Ə. A. Quliyev

>

−

k

k

, 

1

2

2

>

− k

k

, 

1

2

2

+

> k

k

 

alırıq. Odur ki, 

(

)

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

+

=

+

+

>

+

=

>

⋅

=

+

k

k

k

k

k

k

k

k

. 

Beləliklə, 

(

)

2

1

1

2

+

>

+

k

k

. 

Müəllim nəzərdə tutmalıdır ki, ümumilik kvantoru vasitəsilə riyazi 

induksiya prinsipi belə yazılır:  

( )

( )

(

)

[

]

}

( )

n

nA

k

A

k

A

k

A

∀

⇒

+

⇒

∀

1

1

 

Bəzən isə belə yazılışdan istifadə olunur:  

( )

( )

(

)

[

]

}

( )

n

nA

n

A

n

A

n

A

∀

⇒

+

⇒

∀

1

1

 

Zənnimcə  adi  riyazi  induksiya  prinsipini  “Natural  ədədlər” 

mövzusu i

lə  əlaqədar  daxil  etmək,  sonrakı  siniflərdə  isə  onun  tətbiq-

lərini  (ardıcıllıqlar,  ədədi  və  həndəsi  silsilə,  birləşmələr  nəzəriyyəsini 

elementləri və s.) göstərmək və ümumiləşdirilmiş formasını öyrənmək 

məqsədəuyğundur.  Hazırkı  proqrama  görə  isə  riyazi  induksiya prin-

 

222 

sipinin yalnız XI sinifdə “birləşmələr nəzəriyyəsinin elementləri” möv-

zusunun daxilində öyrənilməsi nəzərdə tutulur.  

61. Həllin iki üsulunu göstərək:  

I. Baxılan cəm a, b, c, d –dən asılı kəsilməz funksiyadır. Odur ki, 

toplanan  kəsrlərin  məxrəclərindən  uyğun  oalraq  d, c, b, a 

 

toplananlarını  atsaq 

2

=

+

+

+

+

+

+

+

<

d

c

d

d

c

c

b

a

b

b

a

a

S

 

və  bu 

kəsrlərin  məxrəclərinə  uyğun  olaraq  c, d, a, b ədədlərini  əlavə  etsək 

1

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

>

d

c

b

a

d

d

c

b

a

c

d

c

b

a

b

d

c

b

a

a

S

 

alarıq.  Buradan  alınır  ki, 

2

1

<

< S

.  Deməli  baxılan  cəm  (1;  2) 

intervalına daxildir. 

II.  Aşkardır  ki,  S  cəmi  ona  daxil  olan  a, b, c, d ədədlərinə  görə 

bircinslidir,  yəni  bütün  bu  ədədləri  eyni  bir  əmsala  vurduqda  o 

dəyişmir. Odur ki, onun yalnız a+b+c+d=1 olan təyin oblastı hissəsinə 

baxsaq  S  cəminin  qiymətlər  çoxluğunu  azaltmırıq.  Sonra  a+c=x, 

b+d=y 

əvəz  edək,  habelə 

0

,

0

>

> y

x

 

və 

1

=

+ y

x

. 

2

2

1

1

2

1

1

x

ac

x

x

ac

a

c

c

a

d

c

b

c

d

b

a

a

S

−

+

−

+

=

−

+

−

=

+

+

+

+

+

=

 

cəminə 

baxaq. Sabit x    üçün 

( )

x

c

a

c

a

=

+

,

,

 

olduqda  bütün  müsbət  ədədlər 

cütüdürsə,  onda  asanlıqla  yoxlamaq  olar  ki,  ac  hasili  0  və 

4

2

2

2

x

c

a

=











 +

 

arasında  bütün  həqiqi  ədədləri  alır,  daha  doğrusu: 

4

0

2

x

ac

≤

<

. Bu intervalda ac-

in  funksiyası  kimi  baxılan 

x

ac

x

x

x

ac

x

x

ac

S

−

+

−

−

+

=

−

+

−

+

=

1

2

3

2

1

2

2

2

1

 

ifadəsi  monoton  dəyişir 











− x

x

x

2

2

,

 

yarım  intervalda  bütün  qiymətləri  alır.  Analoji  olaraq 

göstərmək  olar  ki,  sabit  y  üçün 

d

c

a

d

c

b

a

b

S

+

+

+

+

+

=

2

 

ifadəsi 











− y

y

y

2

2

,

 

yarım 

intervalında 

dəyişir. 

