Fakulteti yo’nalishi ning

Mavzuning maqsadi: Baholash uchun masalani yechish usulidan foydalanadigan matematika o‘qituvchilari Alan X.Schoenfeld tomonidan ifodalangan muammoga duch kelishadi:
Turli xil masalalar qo'llanilganda, test natijalarini yildan-yilga qanday solishtirish mumkin? (Agar shunga o'xshash masalalar yildan-yilga qo'llanilsa, o'qituvchilar va talabalar ularning nima ekanligini bilib oladilar, talabalar ularni mashq qiladilar: muammolar mashqlarga aylanadi va test endi muammolarni yechishni baholamaydi).
Mavzuning vazifalari:

• 
  Matematik masalalar yechishni boshlang’ich sinflarga o’rgatish haqida ko’nikmalarga ega bo’lish;
  
• 
  Masalalar yechishda tenglamalardan foydalanishni qo’llash haqida ma’lumotlar to’plash;
  
• 
  Boshlang’ich sinf o’quvchilariga masala yechishda tenglamalardan foydalanishni o’rgatish doir ko’nikmalarni egallash.
  

Ishning predmeti:

• 
  3-sinf matematika darsligi;
  
• 
  Matematika o’qitish metodikasi adabiyotlari;
  
• 
  Ta’limiy saytlar;
  
• 
  Ishga doir maqolalar, tezislar.
  

