Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

2-  misol. 15 asrda  buyuk  nemis  olimi  Nikolay  Kuzanskiy(1401-
1464)  kolisoga  mix  qoqib  nuqtaning  harakat  y
oʻlini,  ya’ni  
trayektoriyasini  kuzatgan.  Bu  trayektoriyaning  shakli  mixni 
qayerga  qoqilaniga  bo
gʻliq. Eng sodda holi aylanaga fiksirlangan 
nuqtaning  aylana  t
oʻgʻri  chiziq  boʻylab  harakat  qilgandagi 
trayektoriyasidir.  Buyuk  Galiley(1564-1642)  bu  egri  chiziqni 
sikloida  deb  atadi(  grekchadan 
-doira  va 
   - 
k
oʻrinish).  Agar  bu  nuqta  doira  yotsa,  unda  “qisqartirilgan 
 
30 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
sikloida” va agar doiradan tashqarida yotsa “uzaytirilgan sikloida” b
oʻladi. Birinchi holda giposikloida 
va  ikkinchi  holda  episikloida  hosil  b
oʻladi.    Xususiy  holda  Nikolay  Kuzanskiy  va  Galileygacha 
Ptolemey  episikloidani  q
oʻllagan.  Ptolemey  Yer  jahon  markazi,  barcha  planetalar  esa  bu  markaz 
atrofida  aylanadi.  Ptolemey  b
oʻyicha  planetalar(quyosh  va  oydan  tashqari)  katta  aylana  boʻlmagan 
episikloida  b
oʻyicha  harakatlanadi,  episikloidaning  markazi  Deferent  boʻylab  harakatlanadi,  bu  soʻz 
bilan markazi Yerning markazida b
oʻlgan aylanani ifodalagan. 
Galiley tomonidan sikloida bir b
oʻlagi yuzini topish masalasini qoʻyilishi, sikloidaga urinma oʻtkazish 
masalasi 
oʻsha davr matematiklari orasida eng qiziqarlisi deb tan olindi. Sikloida bilan Dekart va Ferma, 
shuningdek  fizik  Evanjelist  Torichelli(1608-1647)  va  Galileyning  shogirdi  Vinchenso  Vivian(1622-
1703) lar shu
gʻullanganlar.  
Soddalik uchun aylana radiusini birga teng deb olamiz. Aylana abssissa 
oʻqi boʻylab harakat qilsin va 
bizni qiziqtirgan M nuqta koordinata boshida b
oʻlsin.  
t  parametr  sifatida  M  nuqtaga 
oʻtkazilgan  aylana  radiusining  radianlarda  oʻlchanuvchi  burchakni 
olamiz( t = 0 da kelishganimizdek koordinata boshida b
oʻladi).  KM yoy son jihatidan t  ning qiymatiga 
teng,  shuningdek  OK  kesmaga  ham.  Bundan  tashqari 
  va 
.  Shuning  uchun 
Nihoyat 
sikloidaning  vektor  k
oʻrinishdagi  tenglamasiga  ega  boʻldik: 
  Endi 
 ni topamiz. K
oʻrinib  turibdiki 
 da birinchi 
hosila nolga aylanadi, ya’ni bu nuqta maxsus nuqta b
oʻladi. Bu nuqta va   
 dagi  nuqtalarni 
chiqarib  tashlaymiz,  bu  yerda 
  har  qanday  butun  son  b
oʻlib 
  deb  olaylik. 
  da  
  b
oʻladi.  Demak  mix  yuqorida  ekan.  Qismlar 
oraliqlarda 
takrorlanadi.  Oraliqning  uchlarining  har  birida  umumiy  urinmaga  ega  ikkita  tarmoq  chiqadi.  Manfiy  t 
lar 
uchun 
ordinata 
oʻqiga 
nisbatan 
takrorlanadi.  Yoy 
uzunligi 
uchun 
Ildiz  ostidagi  ifodani 
soddalashtiramiz: 
  Agar 
  desak 
  b
oʻladi.  Shuning 
uchun 
.  Sonoq  boshi  sifatida  odatda       
s = o olinadi. Sikloida uchun bu holat uning yuqori 
 nuqtasi b
oʻladi. Shuning uchun 
oraliqda 
 ga ega b
oʻlamiz. Yoy uzunligini hisoblashda 
formulada minus hosil b
oʻldi, chunki bu oraliqda 
  funksiya manfiy. Nihoyat 
ga  ega  b
oʻldik.  Endi  t  parametrdan  qutilish  uchun 
   deb 
  ni hosil qilamiz. Bu sikloidaning natural tenglamasi b
oʻladi. 
3-misol. Traktrisa. Tekislikda t
oʻgʻri chiziq(abssissa oʻqi) va undan tashqarida M nuqta berilgan boʻlsin. 
M nuqtada telejka turibdi va u uzunligi a ga teng b
oʻlgan tros bilan  abssissa oʻqi(yoʻl) boʻylab harakat 
 