Onda 

S 

cəmi 

 

223 











+

−

=











−

+

−

+

xy

xy

y

y

x

x

y

x

2

4

4

,

1

2

2

2

2

,

 

yarımintervalındakı  bütün 

qiymətləri alır. x+y=1 olduqda x və y ixtiyari müsbət qiymətlər alırsa, 

onda yuxarıdakı mühakiməyə uyğun olaraq alınır ki, 

xy

xy

+

−

2

4

4

 

ifadəsi 











2

,

3

4

 

yarımintervalında  dəyişir.  Buradan  nəticə  olaraq  alınır  ki,  S 

cəmi (1; 2) intervalında dəyişir. 

Göründüyü  kimi  məsələnin  riyazi  analizə  əsaslanan  I  həlli,  II 

elementar həllindən daha münasibdir.  

62. 

Funksiyanın 

böhran 

nöqtələrini 

tapaq: 

( )

(

)

1

6

6

6

2

+

=

+

=

′

x

x

x

x

x

f

 

olduğundan  onda  iki  böhran  nöqtəsi 

vardır: 0 və -1. 

[

]

5

,

0

;

2

−

−

 

aralığında böhran  nöqtələrindən yalnız biri 

yerləşir:  x=-1. 

( )

( )

(

)

5

,

0

5

,

0

,

0

1

,

5

2

−

=

−

=

−

−

=

−

f

f

f

 

olduğundan 

funksiya  -

1  nöqtəsində  0-a  bərabər  ən  böyük,  -2  nöqtəsində  isə  -5-ə 

bərabər  ən  kiçik  qiymətini  alır.  Qısa  olaraq  bu  belə  yazılır: 

[

]

( )

( )

0

1

max

5

,

0

;

2

=

−

=

−

−

f

x

f

,  [

]

( ) ( )

5

2

min

5

,

0

;

2

−

=

−

=

−

−

f

x

f

 

63. Tənliyi belə yazarıq:  

(

) (

) (

)

0

cos

1

cos

1

sin

12

3

2

3

2

=

−

−

+

x

x

x

,  

(

) (

)

(

)

0

cos

1

cos

1

cos

1

3

4

3

2

3

2

=







 −

−

+

−

x

x

x

,  

(

) (

)(

)

0

cos

cos

1

cos

1

cos

1

8

4

4

3

4

=

+

+

−

−

−

x

x

x

x

, 

(

)(

)

0

cos

3

cos

1

4

4

=

−

−

x

x

, buradan 

1

cos

4

=

x

 

və 

0

cos

4

=

x

 

və ya 

1

cos

±

=

x

, 

0

cos

=

x

, beləliklə 

...

,

2

,

1

,

0

,

2

±

±

=

=

k

k

x

π

 

64. Verilmiş tənliyi belə yazaq: 

(

)

1

1

2

3

4

5

5

=

−

−

−

−

−

−

x

x

x

x

x

x

y

 

buradan 









=

−

−

−

−

−

=

−

1

1

1

2

3

4

5

5

x

x

x

x

x

x

y

 . 

 

Bu  sistemin  ikinci  tənliyinin  yeganə  natural 

2

=

x

 

kökü  vardır, 

çünki 

 

224 

(

) (

)

(

)

(

)

−

+

+

+

+

−

=

+

+

+

−

−

=

−

−

−

−

1

1

1

1

2

2

3

4

3

4

5

2

3

4

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

(

)

(

)

(

)

1

2

1

2

3

4

2

3

4

+

+

+

+

−

=

+

+

+

+

−

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

və 

N

x

∈  

üçün 

0

1

2

3

4

>

+

+

+

+

x

x

x

x

. 

2

=

x

  olduqda sistem

in  birinci  tən-

liyindən 

5

=

y

 

alınır. Beləliklə, verilmiş tənliyin yeganə 

5

,

2

=

= y

x

 

həlli vardır. 

65.  Verilmiş  tənliyi 

(

)

3

12

2

4

18

1

3

2

=

+

+

−

−

−

y

y

xy

x

x

x

 

şəklində yazmaq olar.  

x 

və  y  –in  tam  qiymətlərində  sol  tərəfin  hər  bir  toplananı  cüt 

ədəddir.  Sağ  tərəf  isə  təkdir.  Beləliklə,  verilmiş  tənliyin  tam  həlli 

yoxdur. Başqa sözlə tam həllin sayı “0”-dır. 

