16 -маъруза. Сиртнинг уринма текислиги ва нормали

16 -маъруза. Сиртнинг уринма текислиги ва нормали.
Режа:

1. 
   Уринма текислик таърифи.
   
2. 
   Уринма текисликнинг ягоналиги ҳақидаги теорема.
   
3. 
   Уринма текислик тенгламалари.
   
4. 
   Сиртнинг нормали ва унинг тенгламаси.
   

Айтайлик Ф сирт ва унда ётувчи Р нуқта олайлик. Р нуқта орқали  текисликни ўтказамиз. Сирт устида Р нуқтага яқин Q нуқтани оламиз. Қуйидаги белгилашларни киритамиз: =(Q,)=h, (Q, р)=d.

Таъриф. Агар Q нуқта Р нуқтага интилганда h/d 0 га интилса текисликни Ф сиртнинг Р нуқтасидаги уринма текислиги дейилади.
Теорема. Ҳар қандай Ф силлиқ сирт ўзининг ҳар бир нуқтасида уринма текисликка эга бўлиб, у ягонадир. Агар r=r(u,v) тенглама Ф сиртнинг силлиқ параметрланган бўлса, Р нуқтадаги уринма текислик r_u ва r_v векторларга // дир.
Исбот. Фараз қилайлик  текислик Ф сиртнинг Р нуқтасидаги уринма текислиги бўлсин. У ҳолда таърифга асосан Qр да (h/d)0 бўлади. Агар nорқали  текисликнинг нормал бирлик векторини белгиласак
d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|
бўлади. Бундан
(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
нисбат 0 гаинтилади.
Таърифгаасосанuваvларнингҳарбириалоҳида 0 гаинтилганда (h/d)0 бўлади.
Хусусан,
(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0
Лекин охирги ифодани сурат ва махражини u га бўлиб, u0 да лимитга ўтсак,
(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0
ни топамиз.
Демак, r_u(u,v)n=0. Бундан r_un келиб чиқади. Бу эса r_uвекторни  текисликка параллел эканини кўрсатади. Худди шунингдек r_vn=0 дан r_vn ни ёки r_v// эканини топамиз.
Агар r_uва r_v векторларни 0 дан фарқли ва [r_u,r_v]0 эканини эътиборга олсак, уринма текисликнинг ягоналиги келиб чиқади. Шунингдек уринма текисликнинг мавжуд экандигини ҳам кўрсатиш осон.


2.Уринма текисликнинг тенгламалари.
Фараз қилайлик Ф сирт
x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v) (1)
параметрик тенгламалар билан берилган бўлсин. Р(x₀,y₀,z₀) нуқтадаги уринма текисликнинг ўзгарувчи нуқтаси A(x,y,z) бўлсин. У ҳолда юқорида исбот қилинган теоремага асосан , , векторлар компланар бўлади. Компланарлик шартига асосан уланинг аралаш кўпайтмаси 0 га тенг бўлади.
Бундан уринма текисликнинг тенгламасини қуйидаги кўринишда ёзамиз.


=0 (2)
Агар сирт тенгламаси z=f(x,y) кўринишда берилган бўлса, бу тенглама
x=u, y=v, z=f(u,v)
кўринишдаги параемтрик тенгламага тенг кучлидир. Шунинг учун уринма текислик тенгламаси қуйидаги кўринишда бўлади:
=0 (2)
ёки
z-f(x₀,y₀)= f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀,y₀)(y-y₀) (3)
Энди Ф сирт
(x,y,z)=0 (_x²+_y²+_z²0)
кўринишдаги ошкормас тенгламалар билан берилган бўлсин. Фараз қилайлик
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
тенглама Ф сиртнинг қандайдир параметрик тенгламаси бўлсин. У ҳолда қуйидаги
( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0
айниятга эга бўламиз. Бу айниятни u ва v параметрлар бўйича дифференциаллаб қуйидагини оламиз:
_xx_u+_yy_u+_zz_u=0
_xx_v+_yy_v+_zz_v=0
Охиргитенгликларшуникўрсатадики, (_x, _y, _z) векторr_u(x_u, y_u, z_u) r_v(x_v, y_v, z_v) векторларнингҳарбиригаперпендикулярэкан, чункиуларнингскаляркўпайтмаси 0 гатенгбўлди. Демак, бу вектор уринма текисликка перпендикуляр экан. Буни эътиборга олиб уринма текислик тенгламасини осонгина ёза оламиз, яъни
_x(x-x₀)+_y(y-y₀)+_z(z-z₀)=0 (4)
Таъри ФсиртнингРнуқтасидагинормалидеб, сиртнингшунуқтасидагиуринматекисликкаперпендикуляртўьричизиққаайтилади.
Юқоридагимулоҳазаларгаасосансиртнингнормали [r_u, r_v] векторбўйлабйўналганбўлади. Шунинг учун нормал тенгламасини осонгина тузиш мумкин.
Ҳақиқатан ҳам [r_u, r_v] вектор нормал учун йўналтирувчи вектор бўлганлигидан унинг тенгламасини

кўринишда ёзамиз.


Таянч иборалар.
Уринматекислик, уринматекисликтенгламалари, сиртнингнормали, нормалтенгламаси, силлиқпараметрлангансирт, векторларнингкомпланарлиги.


Назорат учун саволлар.
1. Уринма текисликка таъриф беринг?
2. Уринма текисликнинг мавжудлиги ва ягоналиги теоремасини айтинг?
3. Уринма текислик тенгламаларини аниқланг?
4. Уринма текисликнинг параметрик тенгламасини ёзинг?

5. 
   Сирт ошкормас тенглама билан берилганда уринма текислик
   

тенгламаси қандай кўринишга эга?
6. Уринма текисликнинг нормал векторини ёзинг.
7. Уринма текислик ҳар доим мавжуд бўладими?
8. Сиртнинг нормалини таърифланг?
9. Нормал тенгламани ёзинг?
10. Нормалнинг йўналтирувчи вектори қандай кўринишга эга?