I bob. Boshlang’ich sinflarda matematika darslarini tashkillashtirish.
1.1. Matematika darslarini o’rgatish tarixi.
Miloddan avvalgi 5-ming yillikdagi misrliklar geometrik naqshlarni tasviriy ravishda ifodalagan. Miloddan avvalgi 3-ming yillikda paydo bo'lgan Angliya va Shotlandiyadagi megalit yodgorliklari o'z dizaynida doiralar, ellipslar va Pifagor uchliklari kabi geometrik g'oyalarni o'zida mujassam etganligi da'vo qilingan. Yuqorida aytilganlarning barchasi bahsli va hozirda eng qadimgi shubhasiz matematik hujjatlar Bobil va sulolaviy Misr manbalaridan olingan.
Bobil matematikasi Mesopotamiya (zamonaviy Iroq) xalqlarining dastlabki shumerlar davridan ellinistik davrdan deyarli nasroniylik tongiga qadar bo'lgan har qanday matematikasiga tegishli. Bobil matematikasining aksariyat qismi bir-biridan ajralgan ikki davrga to'g'ri keladi: miloddan avvalgi II ming yillikning birinchi bir necha yuz yilliklari (Eski Bobil davri) va miloddan avvalgi I ming yillikning so'nggi bir necha asrlari (Salevkiylar davri). Bobilning o'quv joyi sifatidagi markaziy roli tufayli u Bobil matematikasi deb nomlangan. Keyinchalik Arab imperiyasi davrida Mesopotamiya, ayniqsa Bag'dod yana islom matematikasini o'rganishning muhim markaziga aylandi.
Misr matematikasidagi manbalarning siyrakligidan farqli o'laroq, Bobil matematikasi haqidagi bilimlar 1850-yillardan beri topilgan 400 dan ortiq gil lavhalardan olingan. Chin yozuvida yozilgan lavhalar loy nam bo'lgan holda yozilgan va pechda yoki quyosh issiqligida qattiq pishirilgan. Ulardan ba'zilari baholi uy vazifasiga o'xshaydi.
Yozma matematikaning dastlabki dalillari Mesopotamiyada eng qadimgi sivilizatsiyani qurgan qadimgi shumerlarga to'g'ri keladi. Ular miloddan avvalgi 3000 yildan boshlab murakkab metrologiya tizimini ishlab chiqdilar. Miloddan avvalgi 2500-yillardan boshlab shumerlar gil lavhalarga ko'paytirish jadvallarini yozib, geometrik mashqlar va bo'linish masalalari bilan shug'ullanishgan. Bobil raqamlarining eng qadimgi izlari ham shu davrga to'g'ri keladi.
Bobil matematikasi kichik sonli (baza-60) sanoq sistemasi yordamida yozilgan. Bundan zamonaviy foydalanish daqiqada 60 soniya, soatda 60 daqiqa va aylanada 360 (60 × 6) daraja, shuningdek, daraja kasrlarini belgilash uchun yoyning soniya va daqiqalaridan foydalanish kelib chiqadi. . 60 ni 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 va 30 ga teng bo'lish mumkin bo'lganligi sababli jinslar tizimi tanlangan bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, misrliklar, yunonlar va rimliklardan farqli o'laroq, bobilliklar o'rin-qiymat tizimi, bu erda chap ustunda yozilgan raqamlar o'nlik tizimdagi kabi kattaroq qiymatlarni ifodalaydi. Bobil yozuv tizimining kuchi shundan iborat ediki, u kasrlarni butun sonlar kabi oson ifodalash uchun ishlatilishi mumkin edi; Shunday qilib, kasrlarni o'z ichiga olgan ikkita sonni ko'paytirish zamonaviy yozuvga o'xshash butun sonlarni ko'paytirishdan farq qilmadi. Bobilliklarning nota tizimi Uyg'onish davrigacha bo'lgan barcha tsivilizatsiyalarning eng yaxshisi bo'lib, uning kuchi unga ajoyib hisoblash aniqligiga erishish imkonini berdi; masalan, Bobil plansheti YBC 7289 beshta kasrgacha aniq √2 ga yaqinlikni beradi. Biroq, bobilliklarda o'nlik kasrning ekvivalenti yo'q edi, shuning uchun belgining o'rin qiymatini ko'pincha kontekstdan aniqlash kerak edi. Salevkiylar davriga kelib, bobilliklar bo'sh pozitsiyalar uchun o'rinbosar sifatida nol belgisini ishlab chiqdilar; ammo u faqat oraliq lavozimlar uchun ishlatilgan. Bu nol belgisi oxirgi pozitsiyalarda ko'rinmaydi, shuning uchun bobilliklar yaqinlashdilar, lekin haqiqiy joy qiymati tizimini ishlab chiqmadilar.
