Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
π π π arctg arctg f c . ( ) c x f =
bərabərliyində 0 = c
olduğunu nəzərə alsaq eyniliyi isbat etmiş oluruq. 79. Fərz edək ki, T verilmiş funksiyanın dövrüdür. Onda bütün x- lər üçün
( ) ( ) ( ) cx C bx B ax A T x c C T x b B T x a A sin
sin sin
cos sin
sin + + = + + + + + (1) bərabərliyi doğrudur. Bu bərabərliyi ardıcıl olaraq iki dəfə diferensiallayıb alırıq: ( ) ( ) ( ) ) 2 ( sin
cos cos
sin cos
cos cx Cc bx Bb ax Aa T x c Cc T x b Bb T x a Aa − + = + − + + + ( ) ( ) ( ) ) 3 ( cos
sin sin
cos sin
sin 2 2 2 2 2 2 cx Cc bx Bb ax Aa T x c Cc T x b Bb T x a Aa − − − = + − + − + −
Bu bərabərliklər x-in bütün qiymətlərində doğrudur. Odur ki, 2
x − = götürə bilərik. Onda 2 sin
2 sin
2 sin
2 cos
2 sin
2 sin
cT c bT B aT A cT C bT B aT A + − − = + + (4) 2 sin
2 cos
2 cos
2 sin
2 cos
2 cos
cT Cc bT Bb aT Aa cT Cc bT Bb aT Aa + + = − + (5) 2 cos 2 sin
2 sin
2 cos
2 sin
2 sin
2 2 2 2 2 2 cT Cc bT Bb aT Aa cT Cc bT Bb aT Aa + + = − + − (6) (5) bərabərliyindən alınır ki, 0 2 sin 2 = cT Cc , yəni elə tam n ədədi vardır ki,
π = 2 v ə ya n c T π 2 = . (4) və (6) bərabərliklərindən 0 2
2 sin
= +
B aT A ,
0 2 sin 2 sin
2 2 = + bT Bb aT Aa
bu iki bərabərlikdən isə ( ) 0 2 sin
2 2 = − aT a b A
və ( ) 0 2 sin
2 2 = − bT a b B
alınır. b a ≠
olduğundan 0 2 sin =
və
0 2 sin = bT , yəni elə m və k ədədləri vardır ki, π
aT = 2
və ya m a T π 2 =
və π k bT = 2
və ya
k b T π 2 =
231
Qeyd edək ki, diferensial hesabının tətbiqi olmadan bu nəticəni almaq kifayət qədər çətindir. ( )
cos
sin sin
+ + = düsturunda sinus və kosinusun başqa yazılışında və toplananların sayının artırlmasında da dövrün tapılması üçün baxılan metoddan istifadə etmək olar. 80. Əvvəl ( ) ( ) α α α α 3 3 120
60 0 0 tg tg tg tg = + + + + (1) eyniliyini isbat edək: ( ) (
) ( ) ( ) + − + + = − + + + + = + + + + 0 0 0 0 0 0 0 60 1 60 60 180 60 120 60 tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg α α α α α α α α α ( ) ( )( ) ( )( ) = − − + − + + + = + − + − + + = − + α α α α α α α α α α α α
tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 60 2 0 ( )
− − = = − − = − + = α α α α α α α α α α α 2 3 2 3 2 3 1 3 3 ; 3 3 3 1 3 3 3 1 8
tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ;
Alınmış eyniliyə əsasən daha iki eynilik alırıq: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 60 3 3 140 80 20 + = + + + + + α α α α tg tg tg tg
(2) (1 eynilikdəki α
yerində 20 + α götürməklə). ( ) (
) ( ) ( ) 0 0 0 0 120 3 3 160 100 40 + = + + + + + α α α α tg tg tg tg
(3)
(1 eyniliyində α
yerində 0 40 + α
götürməklə). (1), (2), (3) eyniliklərini tərəf-tərəfə toplayaq: ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
) + + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 40 140 80 20 120 60 α α α α α α α tg tg tg tg tg tg tg
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ + + + = + + + + = + + + + 0 0 0 0 0 60 3 3 3 120
3 3 60 3 3 3 3 160
100 α α α α α α α
tg tg tg tg tg tg
( ) ] α α 9 9 120 3 0 tg tg = + + . Yenə (1) eyniliyinə əsasən ( ) (
) ( )
α α α α α 9 3 3 3 3 120
3 60 3 3 0 0 tg tg tg tg tg = = + + + +
(1 eyniliyində α
yerində α 3
yazırıq). 81. Nyuton düsturunun tətbiqi ilə asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ( )
5 26 101 B A + = +
isə, onda ( ) 26 5 26 101 B A + − = − , odur ki, ( ) (
) Z ∈ − − + 101 101 5 26 5 26 (1). Eyni zamanda ( ) 100 101
101 10 1 1 , 0 5 26
< − , deməli bu ədədin vergüldən sonra ilk 100 onluq işarə sıfırdır; (1)-dən alınır ki, verilmiş ədəddə axtarılan ilk 100 onluq 232
işarə də sıfırdır. 82.
