmani tuzamiz:
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bilan tanishamiz. y  f (u),
u(x) murakkab funksiyani qaraymiz.
3-teorema. y  f (u) va u (x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin.
Murakkab f (u) funksiyaning erkli o’zgaruvchi х bo’yicha hosilasi bu
funksiyaning oraliq argumenti u bo’yicha hosilasi yu' ning oraliq argumentning
erkli o’zgaruvchi х bo’yicha hosilasi u'(x) ga ko’paytmasiga teng, ya‘ni
y'x0 f 'u0u'x0 yx'  yu' ux' yerda differensiallanuvchi u(x) funksiya uzluksiz va x 0 da u 0 ni hisobga oldik.
Teskari funksiya va uning hosilasi. a; b kesmada aniqlangan o’suvchi yoki kamayuvchi y  f (x) funksiyani qaraymiz. f a c , f b d bo’lsin. Aniqlik uchun y  f (x) funksiyaa; b kesmada o’suvchi deb faraz qilamiz. a; b kesmaga tegishli ikkita har xil x1 va x2 nuqtani x1  x2 y1  f x1y2  f x2 y1  y2 Demak, argumentning ikkita har xil x1 va x2 qiymatlarga funksiyaning ikkita
har xil y1 va y2 qiymatlari mos keladi. Buning teskarisi ham to’g’ri, ya‘ni y1  y2
bo’lib, y1  f x1, y2  f x2bo’lsa, o’suvchi funksiya ta‘rifidan x1  x2 bo’lishi
kelib chiqadi.
Boshqacha aytganda х ning qiymatlari a; b kesma bilan у ning qiymatlari
c; d kesma orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatiladi. у ni argument, х ni
esa funksiya sifatida qarab х ni у ning funksiyasi sifatida hosil qilamiz:
x (y).
Bu funksiya berilgan y  f (x) funksiyaga teskari funksiya deyiladi.
Kamayuvchi funksiya uchun ham shunga o’xshash mulohaza yuritish mumkin.
Shuni aytish lozimki, y  f (x) funksiyaning qiymatlari sohasi c; d unga teskari
x (y) funksiyaning aniqlanish sohasi bo’ladi va aksincha. x (y) funksiya
uchun y  f (x) funksiya teskari funksiya bo’lgani uchun x (y) va y  f (x)
funksiyalar o’zaro teskari funksiyalar deb ataladi.
y  f (x) funksiyaga teskari funksiya y  f (x) tenglamani х ga nisbatan
yechib topiladi. O’zaro teskari funksiyalarning grafigi 0ху tekisligidagi bitta egri
chiziqni ifodalaydi.
5-misol. y  x3 funksiyaga teskari funksiya topilsin.
Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan va o’suvchi. Tenglikni
х ga nisbatan yechsak berilgan funksiyaga teskari x  3 y funksiya hosil bo’ladi.
Har qanday funksiya ham teskari funksiyaga ega bo’lavermaydi. Masalan
y  x funksiya , intervalda teksari funksiyaga ega emas, chunki у ning
har bir musbat qiymatiga х ning ikkita x   y va x  y qiymatlari mos keladi.
Agar y  x2 funksiyani ,0 intervalda qaralsa funksiya x   y teskari
funksiyaga ega, chunki у ning har bir musbat qiymatiga х ning yagona y  x2
tenglikni qanoatlantiradigan qiymati mos keladi.
Shuningdek y  x2 funksiyani 0, oraliqda qarasak unga teskari x  y
funksiya mavjud bo’ladi.
y  f (x) x (y) y  f (x) y (x) funksiyalarni grafigini bitta koordinatalar sistemasida chizsak grafik
birinchi koordinatalar burchagining bissektrisasiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
4-teorema. Agar o’suvchi (kamayuvchi) y  f (x) funksiya a; b kesmada
uzluksiz, shu bilan birga f a c , f b d bo’lsa, u holda unga teskari x (y)
funksiya c; d(d; c) kesmada aniqlangan monoton va uzluksiz bo’ladi.
x (y) y  f (x) 5-teorema. Agar x (y) funksiya biror intervalda monoton bo’lib shu intervalning y nuqtasida noldan farqli '(y) hosilaga ega bo’lsa, bu nuqtaga mos х nuqtada teskari y  f (x) funksiya ham hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi.Isboti. Shartga binoan x (y) funksiya monoton va differensiallanuvchi
bo’lgani uchun u uzluksiz hamda unga teskari monoton va uzluksiz y  f (x)
funksiya mavjud. х ga x  0 orttirma bersak y  f (x) funksiya y orttirma oladi
va uzluksizligini nazarga olsak x 0 da y 0. Natijada y  ko’rinishda yozish mumkin. Shunday qilib, teskari funksiyaning hosilasi shu funksiya hosilasiga teskari miqdorga teng ekan.