Bobil matematikasining boshqa mavzulariga kasrlar, algebra, kvadrat va kub tenglamalar, muntazam sonlarni hisoblash va ularning oʻzaro juftliklari kiradi. Planshetlar, shuningdek, ko'paytirish jadvallari va chiziqli, kvadrat tenglamalar va kub tenglamalarni echish usullarini o'z ichiga oladi, bu o'sha vaqt uchun ajoyib yutuq. Qadimgi Bobil davridagi planshetlarda Pifagor teoremasining eng qadimgi bayonoti ham mavjud. Biroq, Misr matematikasida bo'lgani kabi, Bobil matematikasi ham aniq va taxminiy echimlar o'rtasidagi farqni yoki muammoning echilishini va eng muhimi, dalillar yoki mantiqiy tamoyillarga ehtiyojning aniq bayonini ko'rsatmaydi.
Misr matematikasi misrlik tilida yozilgan matematikaga ishora qiladi. Ellinistik davrdan boshlab misrlik olimlarning yozma tili sifatida misrlik oʻrnini yunon tili egalladi. Misrda matematikani o'rganish keyinchalik arab imperiyasi davrida islom matematikasining bir qismi sifatida davom etdi, arab tili misrlik olimlarning yozma tiliga aylandi. Arxeologik ma'lumotlarga ko'ra, Qadimgi Misr sanoq tizimi Sahroi Kabirdan janubiy Afrikada paydo bo'lgan. Bundan tashqari, Sahroi Kabirdagi Afrika madaniyatlari orasida keng tarqalgan fraktal geometriya dizaynlari Misr me'morchiligi va kosmologik belgilarda ham uchraydi.
Eng keng qamrovli Misr matematik matni Rhind papirusidir (ba'zan uning muallifi nomi bilan Ahmes papirus deb ham ataladi), miloddan avvalgi. Miloddan avvalgi 1650-yil, lekin miloddan avvalgi 2000–1800 yillardagi O'rta Qirollikdagi eski hujjatning nusxasi. Bu arifmetika va geometriyadan talabalar uchun o'quv qo'llanma. U koʻpaytirish, boʻlish va birlik kasrlar bilan ishlash uchun soha formulalari va usullarini berishdan tashqari, boshqa matematik bilimlar, jumladan, kompozit va tub sonlar haqida dalillarni ham oʻz ichiga oladi; arifmetik, geometrik va garmonik vositalar; va Eratosfen elaklari va mukammal sonlar nazariyasi (ya'ni, 6 raqami) haqida sodda tushunchalar. Shuningdek, u birinchi tartibli chiziqli tenglamalarni, shuningdek, arifmetik va geometrik qatorlarni qanday yechish kerakligini ko'rsatadi.
Yana bir muhim Misr matematik matni Moskva papirusidir, shuningdek, O'rta Qirollik davridagi, miloddan avvalgi. Miloddan avvalgi 1890 yil. U bugungi kunda so'z muammolari yoki hikoya muammolari deb ataladigan narsalardan iborat bo'lib, ular o'yin-kulgi sifatida mo'ljallangan edi. Bitta muammo alohida ahamiyatga ega deb hisoblanadi, chunki u frustum (kesilgan piramida) hajmini topish usulini beradi.
Nihoyat, Berlin papirusi 6619 (miloddan avvalgi 1800-yillar) qadimgi misrliklar ikkinchi tartibli algebraik tenglamani yecha olishlari mumkinligini ko‘rsatadi.
Yunon matematikasi, Tales Miletlik (miloddan avvalgi ~600) davridan to eramizning 529-yilda Afina akademiyasining yopilishiga qadar yunon tilida yozilgan matematikani nazarda tutadi. Yunon matematiklari butun Sharqiy O'rta er dengizi bo'ylab, Italiyadan Shimoliy Afrikagacha bo'lgan shaharlarda yashagan, ammo madaniyat va til bilan birlashgan. Iskandar Zulqarnayndan keyingi davr yunon matematikasi ba'zan ellinistik matematika deb ataladi.
Yunon matematikasi oldingi madaniyatlar tomonidan ishlab chiqilgan matematikaga qaraganda ancha murakkab edi. Yunongacha bo'lgan matematikaning saqlanib qolgan barcha yozuvlari induktiv fikrlashdan foydalanishni ko'rsatadi, ya'ni bosh barmoq qoidalarini o'rnatish uchun ishlatiladigan takroriy kuzatishlar. Grek matematiklari, aksincha, deduktiv fikrlashdan foydalanganlar. Yunonlar ta’riflar va aksiomalardan xulosa chiqarish uchun mantiqdan foydalanganlar va ularni isbotlash uchun matematik qat’iylikdan foydalanganlar.