31 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
qilishi  mumkin  b
oʻlgan traktorga  mahkamlangan.  Traktorning  tekis  harakatida  M  nuqta hosil  qilgan 
trayektoriya  traktrisa  deyiladi(lotincha  tracto  –  rus  tilida  “ta
щu  vleku”-  oʻzbekchasiga”  tortaman” 
ma’nosini anglatadi.   
 t parametr sifatida radianlarda 
oʻlchanuvchi 
 burchakni olish mumkin. K
oʻrinib turibdiki u 
 va 
 orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda 
 ga ega b
oʻlamiz. Ma’lumki t 
burchakning 
tangensi 
hosilaga 
teng. 
Bundan 
 va 
Shuning  uchun 
Bundan 
Ikkinchi  integral  bizga  ma’lum: 
Lekin 
tenglikdan 
bu  yerda 
  ixtiyoriy 
oʻzgarmas. 
Oʻzgarmasning hosilalari nolga teng va 
  va 
  ning  hosilalari  kerak  b
oʻladi. Lekin 
  U 
holda 
 da 
 yoki 
 va 
 Albatta t parametrning bunday qiymatlari 
tros  y
oʻlga perpendikulyar boʻlgandagi traktor harakatining limit holatini anglatadi. Harakat qarama - 
qarshi  tomonga  ham  sodir  b
oʻlishi  mumkin(manfiy  abssissa).  U  holda  ordinata  oʻqiga  nisbatan 
simmetrik b
oʻlgan egri chiziq hosil boʻladi. Demak traktrisa tenglamasini quyidagicha yozish mumkin: 
.  Yuqoridagi  ishlarni  takrorlab 
  va  
ga  ega  b
oʻlamiz.  Bundan  traktrisaning  natural  tenglamasi  kelib  chiqadi: 
  da 
  funksiyaning  qiymati  aniqlanmagan(
oʻng tomonda nol, chap tomonda esa musbat son). 
 uchun 
 nuqta maxsus nuqta b
oʻladi. 
 intilganda traktrisa tenglamasining 
oʻng 
tomoni  cheksiz 
oʻsadi;  demak 
Bu  yetarlicha  katta  s  da  traktrisa  t
oʻgʻri  chiziqqa  oʻtadi. 
  intilganda  bu  t
oʻgʻri  chiziq  traktrisaga  yaqinlashadi.  Egri  chigiqqa  cheksiz  yaqinlashuvchi 
siziq  asimptota  deyiladi(
  tangensoidaning  asimptotasi 
  va 
  giperbola 
uchun 
  va 
  lar  asimptotalar  b
oʻladi).  Traktrisa  sirtlar  nazariyasida  va  Lobachevskiy 
geometriyasida  muhim 
oʻrin  tutadi.  Agar  traktrisani  uning  asimptotasi  atrofida  aylantirsak  sirt  hosil 
b
oʻladi. Tashqi tomondan u sferaga oʻxshamaydi. Uni psevdosfera deb atadilar. Ma’lumki sferani biror 
 
