Эталон тенгламалар усули

Лемма 3.4. (3.14) тенгламанинг коэффиценти лемма 3.3 шарти бажарилса, , , . У ҳолда иҳтёрий тебранмайдиган ечими (3.14) тенглама қуйидаги кўрнига эга,


.

тенглама интилганда ВКБ-ечим кўринишдаги асимптотик ечимига эга,

,

бу ерда, , , ВКБ-ечимга ўтиш маълум бўлган чизиқли тенгламалар усули ёрдамида [8]. (3.12) тенгламанинг маҳсус асимптотик ечими ( ) ВКБ-ечим Харди формасида, [8] мавжудлиги исботланган.

Теорема 3.2. Агар , лигида , булади. У ҳолда (3.12) тенгламанинг маҳсус ечими , муносабатдан аниқланувчи, асимпто­тик кўринишга эга,


, ,

бу ерда ўзгармас , .

Исбот. Харди формасидаги ВКБ-ечим бу ҳолда қуйидаги кўринишга эга,





нуқтанинг чап атрофида функция (3.12) тенгламанинг маҳсус асимптотик ечимига эга. (3.12) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда излаймиз,


, .

Сўнг, (3.12) тенгламада ни ўрнига қўйсак, қуйидагига эга бўламиз,

.


функция , аниқланган. Демак, биз лемму 3.5 фойдаланамиз. бўлганда, эгамиз, 3.2 теоремани ўринлигини исботлайди.
дан катта силлиқликни талаб этсак, масалан , исботланади, (3.12) тенглама маҳсус ечим, асимптотикага эга бўламиз,


.


нуқта тенгламани ечиш орқали топилади.
Бундан, , ,
,

яна чизиқли тенгламалар ҳолатларда маълум бўлган ВКБ-ечимга эга бўламиз. Демак, ВКБ-ечим (3.12) тенгламанинг яқинлашувчи ҳусусий ечим қаторидан қопловчи хоссаларига ўтади, яъни етарлича катта синф учун ечим қаралаётган функция айнан ВКБ-ечимга интилади.

Энди, (3.4) тенгламанинг ВКБ-ечим кўринишдаги асимптотикани текширишга ўтамиз,


, , , (3.16)

бу ерда, , , . (3.16) тенглама-нинг Харди формасидаги ВКБ-ечим асимптотик кўриншдаги ечим В. Евтуховым томонидан аниқланган [8].

Аввало, (3.16) тенгламанинг асимптотик ечимини аниқлашга ўтамиз, дифференциал тенгламалар системасини қараймиз,


(3.17)

бу ерда функция , , узлуксиз, ҳамда

,

соҳада ўзгарувчилар узлуксиздир.

Фараз қилайлик, функция Липщиц шартини қаноатлантирсин,





бу ерда, , ва , ~ D соҳадаги иҳтиёрий нуқталар, ҳамда . Қуйидаги тасдиқ ўринлидир.