Proyeksiyalash usullari Mundarija: Kirish

Proyeksiyalash usullari

Muhim geometrik tushunchalardan biri – shakllarni tasvirlashdir. Geometrik tasvirlash bu biror  shaklning nuqtalari bilan ikkinchi  shaklning nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o‘rnatishdir.

Chizma geometriyada uch o‘lchamli R₃ fazoning (tekislikning) har bir nuqtasini ikki o‘lchamli R₂ fazoning (tekislikning) har bir nuqtasiga aniq grafik qoidalar asosida mos keltirib, bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. Shuning uchun chizma geometriyani fazoni tekislikda aks ettiruvchi grafik tasvirlash geometriyasi deb yuritish mumkin.
Geometrik fazoni nuqtalar to‘plami deb qaralib, ularni proyeksiyalash yo‘li bilan tekislikda aks ettiriladi. Masalan, fazoda biror S nuqta tanlab, shu nuqtani fazoning hamma nuqtalari bilan birlashtiriladi. Unda markazi S nuqtada bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar dastasi hosil bo‘ladi. Shu fazoda biror P tekislikni kiritamiz. Unda S markazli chiziqlar dastasi bilan P tekislik kesishib, nuqtalar to‘plamini hosil qiladi. Tekislikdagi bu nuqtalarni fazodagi nuqtalarning tasviri (proyeksiyasi) deb yuritiladi. Bunda fazodagi nuqtalari bilan P tekislik nuqtalar orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. Agar S markazli chiziqlar dastasi fazosiga biror sirt kiritilsa, u holda bu sirtda fazodagi nuqtalarning tasviri hosil bo‘ladi va fazo nuqtalari bilan sirt nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
Chizma geometriyada fazodagi shakllar markaziy yoki parallel proyeksiyalash usullari bilan biror tekislikda tasvirlanadi. Bu tekislikni proyeksiyalar tekisligi deb yuritiladi. Shakllarning proyeksiyalar tekisligidagi tasvirini yasash esa ma’lum qonun va qoidalarga asoslanib bajariladi.


2. Markaziy proyeksiyalash.
Bu usulda proyeksiyalash markazi deb ataluvchi biror nuqta olinadi. Barcha proyeksiyalash nurlari shu nuqta orqali o’tadi. Masalan, fazodagi A nuqtaning markaziy proyeksiyasini hosil qilish uchun fazoda biror  tekislik, tekislikdan tashqaridagi A nuqta va proyeksiyalash S markazi tanlab olinadi. A va S nuqtalarni to’g’ri chiziq orqali birlashtirib  tekislik bilan kesishguncha davom ettiriladi. Ularning kesishgan nuqtasi A₁ izlanayotgan nuqta bo’ladi, ya’ni (S)=A₁ (1-shakl).
Bu yerda SA₁ – proyeksiyalovchi nur, S – proyeksiyalash markazi,  - proyeksiyalar tekisligi, A – fazodagi nuqta, A₁ – A nuqtaning  tekisligidagi markaziy proyeksiyasi.
SA nurda yotuvchi har qanday nurlarning markaziy proyeksiyalari A₁ bilan ustma-ust tushadi. Agar biror M nuqta orqali o’tuvchi SM proyeksiyalash nur  tekislikka parallel bo’lsa, bu nur tekislik bilan cheksizlikda kesishadi. Shuning uchun M nuqtaning  tekislikdagi proyeksiyasi M₁ ham cheksizlikda bo’ladi (2-shakl).
Agar fazodagi nuqtalar bitta proyeksiyalovchi nurda yotsa, u holda bu nuqtalar bitta proyeksiyalovchi markazga va berilgan tekislikda esa bitta markaziy proyeksiyaga ega bo’ladi (2-shakl). Shuning uchun markaziy proyeksiyalarda proyeksiyalar tekisligi va markazi berilgan bo’lsa har bir nuqta o’zining shu tekislikdagi proyeksiyasini aniqlay oladi, lekin nuqtaning proyeksiyasi esa uning fazodagi vaziyatini aniqlay olmaydi. Chunki har qanday proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqda chekiz ko’p nuqtalar yotishi mumkin. s markazdan o’tuvchi proyeksiyalovchi nurlar to’plami har xil geometrik shakllarni (sirtlarni) hosil qiladi. 3-shakl, a, b dapiramida va konus sirtlarining hosil bo’lishi keltirilgan. fazodagi geometrik shakllarning (sirtlarning) tekislikdagi proyeksiyalarini hosil qilish uchun shaklning asosiy, masalan: MKN nuqtalarini s nuqta bilan birlashtirib, nur chiziqlarini  tekislik bilan kesishguncha davom ettiriladi, natijada barcha chiziqlar s nuqta orqali o’tib, chiziqlar dastasini hosil qiladi. Bu chiziqlar dastasi  tekislik bilan kesishib M₁, K₁ va N₁ markaziy proyeksiyalarini hosil qiladi. Hosil bo’lgan nuqtalarni o’zaro birlashtirib, sirtlarning  tekislikdagi geometrik markaziy proyeksiyalariga ega bo’linadi.
Faraz qilaylik, fazoda S, A, B, C nuqtalar va П₁ tekislik berilgan bo‘lsin (1-rasm). S nuqtani A, B va C nuqtalar bilan tutashtiramiz. SA, SB va SC proeksiyalovchi nurlar П₁ tekislikni mos ravishda A₁, B₁, C₁ nuqtalarda kesib o‘tadi. Bu nuqtalar A, B, S nuqtalarning markaziy proeksiyalari hisoblanadi.

1-rasm
Demak, S - nuqta proeksiyalash markazi, П₁ - proeksiyalar tekisligi va SA, SB, SC - proeksiyalovchi nurlar deyiladi.

Shakldan ko‘rinib turibdiki, markaziy proeksiyalashda shaklning geometrik xossalari saqlanib, uning o‘lchamlarigina o‘zgaradi xolos. Ya’ni fazodagi ABC uchburchakning П₁ tekislikdagi markaziy proeksiyasi A₁B₁C₁ uchburchak-dan iborat, lekin o‘lchamlari o‘ziga teng bo‘lmaydi.