Yunon matematikasi Miletlik Fales (miloddan avvalgi 624-546 yillar) va Samoslik Pifagor (miloddan avvalgi 582-507 yillar) bilan boshlangan deb taxmin qilinadi. Ta'sir darajasi bahsli bo'lsa-da, ular Misr va Bobil matematikasidan ilhomlangan bo'lishi mumkin. Afsonaga ko'ra, Pifagor Misr ruhoniylaridan matematika, geometriya va astronomiyani o'rganish uchun Misrga sayohat qilgan.
Thales geometriyadan piramidalarning balandligi va kemalarning qirg'oqdan uzoqligini hisoblash kabi muammolarni hal qilish uchun foydalangan. U Thales teoremasining to'rtta xulosasini keltirib, geometriyada qo'llaniladigan deduktiv fikrlashni birinchi marta qo'llagan. Natijada, u birinchi haqiqiy matematik va matematik kashfiyot bilan bog'liq bo'lgan birinchi taniqli shaxs sifatida e'tirof etildi. Pifagor Pifagor maktabini yaratdi, uning ta'limoti matematika koinotni boshqaradi va shiori "Hammasi raqam" edi. “Matematika” atamasini aynan pifagorchilar kiritgan va ular bilan matematikani o‘z manfaati uchun o‘rganish boshlangan. Pifagorchilar Pifagor teoremasining birinchi isboti hisoblangan, garchi teoremaning bayoni uzoq tarixga ega bo'lsa va irratsional sonlar mavjudligini isbotlagan. Undan oldin bobilliklar va xitoylar boʻlgan boʻlsa-da, neopifagor matematigi Nikomax (eramizning 60–120-yillari) eng qadimgi yunon-rim koʻpaytirish jadvallaridan birini taqdim etgan, eng qadimgi yunoncha koʻpaytirish jadvali esa I asrga oid mum lavhada topilgan. AD (hozirda Britaniya muzeyida topilgan). Neopifagorchilarning ko'paytirish jadvalining G'arb ixtirosi bilan aloqasi uning keyingi o'rta asrlardagi nomida yaqqol ko'rinadi: mensa Pythagorica.
Platon (miloddan avvalgi 428/427 - miloddan avvalgi 348/347) matematika tarixida boshqalarni ilhomlantirish va yo'naltirish uchun muhim ahamiyatga ega. Uning Afinadagi Platon akademiyasi eramizdan avvalgi 4-asrda dunyoning matematika markaziga aylangan va aynan shu maktabdan Knidlik Evdoks kabi davrning yetakchi matematiklari yetishib chiqqan. Platon shuningdek, matematikaning asoslarini muhokama qildi, ba'zi ta'riflarni aniqladi (masalan, chiziq "kengliksiz uzunlik") va taxminlarni qayta tashkil etdi. Analitik usul Platonga tegishli, Pifagor uchliklarini olish formulasi esa uning nomi bilan atalgan.
Evdoks (miloddan avvalgi 408-355 yillar) zamonaviy integratsiyaning kashshofi bo'lgan charchoq usulini va tengsiz kattaliklar muammosidan qochgan nisbatlar nazariyasini ishlab chiqdi. Birinchisi egri chiziqli figuralarning maydonlari va hajmlarini hisoblash imkonini bergan bo'lsa, ikkinchisi keyingi geometriyalarga geometriyada sezilarli yutuqlarga erishish imkonini berdi. Aristotel (miloddan avvalgi 384-322 yillar) oʻziga xos texnik matematik kashfiyotlar qilmagan boʻlsa-da, mantiq asoslarini qoʻyib, matematikaning rivojlanishiga katta hissa qoʻshdi.
Matematika tarixi matematikadagi kashfiyotlar va o'tmishdagi matematik usullar va yozuvlar bilan bog'liq. Zamonaviy davr va bilimlarning butun dunyo bo'ylab tarqalishidan oldin, yangi matematik ishlanmalarning yozma misollari faqat bir nechta joylarda paydo bo'lgan. Miloddan avvalgi 3000-yildan boshlab Mesopotamiya davlatlari Shumer, Akkad va Ossuriya, undan keyin Qadimgi Misr va Levantiya davlati Ebla arifmetika, algebra va geometriyadan soliq, savdo, savdo, shuningdek tabiatdagi naqshlar, fizika sohasida foydalanishni boshladilar. astronomiya va vaqtni qayd etish va kalendarlarni shakllantirish.
Mavjud eng qadimgi matematik matnlar Mesopotamiya va Misrdan - Plimpton 322 (miloddan avvalgi 2000 - 1900 yillar Bobil), Rhind matematik papirusi (Misr eramizdan avvalgi 1800 yillar) [3] va Moskva matematik papirusi (Misr eramizdan avvalgi 1890 yillar). Ushbu matnlarning barchasi Pifagor uchliklari deb ataladi, shuning uchun xulosaga ko'ra, Pifagor teoremasi asosiy arifmetika va geometriyadan keyingi eng qadimiy va keng tarqalgan matematik rivojlanish bo'lib tuyuladi.