66. 

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

1

2

4

3

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

xy

y

+

+

−

=

−

+

−

=

+

−

  yazmaq olar. 

Beləliklə,  verilmiş  kəsr 

(

)

0

2

≠

−

=

x

x

y

 

olduqda  ən  böyük  4, 

(

)

0

2

1

≠

=

x

x

y

 

olduqda isə ən kiçik -1 qiymətlərini alır. 

67. 









2

1

;

0

  -

də 

( )

2

1

2

x

x

x

f

+

=

 

funksiyasına  baxaq.  Onun  törə-

məsi 

( )

(

)

1

2

2

2

3

3

3

−

=

−

=

′

x

x

x

x

f

 dir. 

2

1

0

<

< x

 olduqda 

( )

0

<

′ x

f

. 

Beləliklə, 

( )

x

f

 

funksiyası 









2

1

;

0

  -

də  azalır,  odur  ki, 

2

1

0

<

< c

 

olduqda 

( )













>

2

1

f

c

f

. 

Lakin 

( )

2

1

2

c

c

c

f

+

=

, 

5

2

1 =













f

. Beləliklə, baxılan bərabərsiz-

lik doğrudur.  

68. 

( )

(

)

4

9

6

2

2

3

−

−

+

=

x

x

x

x

f

 

funksiyasına  baxaq.  Onun  törə-

məsi 

( )

(

)(

)

2

1

6

18

12

6

2

−

−

=

−

+

=

′

x

x

x

x

x

f

-dir. Buradan görünür 

ki, 

2

>

x

 olduqda 

( )

0

>

′ x

f

, yəni 

( )

x

f

 

funksiyası 

[

[

∞

+

;

2

 -

da artır. 

Odur ki, 

2

>

x

 olduqda 

( ) ( )

2

f

x

f

>

, yəni 

(

)

0

4

9

6

2

2

3

>

−

−

+

x

x

x

. 

Beləliklə, baxılan bərabərsizlik doğrudur. 

 

225 

69. 

( )

x

x

x

f

cos

+

=

 

köməkçi 

funksiyasına 

baxaq. 

( )

0

sin

1

>

−

=

′

x

x

f

  (

2

0

π

<

< x

 

isə).  Beləliklə, 

( )

x

f

 

funksiyası 









2

;

0

π

  -

də  artır,  odur  ki, 

2

0

π

β

α

<

<

<

  olduqda 

( ) ( )

β

α

f

f

<

, 

deməli baxılan bərabərsizlik doğrudur.  

70. a) 

( )

3

2

1

x

x

x

f

+

=

 

funksiyasına 

baxaq. 

( )

(

)

5

,

1

2

3

2

5

4

4

−

=

−

=

′

x

x

x

x

x

f

.  Buradan  alınır  ki, 

5

,

1

>

x

  olduqda 

( )

x

f

 

funksiyası  artır.  Xüsusi  halda o, 

]

[

∞

+

;

5

,

1

 

intervalında  artır. 

Odur ki, 

5

,

1

>

> p

q

 

olduqda baxılan bərabərsizlik doğrudur.  

b) 

(

)

5

5

,

1

;

1

 

intervalında 

( )

0

<

′ x

f

,  yəni 

( )

x

f

 

azalır.  Odur  ki, 

5

5

,

1

1

<

<

<

q

p

  olan 

q

p,

-

in  ixtiyari  qiymətlərində  baxılan 

bərabərsizlik deyil, onun əksi olan 

3

2

3

2

1

1

q

q

p

p

+

>

+

 

bərabərsizliyi 

doğrudur.  

71. Bəzən şərtdə diferensiallanan funksiya olmayan ədədi bərabər-

sizliklərlə  əlaqədar  məsələni  həll  etmək  lazım  gəlir.  Belə  hallarda 

uyğun “funksional” məsələ seçib törəməni tətbiq etdikdən sonra verilən 

ədədi bərabərsizliklərə keçmək məqsədəuyğun olar. Odur ki, göstərilən 

məsələlərin hamısı belə köməkçi funksional məsələyə gətirilir. 

y

x

<

<

0

 

isə,  onda  hansı  şərt  daxilində 

x

y

y

x