79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

80.2.-teorema. Ikkita birgalikda bo’lgan A va B hodisadan hech bo’lmaganda birining ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolligi yig’indisidan ularni birgalikda ro’y berish hodisasi ehtimolligining ayirmasiga teng bo’ladi:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). (80.1)

Isboti. Shartga ko’ra A va B birgalikda bo’lgan hodisalar. Ravshanki, A, B va AB hodisalar o’zaro birgalikda emas va

A+B= A+B+AB

bo’ladi. 80.1-teoremaga ko’ra

P(A+B)=P( A)+P(B)+P(AB) (80.2)

bo’ladi.

A hodisa ro’y berishi uchun A hamda AB hodisalardan bittasi, B hodisa ro’y berishi uchun B hamda AB hodisalardan bittasi ro’y berishi kerak, ya’ni

A= A+AB, B=B+AB.

80.1-teoremaga ko’ra

P(A)=P(A)+P(AB),

P(B)=P(B)+P(AB),

bo’ladi. Bu munosabatlardan

P(A)=P(A)-P(AB),

P(B)=P(B)-P(AB)

bo’lishi kelib chiqadi. Natijada (80.2) tenglikdagi P(A) va P(B)ning o’rniga ularning topilgan qiymatlarini qo’ysak,

P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

hosil bo’ladi.

Demak, P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Uchta birgalikda bo’lgan A, B va C hodisalar yig’indisining ehtimolligi ushbu formula bo’yicha hisoblanadi:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).