Fizika-matematika fakulteti

1.3 Diofant tenglamalari haqida umumiy ma’lumot

Diofantning masalalar to`plamida bir qator bir noma` lumli 2-darajali to`liq tenglamalar uchraydi, lekin avtor ularning umumiy yechimini keltirmaydi. Shu

joyda x³ + x = 4x² + 4 tenglama mavjud (bu tenglama yechimi x = 4 keltirilgan).
Yechish usuli ko‘rsatilmagan. Tenglamalarni yechishning umumiy usullari
Diofantning yo`qolgan kitoblarida bo‘lishi mumkin, deb taxmin qilinadi.
Tenglamalarni yechishda Diofant mumkin qadar sodda holga keltirgan,
ketma-ket qo‘yilgan qadamlar tenglamani eng sodda holga yetaklab kelgan (ba`zi tenglamalarni yechishdagi ketma-ket qadamlar va yechimlarni ifoda etuvchi, orqaga qaytib, o`rniga qo‘yishlar kabi amallar bajarilgan). Diofant davrida uning ishlarini davom ettiruvchilar bo‘lmadi. VIII-IX asrlarga kelib Diofant ishlari arablarga, hindlarga ma` lum bo‘ldi. Diofant asarlari XVII asrga yetib kelgach, Ferma, Eyler, Gausslar qo`lida o`z mevasini berdi.
I.G.Bashmakova o`zining “Диофант и диофантовы уравнения” kitobi 2-
va 3-darajali aniqmas tenglamalarning ratsional sonlardagi yechilish tarixiga,
ularni yechish usullarini izlashdagi Diofant tadqiqotlariga bag` ishlangan. Diofant qo‘llagan sonli sistema va harfiy simvolika qarab chiqilgan. Tarixchi matematiklar sharxlovlaricha, Diofant musbat butun ratsional sonlar bilan shug` ullangan; u manfiy sonlarni bilmagan, deb qaraydilar. Lekin bu aslan shunday emas. Chunki uning “Arifmetika” kitobida sonlarning sohasi Q ratsional sonlar maydonigacha kengaytirilgan. Ikki argumentli bitta algebraik tenglamaning ratsional yechimlari – bu algebraik egri chiziqning ratsional nuqtalarini topish tadqiqotlari Diofant “Arifmetika”sida o`z ifodasini topgan. Aniqmas tenglamalarning butun sonlardagi yechimlarini topish muammolarini “Arifmetika”da umuman topish qiyin, lekin bu muammolar bilan keyinchalik Ferma, Eyler, Lagranj va Lejandrlar shug` ullandi. Bashmakovaning “Диофант и диофантовы уравнения” nomli kitobi sof ilmiy nazariy tadqiqotlar mahsuli bo`lib, bu ish muallifning shaxsiy ijodiy mahsulidir, uni ommaviy tarzda o`quvchilarga sharxlash qiyin. Diofantning aniqmas tenglamalaridan birinchi darajali ikki noma`lumli ax + by = c tenglamasini yechishning umumiy nazariyasi XVII asrda K.G.Bash tomonidan yaratildi. XIX asr boshlarida Ferma, Vallis, Eyler, Lagranj, Gausslar Diofantning aniqmas tenglamalaridan ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 ko`rinishdagisi bilan shug` ullandilar. Bu erda a, b, c, d, e, f lar butun sonlar bo`lib, bu tenglamaga ikki noma`lumli ikkinchi darajali umumiy bir jinsli bo`lmagan aniqma tenglama deyiladi. J.Lagranj zanjirli kasrlar yordamida umumiy bir jinsli bo‘lmagan ikki noma`lumli ikkinchi darajali aniqmas tenglamalarni tadqiq qildi. K.Gauss esa Diofant tenglamalarining ba`zi bir tiplari uchun yechimlariga asos bo`luvchi kvadratik formalarning umumiy nazariyasini qurdi. Darajasi ikkinchi darajadan yuqori bo‘lgan ikki noma` lumli diofant tenglamalarini tadqiq qilgan A.Tuye jiddiy yutuqlarga XX asrda erishdi.
B.N.Delone ax<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = 1 ko`rinishdagi tenglamalarning umumiy yechimini berdi. Fermaning xⁿ + yⁿ = zⁿ tenglamasi uchun trivial bo‘lmagan yechimlari topilgan. Ferma muammosi xⁿ + yⁿ = zⁿ ning n = 4 uchun Eyler tomonidan ijobiy yechimi topilgan. Xususan, x² + y² = z² tenglama yechimlari x = 2ab, y = b² – a², z = b² + a² formulalar bilan aniqlanadi.Aytaylik, n - ixtiyoriy natural son, a va b lar ushbu shartlar (chegirmalar) bilan aniqlangan bo‘lsin: 1 ) b > a ; 2) a va b o`zaro tub, (a, b) = 1 ; 3) b va a turlicha juftlikda.

Diofantning masalalar to`plamida bir qator bir noma` lumli 2-darajali to`liq

tenglamalar uchraydi, lekin avtor ularning umumiy yechimini keltirmaydi. Shu
joyda x³ + x = 4x² + 4 tenglama mavjud (bu tenglama yechimi x = 4 keltirilgan).
Yechish usuli ko‘rsatilmagan. Tenglamalarni yechishning umumiy usullari
Diofantning yo`qolgan kitoblarida bo`lishi mumkin, deb taxmin qilinadi.
Tenglamalarni yechishda Diofant mumkin qadar sodda holga keltirgan,
ketma-ket qo‘yilgan qadamlar tenglamani eng sodda holga yetaklab kelgan (ba`zi tenglamalarni yechishdagi ketma-ket qadamlar va yechimlarni ifoda etuvchi, orqaga qaytib, o`rniga qo‘yishlar kabi amallar bajarilgan). Diofant davrida uning ishlarini davom ettiruvchilar bo‘lmadi. VIII-IX asrlarga kelib Diofant ishlari arablarga, hindlarga ma` lum bo‘ldi. Diofant asarlari XVII asrga yetib kelgach, Ferma, Eyler, Gausslar qo‘lida o`z mevasini berdi.

