Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
onda bu sistemlər eynigüclüdür. Göstərilən fakt (teorem) tam isbat olundu.
304
241, 243 məsələlərinin həlli ilə əlaqədar göstərilən faktların isbatı verilmədi, çünki onlar burada isbat edilənin xüsusi hallarıdır. İndi verilən tənliyi həll etmək olar. ( )
22 10 1 u u u f + = funksiyaya baxsaq, o özünün bütün R varlıq oblastında ciddi monoton deyildir, odur ki, 241, 243, 244- də göstərilən faktların (teoremlərin) heç birini ona tətbiq etmək olmaz. Lakin ( )
( ) 2 2 3 4 − + = x x x α , ( ) ( ) 2 1 + = x x β , ( ) 11 5 u u u f + = işarə etsək, onda alırıq ki, ixtiyari R x ∈
üçün ( )
0 ≥
α ,
0 ≥
β , odur ki, ( ) (
) ( ) ( ) 22 10 22 2 10 2 1 1 3 4 3 4 + + + = − + + − + x x x x x x
(1) tənliyi ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ ≥ = 0 0 x x x f x f β α β α (1 / ) sistemi ilə eynigüclüdür. ( )
funksiyası [ ) ∞ + = ;
0 İ
aralığında ciddi artır. Odur ki, məsələnin həllinin əvvəlində göstərdiyimiz fakta (teoremə) əsasən (1 / ) sistemi ( ) ( ) ( )
( ) ≥ ≥ = 0 0 x x x x β α β α (1 // ) sistemi ilə eynigüclüdür. İxtiyari R x ∈ üçün ( ) ( )
0 , 0 ≥ ≥
x β α olduğundan (1 // ) sistemi ( ) ( ) x x β α =
tənliyi ilə, yəni ( ) ( ) 0 1 3 4 2 2 2 = + − − +
x x (1
/// ) tənliyi ilə eynigüclüdür. Beləliklə, verilmiş (1) tənliyi (1 ///
) ilə eynigüclüdür. Sonuncu tənliyi ( )( ) 0 2 5 4 3 2 2 = − + − + x x x x
şəkildə yazmaq olar. Buradan isə 1 1 = x ; 4 2 − = x ; 2 33 5 3 − − = x , 2 33 5 4 + − = x
alırıq. Bu ədədlər baxılan tənliyin kökləridir. 245.
( ) 100
2 1
u f u − = funksiyasının varlıq oblastı R-dir, bu çoxluqda ( )
ciddi monoton deyildir, odur ki, ona 241, 243, 244 məsələləri ilə əlaqədar göstərilən faktların (teoremlərin) heç birisi tətbiq edilə bilməz. Lakin baxılan ( )
) 100
cos 1 100 sin 1 cos 1 2 1 sin 1 2 1 x x x x + − = + − + +
(1) 305
t ənliyinin həlli ilə əlaqədar ixtiyari R x ∈ üçün 0 sin
1 ≥ + x
və 0 cos
1 ≥ + x (1
/ ) olduğunu bilərək ( ) ( )
x x x x cos
1 , sin 1 + = + = β α
işarə edib alırıq ki, (1) tənliyi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
≥ ≥ = 0 0 x x x f x f β α β α (1 // ) sistemi ilə eynigüclüdür. [ ) ∞ + = ; 0 J
aralığında ( ) u f
funksiyası ciddi azalandır. Odur ki, 244 ilə əlaqədar göstərilən fakta (teoremə) əsasən (1 // ) sistemi ( ) ( ) ( )
( ) ≥ ≥ = 0 0 x x x x β α β α (1 /// ) sistemi ilə eynigüclüdür. (1 / ) şərtini nəzərə alaraq müəyyən edirik ki, (1 ///
) sistemi ( ) ( )
x x β α =
və ya x x cos
1 sin
1 + = +
tənliyi ilə eynigüclüdür. Bu tənliyin isə həllər seriyası Z k k x k ∈ + = , 4 π π dir. Beləliklə baxılan (1) tənliyinin kökü də Z k k ∈ + , 4 π π olur. 246.
0 2 ± olduğundan [ ]
= 2 tənliyinin hər tərəfini 2-yə bölüb [ ] 2
x =
alırıq. Ədədin tam hissəsinin tərifinə görə (həqiqi x ədədinin tam hissəsi x n ≤
olan ən böyük n ədədinə deyilir. Həqiqi x ədədinin tam hissəsi [ ]
və ya ( ) x E
ilə işarə olunur. Yaxud hazırki dərslikdəki tərif: hər bir x
ədədinə [ ] x
ədədini qarşı qoyan funksiyaya x
ədədinin tam hissəsi deyilir və ( )
[ ] x x f =
kimi işarə olunur). Z x ∈ 2 , yəni Z n n x ∈ = , 2 , buradan n x 2 = . [ ]
2 x x =
tənliyinin sol tərəfində [ ]
{ } x x x − = bərabərliyini nəzərə alıb { } 2
x x = − , buradan { }
2 x x =
yaza bilərik. Burada { }
x -
həqiqi x
ədədinin kəsr hissəsidir: həqiqi x
306
ədədinin kəsr hissəsi [ ]
x x −
kəmiyyətinə deyilir və { }
x
ilə işarə olunur. { }
x -
in qiymətlər oblastı [ ) 1 ; 0 yarımintervalı olduğundan [ )
; 0 2 ∈ x , yəni
[ ) 2 ; 0 ∈ x .
