O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti
Chiziqli operatorlar ustidagi amallar
Download 403.93 Kb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika-1
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mustaqil yechish uchun misollar
- 5. Xalqaro savdo modeli. 6. Rejalashtirish modeli.
- Kvadratik formalar Mavzuning tayanch iboralari
- Takrorlash uchun savollar
- 5. Ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik ko‘rinishga keltirish. 6. Fazoda silindrik va siferik koordinatlar sistemalari hamda
- Ikkinchi tartibli sirtlar
- Ikki pallali giperboloid.
- Mustaqil ish uchun topshiriqlar
3.Chiziqli operatorlar ustidagi amallar. Ikkita chiziqli operator BX Z AX Y = = ;
matritsa ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Chiziqli operatorlar yig‘indisi 41
DX X B A Z Y = + = + ) (
bo‘ladi. ; AX Y =
chiziqli operator matritsa ko‘rinishda berilgan va l istalgan son bo‘lsin. Bu operator l songa ko‘paytmasi
= = ) ( l bo‘ladi. Endi ikkita ketma-ket chiziqli operatorlar
= = ;
ni qaraymiz. Birinchi operatorni ikkinchisiga qo‘yib CX X BA AX B Z = = = ) ( ) (
operatorlar ko‘paytmasi C ni hosil qilamiz. Bunga AX Y = akslantirishning BУ Z =
akslantirishga ko‘paytmasi deyiladi. Chiziqli akslantirish AX Y = matritsa ko‘rinishda berilgan bo‘lib, A det
¹0 bo‘lsin. Akslantirishni teskari matritsaga ko‘paytrib Y A X 1 - =
akslantirishni hosil qilamiz. Y A X 1 - = akslantirish AX Y = akslantirishga teskari akslantirish deyiladi. fazoda biror aniq bazis tanlangan bo‘lsa (1) ni matritsa ko‘rinishda X AX l = (2) deb yozish mumkin. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi istalgan no‘l bo‘lmagan uctun matritsa
matritsaning l xususiy qiymatga mos xususiy vektori deyiladi. l
X l = ( E birlik matritsa) bo‘lganligi uchun (2) ni quyidagicha yozish mumkin. 0 ) ( = - X E A l
koordinatlar bilan ifodalasak ï ï î ï ï í ì = - + + + = + + - + = + + + - 0 ) ( ... , ...
... ...
... ....
, 0 ... ) ( , 0 ...
) ( 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a l l l (3) 42
bo‘ladi. Xususiy vektorlarni topish uchun (3) sistemaning no‘ldan farqli yechimini topish kerak bo‘ladi. Bu faqatgina
½
A l - ½=0 (39) bo‘lgandagina bo‘ladi. (3) tenglamalar sistemasiga A matritsaning harakteristik tenglamasi deyiladi va uning ildizlari
matritsaning xususiy qiymatlari bo‘ladi. Akslantirish matritsasining harakteristik tenglamasi bazisning tanlanishiga bog‘liq emas. Ixtiyoriy
va
y vektorlar uchun ) ,
) , ( Ax y Ay x = tenglik bajarilsa A
akslantirishga simmetrik operator akslantirish deyiladi. A akslantirish simmetrik bo‘lishi uchun, akslantirish matritsasi ortonormal bazisda simmetrik bo‘lishi zarur va yetarlidir, ya’ni ). ( ) (
ij a a =
Simmetrik matritsa quyidagi xossalarga ega: 1) haqiqiy simmetrik matritsaning hamma xususiy qiymatlari haqiqiydir; 2) haqiqiy simmetrik A matritsaning har xil xususiy qiymatlariga mos xususiy vektorlar o‘zaro ortogonaldir. 1-misol. Biror bazisda ÷÷ ø
çç è æ 4 3 2 3
matritsa bilan berilgan chiziqli A akslantirishning xususiy qiymatlarini va xususiy vektorlarini toping. Yechish. Harakteristik tenglamani tuzamiz: 0 4
2 3 = - - l l
yoki 0 6 7 2 = + - l l va 6 , 1 2 1 = = l l bo‘ladi
Bu holda (38) sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ( ) ( ) î í ì = - + = + - 0 4 3 , 0 2 3 2 2 1
x x l l 43
Bu sistemaga 1 1 = = l l qiymatni qo‘yib î í
= + = + 0 3 3 , 0 2 2 2 1 2 1 x x x x
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemaning yechimlaridan bittasi 1 ,
2 1 - = =
x bo‘lib, 1 1
l
xususiy qiymatiga mos kelgan xususiy vektor (1, -1) bo‘ladi. Xuddi shunday, 6 2 = = l l ga mos kelgan xususiy vektor (2,3) ekanligini aniqlaymiz.