6 11 6 2 3 + + +
k k
çoxhədlisinin üç müxtəlif kökü (-1, -2 və - 3) olduğundan, ( )( )( ) 3 2 1 6 11 6 2 3 + + + = + + +
k k k k k
və qeyri- müəyyən əmsallar metodu ilə 6 11 6 1 2 3 + + + k k k
kəsrini aşağıdakı ayrılışını alarıq: 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 6 11 6 1 2 3 + − + ⋅ + + ⋅ = + + + k k k k k k
Onda − + − + + + = + − + + + = + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = n k n k n k n k n k n k n k k k k k k k k k k 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 6 11 6 1 = − + + + − = + − + + + − + = + − ∑ ∑ ∑ = = = 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 n n k k k k k n k n k n k
( )( ) ( ) ( )( ) 3 2 12 5 3 2 1 6 1 2 1 + + + =
+ + − =
n n n n n . 83. 83- 93 məsələləri üzərində inteqral hesabının eyni çevirmələrə və bərabərsizliklər isbatına bir sıra tətbiqlərini göstəririk. Hər şeydən əvvəl bu ona görə lazımdır ki, belə tətbiqlər orta məktəb şagirdləri və müəllimləri üçün mövcud vəsaitlərdə demək olar ki, yoxdur. Belə çalış- malar təkcə inteqral aparatının faydalı olduğunu şagirdlərə göstərmək deyil, habelə onların bu anlayışı daha şüurlu öyrənmələrinə səbəb olur. Lakin belə çalışmaları yerinə yetirərkən müəllim şagirdləri başa sal- malıdır ki, inteqral hesabının bunlardan əlavə daha mühüm tətbiqləri də vardır. Baxılan belə çalışmalarda əvvəlcə verilən funksiyanın törəməsi sadələşdirilir. Eyniçevirmələrdə qeyri-müəyyən inteqralın ən sad tətbiq- ləri onunla əlaqədardır ki, hər bir funksiyaya onun törəməsinin ibtidai funksiya sı kimi baxmaq olar; daha doğrusu iki F və f funksiyaları (sadəlik üçün onların hər ikisini hər hansı [ ]
b a,
parçasında və ya [ )
a,
ya rım intervalda kəsilməyən hesab edirik) ( ) ( ) ( )
= ′ (1) asılılığı ilə əlaqədardırsa, onda onlar ( ) ( )
∫ =
x f x F (2) mü- nasibətilə də əlaqədardırlar. (2) bərabərliyini belə başa düşmək la- zımdır:
( ) x F
funksiyası ( ) x f
funksiyasının inteqrallanmasından alınan funksiyalardan biridir, başqa sözlə ( )
x F
funksiyası ( ) x f -in
233
ibtidai funksiyalarından biridir. Buradan aydın olur ki, ( )
x F funk-
siyasının yazılışını sadələşdirmək çətindirsə, onda əvvəlcə onun ( )
( ) x F x f ′ = törəməsinə baxmaq faydalıdır: f
funksiyasının yazılı- şını sadələşdirə biləriksə, onda F
üçün də kifayət qədər sadə ifadə tapa bilərik. Baxılan
( ) x F
funksiyasını triqonometrik aparat vasitəsilə sadə- ləşdirmək o qədər də sadə deyildir. Odur ki, onun əvvəlcə törəməsini sadələşdirmək münasibdirmi? Baxılan ( )
funksiyası üçün bunu yoxlayaq: ( )
( ) = + − − = ′ =
x x x x x x x x x x F x f cos
sin 3 cos 3 sin
3 sin
3 sin
cos 3 sin 3 cos
3 cos
3 2 3 2 3
x x x x sin
3 sin
3 cos
3 cos
3 − = Beləliklə, ( )
4 cos 3 = . Onda ( ) ( )
∫ ∫ + = = = C x xdx dx x f x F 4 sin 4 3 4 cos 3 , burada C – hər hansı sabitdir. C -ni tapaq. ( ) 0
= = F Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|