Ankara üNİversitesi fen biLİmleri enstiTÜSÜ

x
g
x
f
x
L
i
m
i
i
∑
=
+
=
λ
λ
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5.3) 
 
QP Alt Problemi; 
 
m
me
i
x
g
d
x
g
me
i
x
g
d
x
g
d
x
f
d
H
d
Min
k
i
T
k
i
k
i
T
k
i
T
k
k
T
d
,......,
1
0
)
(
)
(
,.....,
1
0
)
(
)
(
)
(
2
1
+
=
≤
+
∇
=
=
+
∇
∇
+
ℜ
∈
     
(5.4) 
 
 
Bu alt problemler herhangi bir QP algoritması kullanılarak çözülebilir. Çözüm yeni 
iterasyon için kullanılır. 
 
k
k
k
k
d
x
x
α
+
=
+1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5.5) 
 
 
Adım büyüklüğü parametresi 
α
k
 , line search prosedürüne göre bulunur ve merit 
fonksiyonunda önemli bir azalma sağlanır.  H
k
 ,Lagrangian fonksiyonunun Hessian’ı 
olup, pozitif tanımlı bir matristir.H
k
 nin güncellenmesi için en çok tercih edilen yöntem 
BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb ve Shanno)’dir. BFGS ile desteklenmiş SQP 
algoritması hızlıdır.  
 
 
SQP işlemleri 3 ana kısımda yürütülür. 

---

 
41
Lagrangian fonksiyonunun Hessian matrisinin güncellenmesi: Her bir ana iterasyonda, 
Lagrangian fonksiyonu için Hessian pozitif tanımlı olarak quasi–Newton yaklaşımına 
göre BFGS yöntemi kullanılarak hesaplanır. Burada 
λ
i
 (i=1,..m) Lagrange çarpanıdır. 
 
k
k
T
k
k
T
k
k
T
k
T
k
k
k
k
s
H
s
H
H
s
q
q
q
H
H
−
+
=
+1
  
 
 
 
 
 
 
 (5.6) 
Burada; 
 
k
k
k
x
x
s
+
=
+1
  
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.7) 
 
∑
∑
=
=
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇
+
∇
−
∇
+
∇
=
m
i
k
i
m
i
i
k
k
i
i
k
k
x
g
x
f
x
g
x
f
q
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
 
 
 
 
 
(5.8) 
 
 
Hessian’ın her güncelleştirilmesinde q
k 
T
 
s
k
 pozitif tanımlı olması sağlanır. Eğer q
k 
T
 
s
k
 
pozitif değilse q
k
 eleman elemana modifiye edilerek q
k 
T
 
s
k
>0 sağlanır. . Eğer hala q
k 
T
 
s
k
 
pozitif değilse q
k
 sabit bir skalar çarpanlı v vektörü ile modifiye edilir. 
 
wv
q
q
k
k
+
=
   
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.9) 
 
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
k
i
k
i
k
i
k
i
i
x
g
x
g
x
g
x
g
v
∇
−
∇
=
+
+
   
 
 
 
 
(5.10) 
 
Eğer, 
 
)
,...,
1
(
0
)
(
)
(
0
)
(
m
i
s
q
ve
w
q
i
k
i
k
i
k
=
<
<
 
 
 
 
 
(5.11) 
 
ise, v
i
=0 değilse q
k 
T
 
s
k
 pozitif olana kadar w sistematik bir şekilde arttırılır. 
 
 
SQP yönteminin her bir ana iterasyonunda bir QP alt problemi çözülür. 
A
i
 mxn lik bir A matrisinin i. satırı olmak üzere  
 
 

---

 
42
m
me
i
b
d
A
me
i
b
d
A
d
c
Hd
d
d
q
Min
i
i
i
i
T
T
d
,.....,
1
,.....,
1
2
1
)
(
+
=
≤
=
=
+
=
ℜ
∈
 
 
 
 
 
(5.12) 
 
 
Gill  et al. (1981) tarafından önerilen yönteme benzer olan bu metot “projection” 
yöntemi olarak da bilinir. Çözüm iki faz içerir; 
 
1.  feasible noktanın hesaplanması 
2.  feasible noktanın iteratif ardışık bir genellenmesinin içerildiği bu noktada 
çözüme yakınsanır. 
 
 
Bu yöntemde çözüm noktasında aktif kısıtlamaların (sınır kısıtlamaları gibi) bulunması 
için gerekli olan bir aktif set A
k
 tanımlanır. Hemen hemen bütün QP algoritmaları aktif 
ayarlama yöntemi kullanır. A
k 
, her bir k iterasyonunda güncellenir ve bir tarama 
∂
k
 için 
temel teşkil eder. 
 