Matematikani “ko‘rgazmali fan” sifatida o‘rganish miloddan avvalgi VI asrda “ta’lim mavzusi” degan ma’noni anglatuvchi qadimgi yunoncha mthēmxa (matematika) “matematika” atamasini kiritgan pifagorchilar bilan boshlangan. Yunon matematikasi metodlarni (ayniqsa, isbotlashda deduktiv fikrlash va matematik qat’iylikni kiritish orqali) ancha takomillashtirdi va matematikaning predmetini kengaytirdi. Garchi ular nazariy matematikaga deyarli hech qanday hissa qo'shmagan bo'lsalar ham, qadimgi rimliklar amaliy matematikadan geodeziya, konstruktiv muhandislik, mashinasozlik, buxgalteriya hisobi, oy va quyosh taqvimlarini yaratishda, hatto san'at va hunarmandchilikda foydalanganlar. Xitoy matematikasi dastlabki hissa qo'shgan, jumladan, o'rin qiymati tizimi va salbiy raqamlardan birinchi marta foydalanish. Bugungi kunda butun dunyoda qoʻllanilayotgan hind-arab sanoq tizimi va uning amallaridan foydalanish qoidalari eramizning birinchi ming yilliklari davomida Hindistonda rivojlanib, Muhammad ibn Muso asari orqali islom matematikasi orqali Gʻarb dunyosiga yetkazilgan. al-Xorazmiy. Islom matematikasi, o‘z navbatida, ushbu sivilizatsiyalarga ma’lum bo‘lgan matematikani rivojlantirdi va kengaytirdi. Meksika va Markaziy Amerikaning Mayya tsivilizatsiyasi tomonidan ishlab chiqilgan matematika bu an'analar bilan bir vaqtda, lekin ulardan mustaqil bo'lib, unda nol tushunchasiga mayya raqamlarida standart belgi berilgan.
12-asrdan boshlab matematikaga oid koʻplab yunon va arab matnlari lotin tiliga tarjima qilindi va bu Oʻrta asrlarda Yevropada matematikaning yanada rivojlanishiga olib keldi. Qadim zamonlardan o'rta asrlargacha matematik kashfiyotlar ko'pincha asrlar davomida turg'unlik bilan davom etgan. 15-asrda Uyg'onish davridagi Italiyadan boshlab, yangi ilmiy kashfiyotlar bilan o'zaro bog'liq bo'lgan yangi matematik ishlanmalar bugungi kungacha davom etayotgan jadal sur'atlarda amalga oshirildi. Bunga Isaak Nyuton va Gotfrid Vilgelm Leybnitsning 17-asr davomida cheksiz kichik hisobni ishlab chiqishdagi innovatsion ishlari kiradi. 19-asrning oxirida Xalqaro matematiklar kongressi tashkil etildi va bu sohadagi yutuqlarni ilgari surishda davom etmoqda.
Matematik tafakkurning kelib chiqishi son, tabiatdagi qonuniyatlar, kattalik va shakl tushunchalarida yotadi. Hayvonlarni bilishning zamonaviy tadqiqotlari shuni ko'rsatdiki, bu tushunchalar faqat odamlarga xos emas. Bunday tushunchalar ovchi-yig'uvchilar jamiyatlarida kundalik hayotning bir qismi bo'lgan bo'lar edi. Vaqt o'tishi bilan asta-sekin rivojlanayotgan "son" tushunchasi g'oyasi "bir", "ikki" va "ko'p" o'rtasidagi farqni saqlaydigan tillarning mavjudligi bilan quvvatlanadi, lekin ikkitadan katta raqamlar emas.
Nil daryosining (Kongoning shimoli-sharqiy qismi) boshi yaqinida topilgan Ishango suyagi 20 000 yildan ortiq bo'lishi mumkin va suyak uzunligi bo'ylab uchta ustunga o'yilgan bir qator belgilardan iborat. Umumiy talqinlar shundan iboratki, Ishango suyagi yo tub sonlar ketma-ketligining eng qadimgi namoyishi yoki olti oylik oy taqvimini ko'rsatadi. Piter Rudmanning ta'kidlashicha, tub sonlar kontseptsiyasining rivojlanishi faqat miloddan avvalgi 10 000 yildan keyin paydo bo'lgan bo'linish kontseptsiyasidan keyin paydo bo'lishi mumkin edi, tub sonlar taxminan miloddan avvalgi 500 yilgacha tushunilmagan. U shuningdek, "bir narsaning soni nima uchun ikkiga karrali, 10 dan 20 gacha bo'lgan tub sonlar va 10 ga deyarli karrali bo'lgan ba'zi raqamlarni ko'rsatishi kerakligini tushuntirishga urinilmagan" deb yozadi. Ishango suyagi, olim Aleksandr Marshakning so'zlariga ko'ra, Misrda matematikaning keyingi rivojlanishiga ta'sir qilgan bo'lishi mumkin, chunki Ishango suyagidagi ba'zi yozuvlar singari, Misr arifmetikasi ham 2 ga ko'paytirishdan foydalangan; ammo bu bahsli.