I.G.Bashmakova o`zining “Диофант и диофантовы уравнения” kitobi 2-va 3-darajali aniqmas tenglamalarning ratsional sonlardagi yechilish tarixiga,

ularni yechish usullarini izlashdagi Diofant tadqiqotlariga bag`ishlangan. Diofant qo‘llagan sonli sistema va harfiy simvolika qarab chiqilgan. Tarixchi matematiklar sharxlovlaricha, Diofant musbat butun ratsional sonlar bilan shug` ullangan; u manfiy sonlarni bilmagan, deb qaraydilar. Lekin bu aslan shunday emas. Chunki uning “Arifmetika” kitobida sonlarning sohasi Q ratsional sonlar maydonigacha kengaytirilgan. Ikki argumentli bitta algebraik tenglamaning ratsional yechimlari – bu algebraik egri chiziqning ratsional nuqtalarini topish tadqiqotlari Diofant “Arifmetika”sida o‘z ifodasini topgan. Aniqmas tenglamalarning butun sonlardagi yechimlarini topish muammolarini “Arifmetika”da umuman topish qiyin, lekin bu muammolar bilan keyinchalik Ferma, Eyler, Lagranj va Lejandrlar shug` ullandi. Bashmakovaning “Диофант и диофантовы уравнения” nomli kitobi sof ilmiy nazariy tadqiqotlar mahsuli bo‘lib, bu ish muallifning shaxsiy ijodiy mahsulidir, uni ommaviy tarzda o`quvchilarga sharxlash qiyin. Diofantning aniqmas tenglamalaridan birinchi darajali ikki noma`lumli ax + by = c tenglamasini yechishning umumiy nazariyasi XVII asrda K.G.Bash tomonidan yaratildi. XIX asr boshlarida Ferma, Vallis, Eyler, Lagranj, Gausslar Diofantning aniqmas tenglamalaridan ax<sup>2</sup> + bxy + cy<sup>2</sup> + dx + ey + f = 0 ko`rinishdagisi bilan shug` ullandilar. Bu erda a, b, c, d, e, f lar butun sonlar bo`- lib, bu tenglamaga ikki noma` lumli ikkinchi darajali umumiy bir jinsli bo‘lmagan aniqmas tenglama deyiladi.

J.Lagranj zanjirli kasrlar yordamida umumiy bir jinsli bo‘lmagan ikki

noma` lumli ikkinchi darajali aniqmas tenglamalarni tadqiq qildi. K.Gauss esa
Diofant tenglamalarining ba`zi bir tiplari uchun yechimlariga asos bo‘luvchi
kvadratik formalarning umumiy nazariyasini qurdi. Darajasi ikkinchi darajadan yuqori bo‘lgan ikki noma` lumli diofant tenglamalarini tadqiq qilgan A.Tuye jiddiy yutuqlarga XX asrda erishdi. B.N.Delone ax<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = 1 ko`rinishdagi tenglamalarning umumiy yechimini berdi. Fermaning xⁿ + yⁿ = zⁿ tenglamasi uchun trivial bo‘lmagan yechimlari topilgan.

Ferma muammosi xⁿ + yⁿ = zⁿ ning n = 4 uchun Eyler tomonidan ijobiy yechimi topilgan. Xususan, x² + y² = z² tenglama yechimlari x = 2ab, y = b² – a², z = b² + a² formulalar bilan aniqlanadi.Aytaylik, n - ixtiyoriy natural son, a va b lar ushbu shartlar (chegirmalar) bilan aniqlangan bo‘lsin: 1 ) b > a ; 2) a va b o`zaro tub, (a, b) = 1 ; 3) b va a turlicha juftlikda.

II BOB.

DIOFANT TENGLAMALARI VA ULARNI O’RGATISH METODIKASI

2.1. Radikallarda yechish mumkin bo’lmagan tenglamalar

Radikallarda yechish mumkin bo’lmagan tenglamalar diafant tenglamalar deyiladi. Ular ikki turga bo’linadi:

1. Bir o’zgaruvchili yuqori darajali tenglamalar

2. Ko’p o’zgaruvchili diafant tenglamalar. Bu ham o’z navbatida ikkiga bo’linadi:

a) Ko’p o’zgaruvchili chiziqli tenglamalar

b) Ko’p o’zgaruvchili yuqori darajali tenglamalar

Diafant tenglamasining asosiy xususiyati tenglamadagi koeffitsientlarning butun sonlardan iborat ekanligidir. Shu ma’noda diafant tenglamalari butun koeffitsientli tenglamalar deyiladi.

Bir noma’lumli yuqori darajali diafant tenglamasi quyidagicha:

(1)

(1) tenglama quyidagi xosslarga ega:

1. Kompleks son to’plamida (1) tenglama ta ildizga ega.

2. Ratsional koeffitsientli tenglamani umumiy mahrajga keltirish orqali butun koeffitsientli tenglamaga keltirish mumkin.

3. (1) tenglamada noma’lumning eng yuqori darajasi toq bo’lsa, u kamida bitta haqiqiy ildizga ega.

4. (1) tenglamani belgilash orqali bosh koeffitsienti birga teng tenglamaga keltirish mumkin. Ya’ni:



(2)