 
Line search ve merit (amaç) fonksiyonu hesabı: Bir çok sınırlamalı ve sınırlamasız 
optimizasyon yöntemlerinde alt problemlerin çözümü için tarama yönünü belirlemede 
kullanılır. Minimum boyunca tarama yönü, Fibonacci, altın aralık gibi veya 
interpolasyon yada ekstrapolasyon içeren polinom yöntemleri(quadratik, kübik gibi) 
prosedürü kullanılarak belirlenir. Polinom interpolasyon yöntemleri minimize edilen 
fonksiyon sürekli ise en etkin yöntem olarak kabul edilir. QP alt probleminin 
çözümünde bir d
k
 vektörü oluşturulur ve bu vektör yeni iterasyon için kullanılır. 
 
k
k
k
k
d
x
x
α
+
=
+1
   
 
 
 
 
 
 
 
(5.13) 
 
 
 
 

---

 
43
Merit fonksiyonu; 
 
∑
∑
+
=
−
+
+
=
Ψ
m
me
i
i
me
i
i
i
x
g
r
x
g
r
x
f
x
1
1
)]
(
,
0
max[
)
(
)
(
)
(
   
 
 
 
(5.14) 
 
 
Penaltı parametresi; 
 
m
i
r
r
r
i
i
k
i
i
i
k
i
,...,
1
)
)
((
2
1
max
)
(
1
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
=
+
λ
λ
   
 
 
 
(5.15) 
 
 
Gauss–Newton ve Levenberg–Marquardt Yöntemleri : G–N ve L–M yöntemleri 
doğrusal olmayan en küçük kareler (NLS) prosedüründe yer alırlar.  
 
 
NLS’nin genel yapısı; 
 
2
2
2
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
x
F
x
F
x
f
Min
i
i
x
n
∑
=
=
ℜ
∈
 
 
 
 
 
 
(5.16) 
 
 
Bu tip problemler, pratikte veri–model uyumunu açısından geniş bir uygulama alanına 
sahiptir. Özellikle doğrusal olmayan parametre belirleme problemlerinde kullanılır. 
 
 
En küçük kareler (LS) yönteminde gradiyen ve Hessian aşağıdaki gibi tanımlanmıştır; 
 
 
F(x)ÆJacobian matrisi 
J(x) 
f(x) ÆGradiyent vektörü G(x) 
Hessian matrisi H(x) 
 
 

---

 
44
H
i
(x), her bir F
i
(x)’in Hessian’ınını göstermektedir. 
 
∑
=
=
+
=
=
m
i
i
i
T
T
x
H
x
F
x
Q
x
Q
x
J
x
J
x
H
x
F
x
J
x
G
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
   
 
 
 
 
 
 
(5.17) 
 
 
G–N yönteminde B
k
 herhangi pozitif tanımlı bir matris olmak üzere; B
k
=J
T
(x
k
) .J(x
k
) 
şeklinde tanımlanır. Her bir ana iterasyonda (k) bir tarama yönü d
k
 bulunur. Yukarıdaki 
denklemde Q(x) terimi ihmal edildiğinde tarama yönü Newton yönüne eşittir. Standart 
Newton eşitliği Taylor açılımından yola çıkılarak bulunur. Zayıf başlangıç noktasından 
yakınsama sağlamak için line search prosedürü kullanılır. 
∑  J
T
(x
k
) .J(x
k
) yeterince 
pozitif tanımlı olduğu sürece sabit bir noktaya yakınsama sağlanacaktır. Eğer 
∑ J
T
(x
k
) 
.J(x
k
) tekil ise 
λI gibi yeni bir ifade Hessian’a eklenir. Bu durumda yöntem L–M 
olacaktır. Skalar olan 
λ
i
 tarama yönü ve büyüklüğünün her ikisini de kontrol eder. 
 
λ
i
=0 Æ G–N yöntemi ile aynı 
λ
i
Æ
∞Æ ‘steepest descent’ yöntemi 
 
 
5.3 Dinamik Optimizasyon 
 
 
Bir akarsu sisteminin modellendikten sonra modele ait parametrelerinin sağlıklı olarak 
deneme–yanılmaya gerek duyulmadan belirlenmesi önemli ve gereklidir. Akarsu 
modellerindeki optimum parametreler ise dinamik bir optimizasyon probleminin 
çözülmesi ile sağlanabilmektedir. Bir seri diferansiyel veya diferansiyel/cebirsel 
denklem takımının ‘kısıtlama’ olarak yer aldığı bu tip dinamik optimizasyon 
problemleri literatürde giderek daha çok yer almaktadır. Bu bölümde dinamik 
optimizasyon problemlerinin tanımı ve çözüm yöntemleri konusunda bilgi 
verilmektedir. 
 

---

 
45
5.3.1 Genel tanımlama 
 
 
Dinamik optimizasyon problemleri genel olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır: 
 
 Opt. 
)
,
,
(
t
u
x
J
Ψ
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.18) 
 
 s.t. 
)
(
/
x
f
dt
dx
=
 
 
 
 
0
=