3-ma’ruza. Mashinali o’qitishda instrumental vositalardan foydalanish. Matlab dasturiy muhiti bilan ishlash. Reja

TOEPLITZ - Tiplets matritsasini (Toeplitz matrix) hosil qiladi. 
Sintaksisi: 
T = toeplitz(c);
T = toeplitz(c, r). 
Misol. 
c=1:4; T = toeplitz(c) 
T = 1 
2 
3 
4 
2 
1 
2 
3 
3 
2 
1 
1 
4 3 2 1 
VANDER - Vandermond matritsasini (Vandermonde matrix) hosil qiladi. 
Sintaksisi: V = vander(x). 
Misol: x = [1 2 3 4]; V = vander(x). 
V =1 
1 
1 
1 
8 
4 
2 
1 
27 9 
3 
1 
64 16 
4 
1 
WILKINSON - Uilkenson matritsasini (Wilkinson matrix) hosil qiladi. 
Sintaksisi: W = wilkinson(n). 
Misol: W = wilkinson(7): 

---

31 
W = 3 
1 
0 
0 
0 0 
0 
1 
2 
1 
0 
0 0 
0 
0 
1 
1 
1 
0
0 
0 
0 
0 
1 
0 
1 0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 1 
0 
0 
0 
0 
0 
1 2 
1 
0 
0 
0 
0 
0 1 
3 
 
4. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq etish
va yechish 
 
4.1. Chiziqli tenglamalar sistemasi 
 
Juda ko’p nazariy va amaliy masalalarni hal qilishda chiziqli tenglamalar 
sistemasiga duch kelamiz. Umumiy holda chiziqli tenglamalar sistemasining
ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: 
(3.1) 
Bu yerda x
1
, x
2
, …, x
n
- noma’lum o’zgaruvchilar, a
11
, a
12
, …, a
nn
- haqiqiy 
sonlar, tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari va b
1
, b
2
,…, b
n
haqiqiy sonlar, 
tenglamalar sistemasining ozod xadlari deyiladi. 
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi deb uni tenglamalarini 
ayniyatlarga aylantiruvchi x
1
 ,x
2
 ,…, x
n
sonlarga aytiladi. 
Chiziqli tenglamalar sistemasini vektor ko’rinishda quyidagicha yozish 
mumkin: 
Ax=b (3.2) 
Bu yerda: 
 
(nxn) o’lchovli matrisa, 
(nx1) o’lchovli noma’lum vektor ustun, 
(nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vektor ustun. 

---

32 
A* = [A, b] - kengaytirilgan matrisani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan 
ma’lumki (Kroneker-Kapelli teoremasi) A va A* matrisalarning ranglari teng 
bo’lsa (3.1) yoki (3.2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi. 
4.2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari 
 
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning aniq usullaridan keng 
qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matrisa usullaridir, taqribiy usullarga 
esa iterasiyalar(ketma-ket yaqinlashish ), Zeydel va kichik kvadratlar usullarini 
keltirish mumkin. 
Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz. Buning uchun det(A)≠0 
bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun sistemaning asosiy matrisasi A ning k-
ustun elementlarini ozod had b bilan almashtirib A
k
, k =1,n matrisalar hosil 
qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun
)
d e t(
)
d e t(
A
A
x
k
k

, 
n
k
...,
,
3
,
2
,
1

tengliklardan foydalanish mumkin. Bu yerda foydalanilgan
det(A) MATLAB funksiyasi bo’lib, A matrisaning determinantini xisoblab beradi.
Taqribiy usullardan iterasiya usulini keltiramiz. Buning uchun (3.1) sistemani 
quyidagicha ko’rinishga keltiramiz: 
(3.3) 
Bu yerda i≠j bo’lganda
U holda
 
belgilashlar kiritib (3.3) ni quyidagicha yozib olamiz. 
x= β+ αx (3.4) 

---

33 
Endi (3.4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iterasiya) usuli bilan yechamiz. 
Boshlang’ich yaqinlashish uchun x
(0)
= β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi 
yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x
(1)
= β+ x
(0)
; 
x
(2)
=β+ x
(1)
; 
…………… 
x
(k+1)
 =β+ x
(k)
; 
Agar x
(0)
, x
(1)
,…, x
(k)
,… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu 
limit (3.3) yoki (3.4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda 
quyidagicha yozish mumkin: 
(3.5) 
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iterasiya usuli deyiladi. 
Iterasiya prosessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini quyidagicha 
teoremada keltiramiz: 
Teorema. Agar o’zgartirilgan (3.) sistemada quyidagi shartlardan 
1) 
i = 1,2,…n
2) 
j = 1,2,…n
biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (3.5) iterasiya jarayoni 
yagona yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x(0) uchun. 
Vektor ko’rinishidagi (3.2) sistemani detA≠0 bo’lgan holda teorema 
shartini qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin: 
(A
-1
-ε)Ax=Db, D= A
-1
-ε; (3.6) 
Bu yerda ε =[ε
ij
] - yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matrisa. 
Yuqoridagi (3.6) belgilashlardan foydalanib, quyidagini olamiz 
x=β+αx, (3.7) 
bu yerda α= εA, β=Db, bo’lib ε
ij
lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari 
bajariladi.