Эталон тенгламалар усули

Лемма 3.2. Агар функция чекли оралиқ учун ва интегралланувчи бўлса, у ҳолда (3.14) тенгламанинг иҳтиёрий тебранмайдиган ечим , бўлади.
Леммы 3.2 дан маълумки,
Изоҳ 3.1. Агар интилганда бўласа, у ҳолда (3.12) тенгламанинг тўғри ечими ( ) қийматда қуйидагича асимптотикага эга бўлади,


.

[8] усуллардан фойдаланиб, ВКБ-ечим кўринишда давом эттирилувчи ва давом эттирилмайдиган асимптотик ечимларни олиш мумкин.

,

бу ерда,
.

Одатда, ҳусусий ҳолда, қуйидагига эга бўламиз,

,

яъни, чизиқли тенгламаларда маълум бўлган ВКБ-ечим [8].

Айрим шартларни бажарилиш натижасида Харди формасидаги ВКБ-ечим (3.12) тенгламанинг давом эттирилувчи асимптотик ечим бўлишини исботлаймиз .
Теорема 3.1. Агар шарт бажарилганда бўлса, интилганда


,

бўлади. У ҳолда (3.12) тенгламанинг ( ) қийматида давом эттирилувчи асимптотик ечимига эга бўламиз,

.


Исбот. (3.12) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда излаймиз,


, , (3.15)

бу ерда,

.

У ҳолда (3.12) тенглама билан, (3.14) кўринишда бўлади

, .

Теорема 3.1 шартларига мувофиқ лемма 3.2 шартлари ва , бўлади. (3.15) асосан теорема 3.3 ўринли.

шартлар бажарилган (3.12) тенгламанинг асимптотик ечими ВКБ-ечим кўринишдаги ва Харди формасидаги ВКБ-ечимни қуйидаги леммага мувофиқ эга бўламиз [10].
Лемма 3.3. Агар (3.14) тенглама учун: абсолют узлуксиз чекли оралиқда, бу ерда , , , ва
Агар тенглама,

тебранувчи ечимга эга бўлмаса (агар , булади, агар , бўлади), у ҳолда иҳтиёрий ўринли, тебранмайдиган ечими учун (3.14) тенглама эга бўлади, ё , ё , бу ерда — оҳирги тенгламанинг иҳтиёрий ечими.