1. Agar funksiyalarni qo‘shishni va ularni haqiqiy songa ko‘paytirishni funksiyalar nazariyasida qabul qilingan ma’noda, ya’ni erkli o‘zgaruvchining har bir qiymatiga mos kelgan qiymatlarini qo‘shish yoki songa ko‘paytirish kabi tushunilsa, haqiqiy o‘zgaruvchining mumkin bo‘lgan barcha haqiqiy funksiyalari to‘plami ham chiziqli fazoga misol bo‘ladi. (I-VIII) aksiomalarni birma bir tekshirib ko‘ring. 2. [0,1] kesmada berilgan haqiqiy funksiyalar to‘plami funksiyalarni qo‘shish va ularni haqiqiy songa ko‘paytirishga nisbatan chiziqli haqiqiy fazoni tashkil qiladi. 3. Haqiqiy sonlar to‘plamining chiziqli fazoni tashkil qilishini ko‘rsating. 4. Musbat butun sonlar to‘plami chiziqli fazoni tashkil qiladimi? Aksiomalarning bajarilishini tekshirib ko‘ring. 5. Yevklid fazosida a (1,1; ;1; 1) va b (3;-5;1,1) vektorlar orasidagi burchakni toping. 6.Uchlari A (5,4,4,4,2), B (5,2,8,4,6), C (4,5,9,7,2) nyqtalarda bo‘lgan uchburchak tomonlarining uzunliklarini va uchburchakning ichki burchaklarini toping. 7.
chiziqli akslantirish biror bazisda quyidagi matritsalar bilan berilgan, ularning xususiy qiymatlarini va ularga mos xususiy vektorlarini toping. )
÷÷
ö çç è æ 8 4 3 7 ; ) b ÷÷ ø ö çç è æ 3 2 1 2 ; ) c
÷÷ ø ö çç è æ - 5 6 6 3 . 44
8. Uch o‘lchovli fazoda A chiziqli akslantirish biror bazisda quyidagi matritsalar bilan berilgan bo‘lsa uning xususiy qiymatlarini va ularga mos xususiy vektorlarini toping.
÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - - 1 5 4 1 2 1 2 5 1 ) a ;
÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - 1 0 1 3 3 5 2 1 2 ) b
Tavsiya etilgan adabiyotlar: 2. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b. 3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI. 2001. -268b. 4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.
Tavsiya etilgan adabiyotlar: 1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b. 3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI. 2001. -268b. 4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.
Kvadratik forma, kvadratik forma matritsasi va diterminanti, kvadratik forma rangi, kanonik ko‘rinishdagi kvadratik forma.
45
1.
Kvadratik formalar haqida tushunchalar. 1-ta’rif. n x x x , , , 2 1 K haqiqiy o‘zgaruvchilardan tuzilgan bir jinsli (ozod va birinchi darajali hadlar qatnashmagan) ikkinchi darajali ko‘p hadga kvadratik forma deyiladi. ( )
x x x f , , , 2 1 K
2- n x x x , , , 2 1 K o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik formani bilan belgilasa l
( ) ( )
n x x x f A x x x f , , , , , , 2 1 2 2 1 K K = l l l
tenglik bajariladi. Ikki 2 1 , X X o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik forma
( ) 2 2 22 2 1 12 2 1 11 2 1 2 , x a x x a x a x x f + + = (1) bo‘ladi. 3 2 1 , , X X X o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik forma esa,
(
3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 3 2 1 2 2 2 , ,
x a x x a x x a x a x a x a x x x f + + + + + =
(2)
bo‘ladi. Umumiy holda, ya’ni n ta o‘zgaruvchi uchun
( ) k i ik n x x a x x x f SS , , , 2 1 K
(3)
bo‘lib, bunda .
