Farg‘ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yo‘nalishi guruh talabasi ning “Analitik geometriya” fanidan «Evklidga qadar bo‘lgan geometriya. Evklidning “Negizlar” asari»

4-§ Evklidning “negizlar” kitobi
Evklid negizlari — Evklidning asosiy matematik asari va u 13 kitobdan iborat bo‘lgan. Evkliddan keyin Gipsikl (mil. av. II asr) va miletlik Isidor (mil. avv. VI asr) Evklid “Negizlari”ga XIV va XV kitoblarni qo‘shishgan, shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham deyiladi. Asarda Evklid davrigacha bo‘lgan yunon matematikasi bayon etiladi. Evklid „Negizlari“da geometriya deduktiv asosda, ya’ni aksiomatik usulda yoritiladi, birinchi jumla (tasdiq) lar isbotsiz qabul qilinib, qolgan hamma da’volar — teoremalar shu aksiomalardan xulosa tariqasida chiqariladi. Evklid “Negizlari” ning I-IV kitoblari planametrik kitoblar bo‘lib, asosan, hozirgi o‘rta maktab dasturiga kirgan planemetriya bayon etiladi. V-VI kitoblarida geometrik miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi. Bunda Yevdoks Knidlikning nisbatlar nazariyasi asos qilib olingan. VII-IX kitoblar arifmetik kitoblar bo‘lib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon etiladi. X kitobda irratsionalliklar nazariyasi va tasnifi beriladi. XI-XIII va qo‘shimcha XIV-XV kitoblar stereometriyaga bag‘ishlangan. Evklid “Negizlari” kamchiliklardan ham xoli emas. Masalan: nuqta, to‘g‘ri chiziq va boshqa geometrik obrazlarning ta’rifi mantiqiy nuqtayi nazardan nuqsonli hisoblanadi. Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan: aksioma sifatida olingan “Xamma to‘g‘ri burchaklar o‘zaro teng”, degan iborani isbotlash mumkin), geometriyani aksiomatik asosda qurish uchun zarur bo‘lgan harakat aksiomalari va tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan. Evklid “Negizlar” kitobi ko‘p marta qo‘lda ko‘chirilgan, dunyoning hamma tillarida qayta-qayta nashr qilingan. Evklidning bu asari 1482-1880 yillar orasida dunyo xalqlari tillarida 460 marta nashr qilindi. Shulardan 155 tasi lotin, 142 tasi ingliz, 48 tasi nemis, 38 tasi fransuz, 27 tasi italyan, 14 tasi gollandiya, 5 tasi rus, 2 tasi polyak, qolgan 27 tasi esa boshqa tillarga tarjima qilingan. VIII asr oxiri - IX asr boshlarida Evklidning “negizlar” kitobi birinchi marta yunon tilidan arab tiliga tarjima qilinadi. Bag‘dod xalifasi Xorun ar-Rashid (786-809) va ikkinchi marta xalifa Ma’mun (813-833) davrlarida birinchi va ikkinchi tarjimalarini Xajjoj ibn Yusuf arab tiliga o‘giradi, uchinchi marta esa bag‘dod matematiklaridan Sobit ibn Qurra (830-901) arab tiliga tarjima qiladi va oldingi tarjimalardagi kamchiliklarni tuzatadi. Evklid “Negizlari” 15 kitobdan iborat bo‘lib, ular quyidagicha: 1-kitob 34 ta qoida, 48 ta teoremadan iborat bo‘lib, ular to‘g‘ri chiziqli geometrik shakllarga bag‘ishlangan. Ular uchburchak, to‘rtburchak va ularning burchaklari, vertikal burchaklar, parallel chiziqlar, kesmani teng bo‘lish, berilgan burchakka teng burchak yasash, pifagor teoremasi, parallelogramm burchaklari, diagonallari kabi masalalarga bag‘ishlangan. 2-kitob 2 ta qoida va 14 ta teoremadan iborat bo‘lib, ular geometriyani algebraga tadbiq qilishga bag‘ishlangandir. Undagi 2-10 teoremalar ayniyatlar haqida, 11-teorema esa platon davrida kesmani bo‘lishda "oltin kesim" nomi bilan mashhur bo‘lgan usulga bag‘ishlangan. 