32 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
b
oʻlagini  kesib,  boʻlakni  uning  istalgan  joyiga  qoʻyish  mumkin.  Tekislik  ham  shu  xossalarga  ega. 
Ushbu  xossa  psevdosfera  uchun  ham 
oʻrinli ekan. Bu psevdosfera geometriyasi tekislik(planimetriya) 
geometriyasiga 
oʻxshash  boʻlishi  kerak  degan  tasdiqni  aytishga  olib  keladi.  Psevdosfera  birinchi  bor 
Leybnisda topilgan b
oʻlsada, psevdosferaga Lobachevskiy planimetriyasini mos qoʻyish mumkin degan 
ma’lumot  italiyan  geometri  Eudjenio  Beltrami(1835-1900)  tomonidan  berilgan.  Bu  masala  1675  yilda 
parij olimlari “Krasnoy shapochki” asarining mulliflari Klod Perro, akasi Sharl Perro oldiga q
oʻyilgan 
masala edi va u yechilgan. 
Adabiyotlar 
1.
А.В. Погорелов. Геометрия, Москва “ Наука”, 1984 йил, 320 бет.
2.
А. Нарманов. Дифференциал геометрия, Тошкент, 2012 йил, 310 бет.
3.
Шербаков Р.Н. Пичурин Л.Ф. Дифференциали помогают геометрии. 1982. М. : Изд-во
“просвещение”, 22 бет.           
4.
Э.Э.  Жумаев.  Математикаик  ва  геометрик  методлар  интеграцияси  ва  геометриянинг
матемикага  таъсири.  //  Педагогик  маҳорат.  Назарий  ва  илмий  -  методик  журнал.  №1, 
2013 йил. Б.: 45- 49.  
5.
Жумаев  Э.Э.  Некоторые  вопроси  математического  развития  учащихся  в  обучении
геометрии // Современный научный вестник. Научно – теоретический и практический 
журнал. г. Белгород, №57(196), 2013 йил, Б.: 77-83. 
6.
Э.Э. Жумаев. Подготовка учителя математики: некоторые вопросы. Образование через
всю жизнь непрерывное образования в интересах устойчивого развития. Материалы 12-
й международной конференции. Выпуск 12. Часть I. Санкт-Петербург. 2014. Б.: 372-373.
Э.Э.Жумаев
 
ВЗАИМОСВЯЗЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В 
СОЗДАНИИ НАТУРАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ
 
В  работе  составлено  натуральное 
уравнение 
винтовой 
линии(окружность 
радиуса  а,  циклоида  и  трактриса)    и  доказано 
что во всех точках винтовой линии кривизна и 
кручение  постянны.
 
Ключевые  слова:  витовая  линия, 
окружность,  циклоида,  трактриса,  кривизна, 
кручения, репер, базис, вектор и интеграл.
 
E.E.Jumaev
 
HARMONY OF ALGEBRAIC AND 
GEOMETRIC METHODS IN THE 
FORMATION OF NATURAL EQUATION 
FOR CURVES 
The natural equation of the screw line is 
found in work (a circle of radius and, a cycloid 
and a tractrix) and proved that in all points of the 
screw line curvature and torsion of a postyanna.
 
Keywords: vitovy line, circle, cycloid, 
tractrix, curvature, torsions, reference point, basis, 
vector and  integral.
 
УДК: 518.9 
 
ГРУППОВОЕ 
l
– 
ПOИМКА ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА 
УПРАВЛЕНИЯ   
Б.Т.Саматов 
Наманганский государственный университет 
Аннотация.  В  статье  изучаются  задачи  группового  преследования  с  простыми 
движениями  игроков    для  случая  l
– 
пoимки,  когда  на  управления  игроков  налагаются 
интегральные  ограничения.  Задачи  решаются  на  основе  построения  П-стратегии  для 
преследователей.  Получены  новые  достаточные  условия  разрешимости  для  задач  группового 
преследования. 
Ключевые  слова:  дифференциальная  игра,  групповое  преследование,  преследующий, 
убегающий, интегральное ограничение, разрешающая функция, поимка, уклонение. 
        
Основные результаты теории дифференциальных игр относятся преимущественно к случаю, 
когда на управление игроков наложены только геометрические ограничения (см. [1-7, 13] и др.)  , 
 