ik a a =
Kvadratik forma ik a conli koeffitsiyentlar orqali to‘la aniqlanadi. Buni uch o‘zgaruvchili kvadratik forma uchun ko‘rsatamiz. Matritsalar hisobidan foydalanib ushbu tenglikni yozamiz:
) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 33 2 23 1 13 3 3 23 2 22 1 12 2 3 13 2 12 1 11 1 2 3 33 3 2 23 3 1 13 3 1 13 3 2 23 2 2 22 2 1 12 3 1 13 2 1 12 2 1 11 3 2 1 , , x x x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f = + + + + + + + + = + + + + + + + + + =
3 2 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11
x x a a a a a a a a a
(4)
46
(Oxirgi matritsalar ustida amallarni bajarib ko‘rishni o‘quvchiga havola etamiz).
2 1
X X X = ustun matritsani, ( ) 3 2 1
X X X T =
satr matritsani, ÷ ÷
ø ö ç ç ç è æ = 33 23 13 23 22 12 13 12 11
a a a a a a a a A
belgilashlarni kiritsak (4) tenglik
( ) AX X X X X f T = , , , 3 2 1
ko‘rinishda bo‘ladi. A simmetrik matritsaga ( )
2 1 , , X X X f kvadratik formaning matritsasi deb ataladi. A
matritsaning determinantiga esa shu kvadratik formaning determinanti deyiladi. A
matritsaning rangiga kvadratik formaning rangi deb ataladi. 2. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish. 2-ta’rif. Kvadratik formada o‘zgaruvchilarning faqat kvadratlari qatnashsa unga kanonik ko‘rinishda deyiladi. (3) kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish deganda, shunday yangi n y y y K , , 2 1 bazisni (yangi koordinatlar sistemasini) topish tushuniladiki y orqali
(3) kvadratik forma ushbu
( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 , , , n n n y y y X X X f l l l K K + + =
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi. Ravshanki (5) kvadratik formaning 1 A matritsasi diagonal matritsadir . Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirshni ushbu misolda qaraymiz. 1-misol. ( ) 23 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 4 4 2 3 , , X X X X X X X X X f + + + + = kvadratik forma matritsasini toping va uni kanonik ko‘rinishga keltiring. Yechish. 2 , , 2 , 1 , 2 , 3 23 13 12 33 22 11 = = = = = =
o a a a a a bo‘lganligi uchun, ushbu simmetrik matritsani hosil qilamiz:
÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 021
222 320
A
Bu berilgan kvadratik formaning matritsasidir. 47
Endi ushbu harakteristik tenglamani tuzamiz: 0 021 2 22 20 3 = - - - l l l
5) Bundan ( )( )( ) (
) ( )( )( ) (
) ( ) ( ) 0 5 4 - 2 ; 0 2 8 1 2 3 0 3 4 1 2 3 2 = - - = - - - - - = - - - - - l l l l l l l l l l l
bo‘lib 5 , 1 , 2 3 2 1 = - = = l l l kelib chiqadi. Shunday qilib, berilgan kvadratik forma
2 3 2 2 2 1 5 2 y y y f + - =
kanonik ko‘rinishda bo‘ladi. Endi kvadratik forma, bunday ko‘rinishga ega bo‘ladigan bazisni aniqlaymiz. Buning uchun matritsasi
÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 021
222 320
A
bo‘lgan chiziqli simmetrik almashtirish xususiy vektorlarini topish zarur. Bu xususiy vektorlarni topish uchun ushbu tenglamalar sistemasini tuzamiz:
(
( ) ( ) 0 1 2 0 2 2 2 0 2 3 3 2 3 2 1 2 1 = - + = + - + = + - X X X X X X X l l l
Bu tenglamalar sistemasiga 2 1 = = l l xususiy qiymatni qo‘yib 0 2
2 2 0 2 3 2 3 1 2 1 = + = + = + X X X X X X
sistemani hosil qilamiz, ma’lumki hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimlarga ega. k X 2 1 = bo‘lsin, y holda
. 2 , 3 2
X k X - = - = Demak 2 1 = l xususiy
qiymatga mos xususiy vektor
( ) 3 2 2 , 2
e k u e - - =
