Reja: Kirish. I. Bob. Funksional ketma-ketliklar

1-teorema. funksional qator da qator yiqindisi funksiyaga tekis yaqinlashishi uchun
,
ya’ni

bo’lishi zarur va etarli.

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi isbotlansin.
Berilgan funksional qatorning qismiy yig 'indisini hisoblab, so’ng yig 'indisini topamiz:


Demak,
.
Unda

bo’lib,

bo’ladi. Keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi. funksional qator da qator yiqindisi funksiyaga tekis yaqinlashishi uchun
,
ya’ni

bo’lishi zarur va etarliligiga ko’ra berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi.
Eslatma. Agar

bo’lsa, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lisht shart emas: Masalan,

funksional qatorning da yaqinlashuvchi, yiqindisi

bo’lishini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun

bo’ladi. Demak, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi emas.
Faraz qilaylik,

funksional qator to’plamda berilgan bo’lsin.
2-teorema (Koshi teoramasi). funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
da

bo’lishi zarur va etarli.


misol. fn(x) = funksional ketma-ketlikning R da tekis yaqinlashuvchanligini
ko ‘rsating.

f(x) = =0 – chekli bo ‘ladi.

Ixtiyoriy ε uchun

– 0 = ε n n0 = +1
2.3.Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi alomatlari.
a)Veyershtras alomati. to’plamda
funksional qator berilgan bo’lib,

1. 
   da ,
   
2. 
   sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda ) funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. da shartga ko’ra va uchun
   

bo’lib, shartda, ya’ni qatorning yaqinlashuvchiligidan Koshi teoremasiga binoan
da

bo’ladi. Demak,
.
funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
da

bo’lishi zarur va etarliligiga ko’ra funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
1-misol. Ushbu

funksional qator tekis yaqinlashishga tekshirilsin.
Berilgan qatorning aniqlanish to’plami bo’lib, uning umumiy hadi

bo’ladi. Ravshanki,
.
Endi uchun

bo’lishini e’tiborga olib topamiz:
.
Demak, berilgan funksional qatorning hadlari uchun

bo’ladi. Ma’lumki, qator yaqinlashuvchi. Binobarin, Veyershtrass alomatiga ko’ra berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.