Эталон тенгламалар усули

Эталон тенгламалар усули

Ночизиқли параболик, эллиптик ва параболик тенгламалар турли соҳаларни ифодалаши орқали Эмден-Фаулер типидаги тенгламалар ҳосил бўлади. Бунга мисоллар келтирамиз.

Параболик типли тенгламаларни ечиш хоссаларини тадқиқ қилишда, автомодел ечиш асосий ўринга эга, яъни маълум кўринишли ночизиқли оддий дифференциал тенгламанинг ечимини топишдек.

Бу бобда, иккинчи ва учинчи тартиби ночизиқли оддий дифференциал тенгламаларни айрим синфи эталон тенгламалар усули ёрдамида ечиш тадқиқ қилинади [5-12].
Теоремаларни исботлашда [5-12] ишларда кўрилган усуллардан фойдаланилади.
Аввало, Эмден-Фаулер типли тенгламаларни муносабатини кўриб чиқамиз,


(3.1)

бу ерда, ва - қандайдир силлиқ функция.

Турли хил ҳусусий ҳолларда (3.1) тенглама, кўпгина тадқиқотларга мисол бўлган (буни [9] ишларида кузатиш мумкин). Қуйидаги ҳолларда: Эмден-Фаулер тенгламаcи, σ = -1/2, n = 3/2 – ҳолларда эса Томас-Ферма тенгламаcидир [8]. x→∞ ҳолати учун Эмден-Фаулер тенгламалар асимптотик ечилган [9]. (3.1) тенгламанинг турли ҳоссалари: тебранувчи монотон ечимларини мавжудлиги (при) ( бўлса, бўлади) [8-9], ҳоли учун [10]. Штурм-Лиувилл масаласи учун «эталон» тенгламаларни ечиш усули (ВКБ усули) [8] ишда таклиф этилган.
(3.1) тенгламанинг асимптотик ечим ўрнатиш натижаларини [2] да топиш мумкин, янада умумий ҳолни [9]да кўриш мумкин.
ВКБ усул (эталон тенгламалар) М. В. Федорюнка асослаган ихтиёрий тартибли чизиқли оддий тенгламалар учун [8].


ВКБ-ечимни қуриш

ВКБ-ечимини қуриш билан шуғулланамиз. ВКБ-ечим термини, одатда чизиқли тенгламалар учун фойдаланилади, энди ночизиқли ҳоли учун ҳам фойдаланамиз, ВКБ-ечим формаси учун чизиқли ва ночизиқли ҳоллар бир хилдир.

ВКБ-ечимнинг икки вариантини кўриб чиқамиз.
Таъриф 3.1. Функцияни


(3.2)

бу ерда - қуйидаги тенгламанинг ечими

, (3.3)

(3.1) тенгламанинг Харди формасидаги ВКБ–ечим деб номлаймиз

, (3.4)

бу ерда,

,

ВКБ-ечим деб атаймиз.

(3.4) функция ҳолати учун l-чи тартибли чизиқли тенгламанинг ВКБ-ечимга айланади.
(3.4) функциянинг m=0 ҳолати учун бир маҳсус ҳоссасини келтирамиз.
Агар


(3.5)


- бўйича функциянинг инварианти ёки Шварцнинг иҳтиёрийсидир. У ҳолда (3.4) функция ҳоллари учун қуйидаги шартни қаноатлантиради

Ҳусусан, агар бўлса, у ҳолда (3.4) ВКБ-ечим, (3.1) тенгламанинг аниқ ечими ҳисобланади ( ). Шундай қилиб, агар ва , у ҳолда ВКБ-ечим (3.4) агарда тенгламанинг аниқ ечими.

шарт (3.1) тенгламани қийматларда интеграллаш шартидир. Бундан бўлса, Леко [8] интеграллаш шарти ҳосил бўлади.
Энди (3.2), (3.4) функцияни тузиш усулини кўрамиз.
(3.1) ечимни қуйидаги кўринишда излаймиз


, (3.6)

бу ерда – ҳозирча ҳали аниқланмаган функция, (3.1) ифодага қўйиш орқали қуйидагига эга бўламиз,

Бундан функцияни қуйидаги шартдан танлаб оламиз,

, яъни ,
эса (3.3) тенгламани қаноатлантиради.
Шуни таъкидлаш керакки, ажойиб натижа оркали ҳудди аввалгидек натижага эга бўламиз.