bo‘ladi. Xuddi yuqoridagidek 1 2 - = = l l va 5 3 = = l l xususiy qiymatlarga mos xususiy vektorlar topiladi (ularni topishni o‘quvchiga havola etamiz), javob, ( )
) . 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 e e e k v e e e k v + + = + - =
48
( ) ( )
3 1 2 1 2 1 2 2 2 = - + + =
deb olib, ushbu normallashgan
xususiy vektorlarni hosil qilamiz:
( ) ( ) ( ) , 2 2 3 1 , 2 2 3 1 , 2 , 2 3 1 3 2 1 1 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3
e e e e e e e e e е е + + = + - = - - =
Yangi bazisga o‘tish matritsasi ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - = 3 / 1 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 1 3 / 2 3 / 1 3 / 2
bo‘ladi. Koordinatlarni almashtirish formulalari
3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 , 3 2 3 1 3 2 y y y X y y y X y y y X + + - = + - - = + + =
bo‘ladi. Kvadratik formalar apparati matematikaning bir qancha tadqiqotlarida hamda chiziqli bo‘lmagan programmalashtirish, ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlarni tekshirishda va boshqa ko‘p sohalarda qator tatbiqlarga ega.
1. Kvadratik formani ta’riflang? 2. Hamma ikkinchi darajali ko‘p had kvadratik forma bo‘la oladimi? 3. Ikki o‘zgaruvchili kvadratik forma qanday ko‘rinishda? 4. Uch o‘zgaruvchili kvadratik formani yozib ko‘rsating? 5. n o‘zgaruvchili kvadratik forma qanday yoziladi? 6. Kvadratik forma matritsasi nima va u qanday topiladi? 7. Uch o‘zgaruvchili kvadratik formani matritsalar yordamida yozish mumkinmi va qanday? 8. Kvadratik forma determinanti nima? 49
9. Kvadratik formaning rangi qanday aniqlanadi? 10. Kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi qanday bo‘ladi? 11. Diagonal matritsani bilasizmi? 12. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish uchun nima qilinadi? 13. Yangi bazisga o‘tish matritsasi qanday bo‘ladi? 14. Koordinatlar almashtirish formulasi qanday? 15. Kvadratik forma apparatidan qaysi sohalarda foydalanish mumkin?
1.
( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 8 12 17 ,
X X X X X f + + =
ikki o‘zgaruvchi kvadratik formasining matritsasini tuzing. 2. Uch o‘zgaruvchi kvadratik formasi 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 10 2 8 3 X X X X X X X X X f + - + - + - = ning matritsasini toping . 3.
( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 5 4 2 ,
X X X X X f + - = kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltiring. 4 . 1) ( ) ; 4 6 6 3 3 , , 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 X X X X X X X X X X X X f + + - - + =
2) ( ) ; 8 4 4 2 5 , , 3 2 3 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 X X X X X X X X X X X f - + + + = kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga keltiring.
Tavsiya etilgan adabiyotlar: 2. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b.
50
Tavsiya etilgan adabiyotlar: 1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik. 1-jild.-T.: O‘qituvchi. 1992. -496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b. 3. 1. Begmatov A. Oliy matematika. O‘quv qo‘llanma. Samarqand: SamKI. 2003- 250 b.
4. Shneyder V.Ye. va boshqa. Oliy matematika qisqa kursi. 1 tom. (o‘zbekchaga tarjima). T: O‘qituvchi 1985. -407 b. 5. Jo‘rayev T. va boshq. Oliy matematika asoslari. 1 tom. T.: O‘zbekiston. 1995. - 275 b.
Ikkinchi tartibli sirtlar Ma’lumki, sirt uchta o‘zgaruvchi х ,
va
larni bog‘laydigshan tenglama bilan aniqlanadi.
