Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida

“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida” 
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
 
88 

−
GARMONIK FUNKSIYALAR UCHUN BLANCHET TEOREMASI 
Raximova Sarvinoz Adilbekovna 
Urganch davlat universiteti 2-bosqich magistranti 
 
Annotatsiya: Ushbu maqolada 
n
Ј
dagi 

−
garmonik funksiyalar uchun 
Blanchet teoremasining analogi isbotlangan. 
Kalit so‘zlar: garmonik funksiya, 
 −
garmonik funksiya, differensial forma, 


operatori. 
Hozirgi kunda 

-garmonik funksiyalar sinfi va ularning xossalari ko‘plab 
matematiklar tomonidan o‘rganilgan, jumladan A.Sadullaev [2], M.Vaisova [6], 
B.Abdullayev, S.Imomkulov, R.Sharipovlar [5] va boshqa olimlarning ishlarida
. 
Ushbu ishda 
n
Ј
kompleks fazodagi garmonik funksiyalar sinfini kengaytmasi va 
funksiyalar nazariyasida muhim rol o‘ynaydigan 

-garmonik funksiyalar uchun 
Blanchet [3] teoremasining analogi o‘rganiladi.
Bizga 
n
D

Ј
sohada ixtiyoriy yopiq, qat’iy musbat 
(
)
1,
1
n
n
−
−
bidarajali 
differensial 

forma berilgan bo‘lsin: 
 
 
( )
1
1
,
1
( )
,
( )
,
0,
2
n
n
jk
jk
j k
i
z dz j
dz k
z
C
D
d




−
=
 
=


=
 
 

bu yerda 
 
1
1
1
...
...
j
j
n
dz j
dz
dz
dz
dz
−
+
=
 

 
,
 
1
1
1
...
...
k
k
n
dz k
dz
dz
dz
dz
−
+
=
 

 
. 
1-ta’rif. [6]. Agar 
n
D

Ј
sohada ikki marta silliq 
( )
( )
2
u z
C
D

funksiya uchun 
0
c
dd u

 =
tenglik bajarilsa, u holda 
( )
u z
ga 
D
da 
 −
garmonik funksiya deyiladi. 
Endi 
u

Laplas operatorni aniqlanishiga o‘xshab, 
(
)
2
1
2
,...,
,
n
n
j
j
n j
x
x
z
x
ix
+
=
+
Ў
fazoda 
u


operatorni haqiqiy forma ko‘rinishida aniqlaymiz. Istalgan ikki marta 
silliq 
2
( )
( )
u z
C D

funksiya uchun 
c
dd u


operatorni quyidagi ko‘rinishda yozish 
mumkin: 
2
2
,
1
,
1
( )
( )
.
2
n
n
n
c
jk
jk
j
k
j
k
j k
j k
i
u
u
dd u
z
dz
dz
z
dV
z z
z z



=
=




 
 =

= 

 
 
 
 







---

“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida” 
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
 
89 
2
,
1
( )
n
jk
j
k
j k
u
u
z
z z


=

 =
 

deb belgilash olib, 
u


operatorni quyidagi 
2
2
,
1
n
jk
j
k
j k
u
u
a
x x

=


=
 

ko‘rinishda yozib olamiz [1], bu yerda 
,
,
,
( 1)
Re
( ),
1
,1
( 1)
Im
( ),
1
,
1
2
( 1)
Im
( ),
1
2 ,1
( 1)
Re
( ),
1
2 ,
1
2 .
j k
jk
j k
j k n
jk
j k
j n k
j k
j n k n
z
j
n
k
n
z
j
n n
k
n
a
z
n
j
n
k
n
z
n
j
n n
k
n




+
+
−
+
−
+
−
−
 −
 
 
 −
 
+  

= 
−
+  
 

 −
+  
+  

ga teng. 
Bizga 
2
( )
u
С D

va 
2
( )
v
С D

funksiyalar berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi 
2
,
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
n
jk
k
j
j
j k
u z
v z
v z
u z
u z
v z
a
z
v z
u z
x
x
x


=








−

=
−
















tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa Grin formulasi va 


operator quyidagi 
ko‘rinishga ega bo‘ladi (q. [1]) 


( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
D
D
u
v
v z
u z
u z
v z dV z
a
v
u
d
m
m







 






−

=
−








(1) 
bu yerda 
(
)
1
2
2
( )
( ),
( ),...,
( )
n
m
m
m
m




=
- 
D

chegaraga 

nuqtadagi tashqi 
normal, 
u
m


va 
v
m


- 
u
va 
v
funksiyalarning mos ravishda 
m
normal yo‘nalishi 
bo‘yicha hosilalari, 
( )
a

esa funksiya quyidagi formula bilan aniqlanadi 
1
2
2
2
2
1
1
( )
( )
( )
.
n
n
jk
k
j
k
a
a
m



