1 Elementar hodisalar fazosi

Ehtimollar nazariyasi tasodifiyatlarning qonuniyatlarini o`rganuvchi matematik fandir. Ehtimollar nazariyasi ommaviy bir jinsli hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o`rganadi.
Biz tajribani vujudga keltiruvchi shartlar majmui S o`zgarmas bo`lgan holni qaraymiz.
1-misol. Tajriba simmetrik bir jinsli tangani muayyan sharoitda tashlashdan iborat bo`lsin. Tajribadan tajribaga o`tganda ro`y beruchi hodisalar har xil bo`ladi. Masalan: biror tajribada "gerb" (G) tushgan bo`lsa, boshqasida tanganing teskari tomoni "raqam" (R) tushishi mumkin.
Ta`rif. Tajriba natijasida ro`y berishi oldindan aniq bo`lmagan hodisa tasodifiy hodisa deyiladi.
Ta`rif. Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi.
Ta`rif. Tajriba natijasida ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar to`plami elementar hodisalar fazosi deyiladi.
Elementar hodisalar fazosini bilan, har bir elementar hodisani orqali belgilaymiz. Yuqoridagi misolda dan iborat bo`ladi.
2-misol: Tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo`lsin . Bunda elementar hodisalar quyidagilardan iborat:
- ikkala tashlashda ham gerb.
- 1-tashlashda gerb, 2-tashlashda raqam .
- 1-tashlashda raqam, 2-tashlashda gerb.
- Ikkala tashlashda ham raqam.
Bunda elementar hodisalar fazosi 2²=4 ta elementdan iborat bo`ladi.
Ya`ni .
Agar tanga n marta tashlansa elementar hodisalar fazosi ta elementdan iborat bo`ladi.
3-misol: Tajriba yoqlariga 1 dan 6 gacha raqamlar joylashgan bir jinsli kubni (o`yin soqqasi) bir marta tashlashdan iborat bo`lsa, elementar hodisalar bo`ladi. Elementar hodisalar fazosi 6 ta elementdan iborat bo`ladi.
4-misol: Tajriba o`yin soqqasini 2 marta tashlashdan iborat bo`lsin.
Bu holda elementar hodisalar ko`rinishda bo`ladi. Bu hodisa soqqani 1-tashlashda raqamli yoq, 2- tashlashda yoq tushganligini bildiradi. Bu yerda va elementar hodisalar soni 6<sup>2</sup>=36 ta bo`ladi.
5-misol: Tajriba nuqtani [0,1] kesmaga tasodifiy ravishda tashlashdan iborat bo`lsin.
Bu yerda elementar hodisalar fazosi , [0,1] to`plamdan iboratdir, ya`ni u kontinium quvvatga ega.
Tasodifiy hodisalar lotin alfavitining bosh harflari A,B,C,... bilan belgilanadi.
Har qanday hodisa elementar hodisalardan tashkil topgan bo`lib, bu elementar hodisalardan birortasi ro`y bersa, hodisa ro`y berdi deyiladi.
Agar A hodisaga kirgan elementar hodisalardan birortasi ham ro`y bermasa A hodisa ro`y bermaydi, unga teskari hodisa ro`y bergan deymiz u kabi belgilanadi.
A va hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi.
Har bir tajribada albatta ro`y beradigan hodisa muqarrar hodisa deyiladi va Ω bilan begilaymiz. Birorta ham elementar hodisani o`z ichiga olmagan hodisa mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi va Ø bilan belgilaymiz.

9. Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari

da ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati tug`iladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
.
Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa u holda bo`ladigan hamma va lar uchun
(1)
o`rinli bo`ladi. Bu yerda .
Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo`lgan hol uchun, so`ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan.
Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma`lum bo`lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.
, .
bo`lgani uchun
, (2)
Shunga o`xshash dan
, (3)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(2) va (3) tengliklardan ko`rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi.
Bernulli formulasiga asosan:
.

10. Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi

Tasodifiy miqdor tushunchasi ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri bo`lib, u elementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli funksiya sifatida qaraladi.