,
va
larga nisbatan ikkinchi darajali algebraik tenglama bilan aniqlanadigan sirt ikkinchi tartibli sirt deb ataladi. Bunday sirtning umumiy tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: d сz bу aх Fуz Ехz Dху Сz Ву Ах 0 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + (1) bunda F E D C B A , , , , , koeffitsiyentlardan hech bo‘lmaganda bittasi 0 dan farqli. (1) tenglama koeffitsiyentlarining qiymatlariga qarab, har xil sirtlarni ifodalaydi. Buning ayrim xususiy hollarini qaraymiz.
bo‘ylab va berilgan yo‘nalishga parallel harakatidan hosil bo‘lgan sirt silindrik sirt deb ataladi. Harakatlanuvchi to‘g‘ri chiziq yasovchi, berilgan chiziq esa yunaltiruvchi deb ataladi. Yasovchi OZ o‘qqa parallel, yunaltiruvchi chiziq esa
tekislikda yotadigan va F ( )
0 , = у х tenglama bilan aniqlanadigan holni qaraylik(1-chizma):
x z y ) . , (
y x M
) ,
( o y x N
1- rrrrrч x z y o R 2- чизма 51
( ) î í ì = = 0 , 0 , z y x F
tenglamalar sistemasi yasovchilari OZ o‘qiga parallel silindrik sirt tenglamasidir. Shunga o‘xshash
( ) î í ì = = 0 , 0 , x z y F
tenglamalar sistemalari yasovchilari mos ravishda OY ,
o‘qlariga parallel bo‘lgan silindirik sirt tenglamalaridir. 1-misol. î í ì = = + 0 , 2 2 2 x R z у
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadigan sirt, silindrik sirt bo‘lib, u doiraviy silindr deb ataladi. Uning yasovchisi OX o‘qqa parallel, yo‘naltiruvchisi esa YOZ
tekisligida radiusi R va markazi koordinatalar boshida bo‘lgan 2 2
R z у = + aylanadir(2-chizma). ïî ï
ì = = + 0 , 1 2 2 2 2
b y a x
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadigan silindrik sirt elliptik silindr deyiladi(3- chizma). . Xuddi shunga o‘xshash, ïî ï í ì = = - 0 , 1 2 2 2 2 y b z a x
va î í ì = = 0 , 2 2 y pz x
tenglamalar sistemalari giperbolik, parabolik silindrlar ham aniqlanadi. Ikkinchi tartibli sirtlarning ko‘rinishini, uning holatini parallel kesimlar usuli orqali o‘rganiladi. Bu usulning mohiyati, sirt koordinata
tekisliklari yoki unga parallel bir necha tekisliklar bilan kesiladi. Sirtning ko‘rinishi va holati shu olingan kesimlar turi bo‘yicha ifodalanadi. ( )
î í ì = = 0 , 0 , y z x F 52
2. Ellipsoid. Kanonik tenglamasi 1 2 2 2 2 2 2 = + +
z b y a x (2) ko‘rinishda bo‘lgan ikkinchi tartibli sirt ellipsoid deyiladi. (2) tenglama o‘zgaruvchi koordinatalarning faqat kvadratlarini o‘z ichiga oladi, shuning uchun ellipsoid koordinatlar boshi va koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrikdir. Bu ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesimini qaraymiz. 0 =
ya’ni XOY koordinat tekisligi bilan kesganda, kesimda, yarim o‘qlari b a, bo‘lgan 1 2
2 = + b y a x
ellips hosil bo‘ladi. Xuddi shunday 0 , 0 = = у x koordinata tekisliklari bilan kesganda, mos ravishda kesimda 1 2 2 2 2 = +
z b у ,
1 2 2 2 2 = + c z a x
ellipslar hosil bo‘ladi. Shunday qilib, qaralgan kesimlar ellipsoidni yopiq sirt sifatida ifodalash imkonini beradi. c b a , , lar ellipsoidning yarim o‘qlari deyiladi(4-chizma).
3. Bir pallali giperboloid. Kanonik tenglamasi x x x y
3-chizma
4-chizma 5-chizma
53
1 2 2 2 2 2 2 º - + c z b y a x
bo‘lgan sirt bir pallali giperboloid deb ataladi. Giperboloidni 0 =
koordinat tekisligi bilan kesganda kesimda 1 2
2 2 = + b y a x
ellips hosil bo‘ladi. 0 , 0 = = у x koordinat tekisliklari bilan kesganda, kesimda mos ravishda 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = - = - c z a x c z b у
giperbolalar hosil bo‘ladi. Bu giperboloidning (5-chizma) ko‘rinishdaligini ifodalaydi.
