Натурал сонлар системаси. Математик индукция принципи

Натурал сонлар системаси. Математик индукция принципи
Режа:


1. Сонлар системасини куриш тушунчаси.
2. Натурал сонлар системаси.
3. Пеано аксиомаси.
4. Математик индукция принципи.

Биз алгебраик системалар мавзусини урганганимизда унинг туплами исталган элементлардан тузилган булишини курдик. Агар каралаётган системаларнинг асосий туплами элементлари сонлардан иборат булса, у холда бундай системалар одатда сонли системалар дейилади. Мазкур маърузада биз натурал сонлар системасини урганамиз. Сонли системаларни іуришнинг конструктив ва аксиоматик усуллари мавжуд. Бу усуллар туплам тушунчасига асосланган.

Конструктив усулда іурилаётган система олдиндан маълум хисобланган тушунчага асосланиб курилади.
Сонли системаларни аксиоматик усулда куришда эса хар бир системанинг асосий хоссалари аксиомалар ёрдамида берилади.
Мазкур мавзуда натурал сонлар системасининг аксиоматик усулда курилишини урганамиз. Бунинг учун бошлангич муносабат сифатида "в элемент а элементдан бевосита кейин келади" муносабати ва бу муносабат учун ґринли бґлган аксиомалар системасини оламиз.
Таъриф. Бирор буш бґлмаган N тупламнинг а ва в элементлари учун "в элемент а элементдан бевосита кейин келади" муносабати уринли булиб, N туплам элементлари учун куйидаги туртта аксиомалар бажарилса, у холда N тупламнинг элементларига натурал сонлар дейилади:
1) Хеч кандай натурал сондан кейин келмайдиган 1 сони мавжуд (агар а дан бевосита кейин келадиган элементни a^/ десак, у холда а^/ 1 куринишда ёзилади);
2) Исталган натурал а сон учун ундан бевосита кейин келадиган натурал сон ягонадир, яъни ( a, вN)(a=в)=>(a^/=в^/);
3) 1 сонидан бошка ихтиёрий натурал сон битта ва факат битта натурал сондан кейин келади, яъни ( a, вN)(a^/=в^/)=>(a=в);
4) Агар натурал сонлар тупламининг ихтиёрий М тупламостиси:
а) 1 ни уз ичига олса;
в) Ихтиёрий а элементининг М да булишидан а^/ нинг хам М да булиши келиб чикса, у холда М тупламости N натурал сонлар туплами билан устма-уст тушади, яъни (M N)((lM) (aM=>a^/M))=>M=N (индукция аксиомаси) булади.
Юкоридаги таърифдаги аксиомаларни дастлаб Италия математиги Пеано (1858-1932) таклиф этгани учун уларни Пеано аксиомалари деб юритилади.
Натурал сонлар системасига куйидагича таъриф бериш мумкин [2 нинг 119 бетида]:
Таъриф. Кушиш ва купайтириш амаллари аникланган 0 ва 1 элементлари киритилган N туплам элементлари учун куйидаги шартлар (аксиомалар) уринли булса, у холда N₁= •, 0, 1> агебрага натурал сонлар системаси дейилади:

1. 
   (nN) n+1 0, яъни 0 элементни N нинг хар кандай n элементи ва 1 нинг йигиндиси сифатида ифодалаш мумкин эмас;
   
2. 
   (m,nN) m+l=n+l=>m=n яъни кушиш амали буйича 1 дан чапда келувчи хеч кандай элемент йук;
   
3. 
   (mN) m+0=m, яъни 0 элемент кушиш амалига кура унг нейтрал элемент;
   
4. 
   (m,nN) m+(n+l)=(m+n)+l яъни кушиш амали кучсиз, ассоциатив шаклда булади;
   
5. 
   (mN) m0=0;
   
6. 
   (m,nN) m(n+l)=mn+m яъни купайтиришнинг кушишга исбатан кучсиз дистритутив шакли булади;
   
7. 
   Агар M N булганда:
   

а)0М, б) nM=>n+lM, у холда M=N булади.
7-аксиома математик индукция аксиомаси дейилади. N тупламнинг элементларини натурал сонлар дейилади. 0 ва 1 элементларни мос равишда N системасининг ноль ва бирлик элементлари дейилади. 1+1, (1+1)+1, ((1+1)+1),... ёзув урнида мос равишда 2, 3, 4,... оддий унлик белгилар ишлатилади.
Таъриф. Математик индукция принципи деб куйидаги аксиомага айтилади:
Бирор жумла п натурал сонга боглик булиб, куйидаги аксиомалар уринли булсин, яъни
1. n=1 учун жумла рост;
2. n=k учун жумланинг ростлигидан n=k+l учун жумланинг ростлиги келиб чикади.
Бу холда жумла n нинг хар кандай натурал кийматида рост булади.
Бу аксиоманинг шартларини текшириш куйидаги иккита теорема билан аникланади:
1-теорема. Жумланинг n=1 учун ростлигини исботлаш;
2-теорема. Жумланииг n=k учун тугри деб фараз килиб, унинг n=k+l учун ростлигини исботлаш.
1-теoремага индукция базиси, 2-теоремага индукцион кадам дейилади.
Таъриф. Хусусий жумлалардан умумий хулоса чикариш индукция дейилади.
Индукция икки хил, яъни тула ва чала индукция булади.
Таъриф. Барча хусусий холларни текшириб умумий хулоса чикариш тула индукция дейилади.
Таъриф. Барча хусусий холларни текширмасдан бир нечта хусусий холларни текшириб умумий хулоса чикариш чала индукция дейилади.
Чала индукция билан хосил килинган натижалар нотугри булиши мумкин. Шунинг учун у математикада куп ишлатилмайди.
Мисол. 1+3+5+...+(2n-1)=n² тенгликни n нинг хар кандай натурал кийматида тугри эканлигини исботланг.
Берилган тенгликнинг ростлигини математик индукция принципи асосида исбот киламиз.
1. n=1 учун 1=1² тугри;
2. n=k учун 1+3+5+...+(2k-l)=k² тенгликни kN булганда тугри деб фараз килиб n=k+1 учун 1+3+5+...+(2(k+l)-l)=(k+l)² тенгликнинг тугрилигини исботлайлик.
Исботи. 1+3+5+...+(2k-l)+(2(k+l)-l)=k²+2k+2-l= =k²+2k+l=(k+l)², яъни 1+3+5+...+(2(k+l)-l)=(k+l)² келиб чикади. Демак, берилган тенглик nN булганда рост булади.
Теорема (Математик индукция принципи). Агар бирор В(n) тасдик n=1 учун рост булиб, унинг n=k учун ростлигидан n=k+l учун ростлиги келиб чикса, у холда В(n) тасдик исталган n натурал сон учун рост булади.
Бу теореманинг исботи [1] дa келтирилган.

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпулатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси.I кисм. Тошкент:Укитувчи. 1993 й.
   

(66-73 бетлар).
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва:Высш. шк.1979 г. (стр. 117-122).