33 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
т.е.  управляющие  параметры  игроков  почти  в  каждый  момент  времени  должны  находитя  в 
заранее  заданном  непустом  множестве.      Стремление  к  большей  адекватности  математических 
моделей  практическим  задачам  обусловило  необходимость  изучения  дифференциальных  игр  с 
интегральными  ограничениями  (например,  в  [9-12]  и    др.)  т.е.  интеграл    функции,  которая 
зависить  от  реализовавшейся  траектории  управления  не  превысит  заранее  заданной  величины, 
называемой  резервом  управления.  В  настоящей  работе    рассматривается  задача  группового 
преследования  при  простом  движении  игроков  для  случая 
l
– 
пoимки,  когда  на  функции 
управления  налагаются только интегральные ограничения.  При этом исследуется два эффекта, 
связанные с числом преследователей: 1) время поимки группы преследователей меньше времени 
поимки  отдельного  преследователя;  2)  группа  преследователей  завершает  преследования    за 
конечное время, в то время как каждый из них, действуя в одиночку, не в состоянии завершить 
игру.    Для  первого  случая  игру  можно  назвать  "Львы  против  буйвола"  ,    а    второго    "Гиены 
против  буйвола".  Поскольку,  в  первом  случае  каждый  из  "львов"  может  поймать  "буйвола", 
однако, их стая  быстрее достигает к цели. Во втором случае,  каждый из "гиен" не в состоянии 
поймать "буйвола",  а стая "гиен" поочередно  преследуя  сначала  обессиливают  его,  а затем 
достигают цели. Отметим, что задачи группового преследования при простом движении игроков 
для случая геометрических ограничений были изучены в работах [2, 5-7, 13] и в др. 
1. Постановка задачи.  Пусть точки 
,
1,
i
x
i
m
∈
 
и 
y
 
перемещаются в пространстве 
n

 
со
скоростями 
,
1,
i
u
i
m
∈
  
и 
v
 
соответственно. Их движения описываются уравнениями
,
1, ,
,
i
i
x
u
i
m
y
v
=
∈
=


(1) 
где 
,
1,
i
u
i
m
∈
 
и 
v
 
выбираются в виде функций 
( )
( )
,
1, ,
i
u
i
m
v
⋅
∈
⋅
 
из пространства
[
)
2
0,
L
∞
 
и удовлетворяют ограничениям
( )
2
0
|
|
,
0,
1, ,
i
i
i
u
d
i
m
∞
≤
>
∈
∫
τ
τ ρ ρ
 
(2) 
( )
2
0
|
|
,
0.
v
d
∞
≤
≥
∫
τ
τ σ
σ
 
(3) 
Такие управления назовем  допустимыми в игре (1). 
Точки 
,
1,
i
x
i
m
∈
 
преследуют  точку 
y
.  Процесс  преследование  считается  завершенным,
если  в  некоторый  конечный  момент  времени  хотя  бы  для  одного 
1,
i
m
∈
 
выполнено
неравенство 
|
|
,
0
i
i
i
x
y
l
l
− ≤
≥
.  Пусть 
0
,
1,
i
x
i
m
∈
 
и 
0
y
- 
местоположения  точек
,
1,
i
x
i
m
∈
 
и 
y
 
в  начальный  момент  времени 
0
t
=
.  Считается,  что 
0
0
|
|
i
i
x
y
l
−
>
,  при
всех 
1,
i
m
∈
.
Для удобства исследования вводятся переменные 
i
i
z
x
y
= −
. Тогда уравнения (1)  принимают
вид 
( )
0
,
0
,
1, ,
i
i
i
i
z
u
v
z
z
i
m
= −
=
∈

(4) 
где 
0
0
0
0
, |
|
i
i
i
i
z
x
y
z
l
=
−
>
,  а  терминальные  множества
i
М
 
представляются  в  виде
{
}
:|
|
,
0,
1,
n
i
i
i
i
i
М
z R z
l
l
i
m
=
∈
≤
≥
∈
.
Для  конструирования  стратегии  преследователям  разрешается  использовать  в  каждый  момент 
времени только текущее значение управления 
( )
v t
 
и постоянные
0
,
,
i
i
z
ρ σ
 
и 
i
l
.
 
34 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
    
Предположение . Для игры (1)-(4) справедливо  неравенство 
1
2
...
m
+
+ +
>
ρ ρ
ρ
σ
.
     (5)    
  
При выполнении  неравенства  (5) рассматриваются в отдельности   два случая: 
1)
i
>
ρ σ
 
для некоторых  
1,
i
m
∈
;
2)
i
≤
ρ σ
           
при всех 
1,
i
m
∈
.
2. Определение  разрешающей  функции.  Пусть 
i
>
ρ σ
 
для  некоторых 
1.
i
m
∈
.  Тогда
определим функцию 
( )
(
)
( )
{
}
0
0
,
max
0 :
,
,
i
i
i
i
i
v z
М z
U
v
=
≥
−
∩
≠ ∅
λ
λ
λ
λ
где 
( )
(
)
1/2
2
,
| |
,
i
i
i
U
v
v
S
v
=
+
−
=
−
λ
λδ
δ ρ σ
, 
S
  – 
шар радиуса 1 с центром в нуле
пространства 
n