=
=






=








 
Endi biz garmonik funksiyalarning 
bartaraf qilinadigan maxsusliklari
haqidagi 
Blanchet teoremasini umumlashtiruvchi asosiy teoremani keltiramiz. 
1-teorema. Bizga 
n
Ј
, 
2
n

da 
D
soha va 
D
ni ikkita 
1
D
va 
2
D
qism sohalarga 
ajratuvchi 
1
C
sinfdan 
olingan 
S
gipersirt 
berilgan 
bo‘lsin, 
hamda 
2
1
2
( )
(
)
u
C D
C D
D

U
U
funksiya 
1
D
va 
2
D
da 
 −
garmonik bo‘lsin. Agar 
1
1
1
1
(
)
D
u
u
C D
S


U
, 
2
1
2
2
(
)
D
u
u
C D
S



va 
S
da 

---

“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida” 
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
 
90 
1
2
( )
( )
k
k
u z
u z
m
m


=


tenglik bajarilsa (bu yerda 
1
2
2
(
,
,...,
)
k
n
k
k
k
m
m m
m
=
- 
k
D
(
1, 2)
k
=
chegarasiga tashqi 
birlik nomal), u holda 
( )
u z
funksiya 
D
da 

−
garmonik bo‘ladi. 
Isbot. Eslatib o‘tamiz, 
1
(
)
t
C D
dan olingan 
1
(
) (
1, 2)
t
C D
S t
=
U
funksiyalar sinfi 
birinchi tartibli xususiy hosilalari uzluksiz ravishda 
t
D
S
U
ga davom qiladi. Bu shuni 
anglatadiki, agar 
1
( )
(
) (
1, 2)
t
t
u z
C D
S t

=
U
bo‘lsa, u holda 
t
D
S
U
da uzluksiz 
( ),
1,..., 2
t
z
n



=
funksiyalar mavjudki, 
t
D
da 
1,..., 2n

=
lar uchun 
( )
( )
t
t
u z
z
x




=

tenglik bajariladi, bu yerda 
1
( ,...,
)
n
n
l
z
z
z
D
=


Ј
, 
j
j
n j
z
x
ix
+
=
+
, 
1,...,
j
n
=
. 
2
1
2
(
)
u
C D
D

U
funksiya 
t
D
da 
 −
garmonik bo‘lgani uchun, ta’rif bo‘yicha 
t
D
, 
1, 2
t
=
da 
0
t
c
dd u

 =
bo‘ladi. Endi biz 
( )
( ),
( )
0
z
F D
z




funksiyani qaraymiz. 
Agar tashuvchi 
supp ( )
z
S

= 
I
bo‘lsa, u holda 
1
supp ( )
z
D


yoki 
2
supp ( )
z
D


bo‘ladi. Dastlab 
supp ( )
,
1, 2
t
z
D t


=
bo‘lsin deb faraz qilamiz, u holda silliq 
chegaraga ega 
t
U
soha mavjudki, 
supp ( )
t
t
z
U
D



munosabat bajariladi. Endi 
D
da har qanday manfiy bo‘lmagan 
( )
( )
z
F D


lar uchun biz quyidagiga ega bo‘lamiz 
2
2
1
1
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
t
t
c
c
c
c
t
t
D
D
t
t
U
dd u z
z
u z
z
dd
z
u z
z
dd
z
u z
z
dd
z








=
=

=

=

=






va 
2
2
1
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0.
t
l
c
c
c
t
t
D
D
U
t
t
z
z
dd u z
z
z
dd u z
z
z
dd u z
 
 
 
=
=

=

=

=





Endi quyidagi farqni ko‘rib chiqamiz 
( )
( )( )
( ) ( )
( )
c
c
D
dd u z
z
z
z
dd u z


 

−

=



2
2
2
1
1
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
t
t
t
c
c
t
t
U
t
t
t
t
U
U
t
u z
z
dd
z
z
z
dd u z
u z
z
z
u z dV




 


=
=
=
=

−

=

−







Shuningdek 
2
(
),
1, 2
t
t
U
t
u
C

=
ekanligidan, (1) formulaga ko‘ra 


2
2
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ).
t
t
t
t
t
t
t
t
U
t
t
U
u
u z
z
z
u z dV
a
u
d
m
m



 




 
 
=
= 





−

=
−











---