x ∈
olduğundan buradan verilmiş tənlik üçün
1 , 0 = = x x
alınır. Lakin n x 2 = olduğundan bu köklərdən yalnız 0
x
verilmiş tənliyi ödəyir. 247. 0 3 ≠
olduğundan { } x x = 3 tənliyinin hər tərəfini 3-ə bölüb { } 3
x =
alırıq. { }
x - in qiymətlər çoxluğu [ ) 1 ; 0 , yəni { } [ ) 1 ; 0 ∈ x
olduğundan [ ) 1 ; 0 3 ∈ x , buradan [ )
; 0 ∈ x . { } [ ] x x x − = olduğunu bilərək [ ]
3 x x x = − , buradan [ ]
x x = 3 2
alırıq. [ ] Z x ∈
olduğundan Z x ∈ 3 2 , onda
Z n n x ∈ = , 3 2 , buradan 2 3n x = . Müəyyən edildiyinə görə [ ) 3 ; 0 ∈ x
və Z n n x ∈ = , 2 3 , odur ki, verilmiş tənliyin həlli 2 3 , 0 = = x x -dir. Çünki 2 3n x = -in [ ) 3 ; 0 - ə daxil olması üçün 1 , 0 = = n n
ola bilər, onda 2 3n x = - dən 2 3 , 0 = = x x
alınır. 248. { }
[ ) 1 ; 0 ∈ x
olduğundan, [ ) 1 ; 0 2 5 ∈ + x
və ya 1 2 5 0 < + ≤ x , buradan
− − ∈ 5 1 ; 5 2 x . Tənliyin sol tərəfində { } [ ]
x x x − = yazıb
[ ] 2 4 − − = x x
alırıq. [ ] Z x ∈
olduğundan Z x ∈ − − 2 4 , onda 4 2 , 2 4 + − = = − − n x n x . − − ∈ 5 1 ; 5 2 x
və 4 2 + − =
x
olduğundan verilmiş tənliyin kökü 4 1 − = x -dir.
249. İki hala baxaq: 307
1) [ ]
0 1 ≥ − x . Onda
[ ] [ ]
1 1 − = −
x
və bərabərsizlik [ ] 0 1 ≥ −
şəklinə düşür. Onda [ ] [ ]
≥ ≥ 4 1 x x
bərabərsizliklər sistemini və buradan [ ) ∞ + ∈ ;
4 x
alırıq. 2) [ ]
0 1
−
. Onda
[ ] [ ]
x x − = − 1 1 və bərabərsizlik [ ] 3
≥ − x
şəklə düşür. Onda [ ] [ ]
− ≤
2 1
x
bərabərsizliklər sistemini və buradan ( ) 1 ; − ∞ − ∈
alırıq.
Verilmiş bərabərsizlik [ ]
[ ] ≥ − ≥ − 3 1 3 1 x x
ilə ekvivalent olduğundan [ ] 3 1 ≥ −
bərabərsizliyinin həlli ( ) [ ) ∞ + ∪ − ∞ − ; 4 1 ;
nöqtələr çoxluğudur. 250. Əvvəlcə isbat edək ki, 0 ≥
isə
b a b a + = +
bərabərliyi doğrudur. Doğrudan da bu bərabərliyin hər tərəfini kvadrata yüksəltdikdən sonra 2 2
2 b ab a b a + + = + , 2 2 2 2 2 2 b ab a b ab a + + = + + , buradan
ab ab =
alırıq. Sonuncu bərabərlik isə 0 ≥ ab olduqda doğrudur. Bu faktı verilmiş tənliyə tətbiq etməklə deyə bilərik ki,
-in
( )( ) 0 log
5 , 0 5 , 0 sin 2 ≥ − −
x
bərabərsizliyini ödəyən qiymətləri onun kökü olacaqdır. Alınmış bərabərsizlik iki ≥ − ≥ − 0 log 5 , 0 0 5 , 0 sin 2 x x , ≤ − ≤ − 0 log
5 , 0 0 5 , 0 sin
2 x x
bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Birinci sistemin həlli 2 ; 6 π parçası, ikincinin həlli isə
+ + k k π π π π 2 6 13 ; 2 6 5 , { }
0 ∪ ∈ N k
şəklində parçaların birləşməsidir. Beləliklə, verilmiş tənliyin həlli: { }
0 , 2 6 13 ; 2 6 5 2 ; 6 ∪ ∈ + + ∪ N k k k π π π π π -dir. 251. İxtiyari iki müxtəlif 2 2
mx x y + + =
və 2 2
nx x y + + =
parabola yeganə nöqtədə ( )
m m y n m x + + = − − = 2 2 ,
kəsişir. Onda tələb edilən mümkündürsə parabolaların kəsişmə nöqtələrinin 308
miqdarı parabolalar cütünün sayına bərabər olmalıdır. Parabolaların sayı k olarsa onda şərtə görə ( )
2 1 =
− k k . Bu isə mümkün düyil, çünki 2013 sadə ədəddir. 252.
100 2 + + px x
üçhədlinin diskriminantı 400 2 − = p D -dir.
20 >
olduqda 0 > D , 20 ± =
olduqda 0 = D . Beləliklə, 20 >
olduqda alınmış üçhədlilərin hər birinin iki kökü, 20 ±
p
olduqda isə hər birinin bir kökü vardır. Qeyd edək ki, Viyet teoreminə görə 100
2 + + px x
kvadrat üçhədlisinin iki həqiqi kökünün cəmi p-yə bərabərdir. Onda p-yə uyğun olaraq alınmış bütün kvadrat üçhədlilərin kökləri
cəmi ( ) ( ) ( Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|