.  Найдем  те 
0
≥
λ
 
для  которых  выполнено  соотношение
(
)
( )
∅
≠
∩
−
v
U
z
S
l
i
i
i
,
0
λ
λ
, что    эквивалентно неравенству (см.[8]) 
(
)
( )
(
)
0
,
,
,
0,
i
i
i
F l S
z
F U
v
−
−
+
≥
λ
ψ
λ
ψ
для всех 
n

∈
ψ
, при 
|
| 1
=
ψ
, где  
(
)
,
F U
ψ
 – 
опорная функция множества  
U
(c
м. [8]).
Отсюда 
(
)
(
)
(
)
(
)
1/2
0
2
,
|
|
| |
|
|
,
0,
i
i
i
z
l
v
v
+
+
+
−
≥
λ ψ
ψ
λδ
ψ
ψ
или 
(
) (
)
1/2
2
0
| |
,
i
i
i
l
v
v
z
λ
λδ
ψ
λ
+
+
≥
−
.
Однако, 


0
0
| | 1
max
,
|
|
i
i
v
z
v
z
j
y
l
l


 
. Тогда получаем 
(
)
1/2
2
0
| |
|
|
i
i
i
l
v
v
z
λ
λδ
λ
+
+
≥ −
. 
Выполнив элементарные вкладки, находим, что
 




 


2
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
,
2
2
,
4
| | ,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
h
v z
l
v z
l
v
l l
l
d
d
d













 
где 
0 2
0
i
|
|
0
i
i
h
z
l

 
.  Отсюда получаем, что 
 


0
0
max 0,
,
i
i
v z
l
l

 
,  где       
( )
( )
(
)
(
)
0
0
2
0
2
,
2
,
2
|
| 2
/
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
v z
h
v z
l
z
vh
l
h
λ
δ
δ
δ
∗
=
+
+
+
+
. 
Таким образом, в этой задаче разрешающую функцию 
 
0
,
i
i
v z
l
определяем в виде
( )
( )
{
}
0
0
,
max 0,
,
i
i
i
i
v z
v z
λ
λ
∗
=
. 
Нетрудно проверить, что 
( )
( )
( )
0
0
0
0,
2
,
2 | | 0,
,
0,
2
,
2 | | 0.
i
i
i
i
i
i
i
i
если
v z
l v
v z
если
v z
l v
δ
λ
δ
>
+
+
>

= 
+
+
≤

3. Игра "Львы против буйвола".      Пуст 
i
r
s

 
для
1
1, ,
i
i
k
r
s


 
для
1
2
1,
i
k
k
∈ +
,
и 
i
r
s

 
для
2
1,
i
k
m
 
.  Тогда с помощью  разрешающей функции 
 
0
,
i
i
v z
l
,
 
35 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
определенной в п. 2, находим стратегию для каждого преследователя с индексами 
2
1,
i
k

 
вида
 
   


0
0
0
0
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
u v z
v
v z
m v z
z
l
 

(6) 
где 
 
 
 
0
0
0
0
0
,
,
|
,
|
i
i
i
i
i
i
i
i
i
v
v z
z
m v z
l
v
v z
z
l
l

 

.   Для  
2
1,
i
k
m
 
  
положим
0
i
l 
.
Из вида стратегии (6)  легко вычислить, что 
( )
( )
0
2
2
0
|
,
|
| |
,
i
i
i
i
i
u v z
v
v z
δ λ
=
+
 .
(7) 
Далее, рассматривается уравнение 
 


 


2
0
1,
0
,
1
max
,
0
t
i
i
i
k
t v
v
z
d
L
l
t
t

  


(8) 
относительно 
t
, 
0
t

. Обозначим через  
 


0
,
T
T z v


 – 
первый положительный корень
этого  уравнения,  где 
 
v

– 
произвольное  допустимое  управление  убегающего  и


0
0
0
0
1
2
,
,...,
m
z
z z
z

 
начальное  состояние  игры.  Существование  и  ограниченность  такого
корня доказывается при установлении справедливости следующей теоремы.