Эталон тенгламалар усули

Таъриф 3.2. (3.12) тенгламанинг ечими оралиқда аниқланган бўлса, давом эттирилувчи дейилади, ва аксинча агарда оралиқда аниқланган бўлса, ҳамда x₃ нуқтадан кейин давом эттирилмайдиган.
Таъриф 3.3. (3.12) тенгламанинг ечими тебранмайдиган дейилади, агарда қаралаётган интервалда камида битта нол бўлмаса, ва тебранувчи дейилади, агарда қаралаётган интервалда камида иккита нуқтада нолга айланса.
Таъриф 3.4. (3.12) тенгламанинг ечими муҳим (финитли) дейилади, агарда якуний интервалда нолдан фарқли бўлса, яъни айнан нольга тенг бўлса.
Юқорида кўрилган ВКБ-ечимлар асимптотиканинг давом эттирилган, давом этирилмаган ва (3.12) тенгламанинг муҳим ечимлар беришини исботлаймиз.
(3.4) муносабатдан қийматидан оддий ВКБ-ечим ҳосил бўлади.
Демак, (3.1) кўринишдаги тенгламанинг асимптотик ечимини аниқлашда қуйидаги муносабат муҳим ўринга эга,


(3.13)

бу ерда, ва — маълум бўлган функциялар, яъни (3.1) тенглама булганда ечимнинг асимптотик турғунлигини ўрганади, ёки ҳоллар учун. Демак, ҳосил қилинган, ) нисбатан ва дифференциал тенглама мос танлашнинг интилганлигида автономдек, баъзи ҳолда автоном бўлади.

Қуйидаги тенгламани кўриб чиқамиз,


, (3.14)

бу m = 0 қийматда (3.13) тенгламани қайта ишлаш орқали, (3.12) тенгламадан ҳосил бўлади.

Кейинчалик бизга қуйидаги лемма керак бўлади [8].
Лемма 3. Агар функция узлуксиз бўлса, функциялар эса ҳар бир якуний ярим мусбат ўқида интегралланувчи бўлади. Агар кейинчалик бўлганда,


, ,
(i=2,3) бўлади, бу ерда .

Агар тенглама,

тебранувчи ечимига эга бўлмаса, у ҳолда нотривиал учун тебранмайдиган (3.14) тенгламанинг давом эттирилмаган ечими бўлади: ё , ё , ҳолларда, бу ерда - оҳирги тенгламанинг қандайдир нотривиал ечими.