Эталон тенгламалар усули

Теоремалар Харди [8]. Агар – функция, Хардига формасига тегишли бўлса, у холда
а) агар функция нисбатан чексиз кетма-кетлик эга бўлса, у ҳолда иҳтиёрий бутун сони учун қуйидаги ифода ўринли


(3.7)


б) агар функция нисбатан чекли μ кетма-кетликка эга булса, у холда ихтиёрий сони учун куйидаги ифода уринли


, (3.8)


бу ҳолатдан бошқа, – мусбат бутун сон, ҳамда .
Шу ҳол учун ва кейинчалик муносабат, , ўринли бўлади, ҳамда бўлса, бўлади.
Энди (3.4) масаланинг қуйилиши билан шуғулланамиз, бунинг учун,

бу ерда, – оралиққа тегишли ҳали аниқланмаган дифференциалланувчи функция, эса (3.3) тенгламанинг ечими.

функцияни (3.1) қўйсак, у ҳолда қуйидаги муносабатга эга бўламиз,


. (3.9)
ва қуйидаги шардан танлаймиз
, (3.10)
.

(3.10) тенгламалар системасини интегралласак, қуйидаги ифодага эришамиз,

,
.

Демак, (3.3) бир параметрли ечимлар оиласига эга,

,
, (3.11)

бу ерда – иҳтиёрий ўзгармас.

Бу бобда биз эталон усулларини асослаш орқали Эмден-Фаулер типли иккинчи ва учинчи тартибли оддий дифференциал тенгламаларга қўллаш билан шуғулланамиз.
Шунинг дек, юқорида тузилган биринчи ва иккинчи типли ВКБ-ечим ишлатилади.

Ночизиқли иккинчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар учун «эталон» усули

соҳага тегишли Эмден-Фаулер типли тенгламаларни кўриб чиқамиз:


(3.12)

Айрим аниқликларни келтирамиз [8-9].