3-kitob 11 ta qoida va 37 ta teoremani o‘z ichiga oladi, shu jumladan, aylanalar, ularga o‘tkazilgan urinmalar, vatarlar va ularning xossalariga bag‘ishlangan. Bu xossalarning hammasi Gippokrat tomonidan tekshirilgan. 4-kitob 7 ta qoida va 16 ta teoremadan iborat bo‘lib, ular aylana tashqarisiga va ichkarisiga chizilgan muntazam ko‘pburchaklarga tegishlidir. 5-kitob 20 ta qoida, 4 aksioma va 25 ta teoremani o‘z ichiga oladi. 6-kitob 5 ta qoida, 33 ta teoremadan iborat bo‘lib, ular shakllar o‘xshashligiga bag‘ishlangan, bu joyda 5-kitobda keltirilgan nisbatlar va proporsiyalar nazariyasi yordamida geometrik algebra metodini rivojlantirish, kengaytirish mumkinligi ko‘rsatilgan. Bu kitobi bilan geometriyaning planimetriya qismi tamom bo‘ladi. 7-9-kitoblar arifmetika va sonlar nazariyasiga bag‘ishlanadi. Bu kitoblari progressiyalar, Evklid algoritmi, tub, toq va juft sonlar haqidagi teoremalar keltirilgan. Ko‘p tarixiy manbalar bu bo‘limni Evklidning arifmetika kitobi deb ham yuritadilar. 10-kitob irrasional ifodalarga bag‘ishlangan. Bu o‘rinda Evklid umumiy o‘lchovga ega bo‘lgan va bo‘lmagan miqdorlar haqida gapiradi. Bu kitob 115 jumla (teorema) dan iborat bo‘lib, 18 tasi umumiy o‘lchovga ega bo‘lgan miqdorlar haqida. 36-41, 73-78-teoremalar esa bikvadrat tenglamalar ildizi bo‘lgan kvadrat irrasionalliklarga bag‘ishlanadi. 11-kitob 29 ta qoida va 39 ta teoremadan iborat bo‘lib, ularni hammasi stereometriyaga bag‘ishlangan. 12-kitob 18 ta teoremadan iborat bo‘lib, bunda piramida, prizma, silindr, shar kabi geometrik jismlar tekshirilgan. 13-kitob 18 ta teoremani o‘z ichiga olgan. Bu kitobida Evklid beshta muntazam ko‘pyoqli (tetraedr, oktaedr, ikosaedr, kub, dodekaedr)ni yasash masalasi tekshiriladi. Manbalarning tasdiqlashicha, Evklidning 5-kitobi Yevdoksga va 13-kitobning bir qismi Teetetga tegishli ekanligini ko‘rsatadi. 5 ta muntazam ko‘pyoqlini yasash masalasi birinchi marta iskandariyalik matematik Rapp (III asr) o‘zining mashhur “matematik to‘plam” nomli asarida e’lon qiladi. Evklidning “negizlar” asariga ko‘plab markaziy osiyolik olimlar sharhlar yozganlar. Shulardan biri xorazm Ma’mun akademiyasida faoliyat ko‘rsatgan Abu Ali ibn Sinodir. Abu Ali ibn Sinoning geometriyaga oid kitoblari “Donishnoma”, “Evklidga sharhlar” (taxriri uklidis. 2720-raqamli ayo sofiya qo‘lyozmasi) va “usul 'ilm al-handasa” (“geometriya negizlari”) asarlaridir. O‘rta asrlarda to‘rtta matematik fan: geometriya, astronomiya, arifmetika va mo‘zika birgalikda o‘qitilgan. Ibn Sino Evklidning “Negizlar” asarini kvadriviurrfga asoslanib yozilgan. Abu Ali ibn Sinoning “usul ilm al-handasa” 1976-yilda qohirada nashr qilingan asarida ta’riflardan keyin talab qilinadigan jumlalarni keltirib, ularni “aniqlanadigan negizlar”, ulardan keyin aksiomalarni “umumiy tushunchalar” deb atagan. Ibn Sinoning “usul 'ilm al-handasa” asarining Qohirada chiqqan nashri asosan 15 kitobdan iborat bo‘lib, olim ularga alohida nomlanishlar bergan. “Usul ilm al-hadasa” asari geometriyadan darslik hisoblangan. Shu sababli ibn Sino bu asarida Evklidning “Negizlari” kitobini asos qilib olgan bo‘lsa ham, geometrik masalalarni va jumlalarni o‘quvchilarga oson tushunishlari uchun sodda tilda tushuntirgan.