4. Ikki pallali giperboloid. Kanonik tenglamasi 1 2 2 2 2 2 2 - = - +
z b y a x (2) bo‘lgan ikkinchi tartibli sirt ikki pallali giperboloid deyiladi. Koordinata tekisliklari bilan kesganda hosil bo‘lgan kesimlar giperboloidning ikkita alohida palladan iborat ekanligini tasvirlaydi(6-chizma).
2 2 2 = + (3) bo‘lgan sirtga elliptik paraboloid deyiladi, bunda q р, lar bir xil ishorali sonlar. Koordinatlar va ularga parallel tekisliklar bilan kesganda, kesimda hosil bo‘lgan shakllar elliptik paraboloidning cheksiz qavariq idish sifatida tasavvur qilishga imkon beradi(7-chizma).
54
6. Giperbolik paraboloid. Kanonik tenglamasi z q y p x 2 2 2 = - (4) sirtga giperbolik paraboloid deb ataladi, bunda q р, lar bir xil ishorali sonlar. 0 =
tekislik bilan kesganda pz x 2 2 = uchi koordinata boshida bo‘lgan parabola, 0 = x tekislik bilan kesgnada uchi pastga, qaragan parabola, h z =
XOY
tekislikka parallel tekislik bilan kesganda h q y p x 2 2 2 = - giperbola hosil bo‘ladi. Shunday qilib, ko‘rib chiqilgan kesimlar giperbolik paraboloidni egarsimon sirt sifatida ifodalashga imkon beradi(8-chizma) . Ikkinchi tartibli sirtlarga bir necha misollar qaraymiz: 2-misol. 0 54
8 2 3 2 2 2 2 = - + + + - +
y x z y x
tenglama qanday sirtni ifodalaydi. Yechish. z y x , , o‘zgaruvchilar bo‘yicha to‘la kvadratlar ajratamiz: ( ) (
) ( ) 0 36 9 6 3 4 4 2 1 2 2 2 2 = - + - - + + + + + z z y y x x
yoki ( ) ( ) ( ) z у х 36 3 3 2 2 1 2 2 2 = - - + + +
oxirgi tenglamadan x x x y
6-chizma
7-chizma 8-chizma
55
( ) (
) ( ) 1 12 3 18 2 36 1 2 2 2 = - - + + + z у х
Oxirgi tenglamani (2) tenglama bilan taqqoslab uning simmetriya markazi (-1, -2, 3) nuqtada bo‘lgan bir pallali giperboloiddan iborat ekanligini ko‘ramiz.
1. Parallel kesimlar usulidan foydalanib qo‘yidagi sirtlarning ko‘rinishini va koordinat sistemasiga nisbatan holatini tekshiring: 1)
( ) ; 0 16 2 4 4 2 2 2 = - - + - z у х 2)
0 24 12 3 4 2 2 = + - +
z х ;
3) ( ) ( ) 18 1 3 2 2 2 2 2 = - + - + z у х ; 4)
4 4 2 2 = - - z y x . 2. To‘la kvadratlar ajratib, koordinatlarni almashtirib quyidagi sirtlar tenglamasini soddalashtiring: 1) ; 0 20 6 8 4 2 2 2 = + - + - + + z y x z y x
2) ; 0 32 16 4 8 8 4 2 2 = - + - + - +
y x z y x
3) : 0 367 216 16 18 36 4 9 2 2 2 = - - - - - - z y x z y x
4) ; 0 13 4 6 12 2 3 2 2 2 = - + - - + + z y x z у х
5) ; 0 1 6 2 4 3 2 2 2 = + + + + - z y x z х
6) ; 0 30 18 12 12 3 2 2 2 = + - - + + z y x y x
7) 0 45 18 16 2 9 4 2 2 2 = + - - - - +
y x z y x
3. 1 1 2 2 2 1 - - = + = + z у х to‘g‘ri chiziq 1 2
4 2 2 2 = + + z y x
Document Outline
Download 403.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling