Fizika va astranomiya “ kanfedrasi

Кronekker-Кapelli teoremasi.
Bizga n noma’lumli m ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin
a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=c₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=c₂ (1)
a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=c_m Sistemani asosiy va kengaytirilgan matrisalarini tuzamiz:

Teorema. (1) sistema echimga ega bo’lishligi (birgalikda bo’lish) uchun A asosiy matrisa rangini B kengaytirilgan matrisa rangiga teng bo’lishligi zarur va etarlidir. Xususan 1) r(A)=r(B)=n, ya’ni noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda (1) sistema yagona уechimga ega bo’ladi.
2) Agar r(A)=r(B), ya’ni noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, u holda (1) sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.3)Agar r (A)  r (B) bo’lsa (1) sistema yechimiga ega bo’lmaydi.
Agar (1) tenglamalar sistemasida ozod sonlar bo’lsa, bir jinsli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi va u har doim birgalikda va trivial yechimga ega bo’ladi. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun (n noma’lumlar soni) bo’lishi zarur va etarlidir.

Mavzuga doir namunaviy misollarni yechimi.
Misol- 1. Tenglamalar sistemasini matrisaviy usul bilan уeching.
 x₁-2x₂+x3
2x₁+3x₂-x₃=8
x₁-x₂+2x₃=-1
, ,
A matrisani determinantini hisoblaymiz.

demak, A maxsusmas matrisa ya’ni unga A^-1 teskari matrisa mavjud. Buning uchun algebraik to’ldiruvchilarni hisoblaymiz:
, , ,
, ,
, ,
u holda teskari matrisa

2 ga asosan.

demak, sistemaning yechimi x₁=3, x₂=0, x₃= -2.
Misol-2:Ushbu7x₁+2x₂+3x₃=13
9x₁+3x₂+4x₃=15
5x₁+x₂+3x₃=14sistemani matrisaviy usulda yechilsin.
Yechish: bu sistemani matrisaviy ko’rinishi Ax=B bo’ladi. Bu erda
, , va bo’lganligidan teskari matrisa mavjud. Algebraik to’ldiruvchilarni topamiz:
, ,
, ,
, ,
A matrisaga teskari matrisa
. Natijada sistemani echimi

Bundan tenglamalar sistemasini matrisaviy usul bilan yeching
x₁=2, x=-5, x₃=3 kelib chiqadi.
Кronekor – Кapeli teoremasiga namunaviy misolni yechimi.
Misol: Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikdami? Кronekor – Кapeli teoremasidan foydalanib yeching.

Yechish: A- asosiy matrisani rangini xisoblaymiz.
  .
Bu matrisa bo’lganligan kelib chiqadi. Кengaytirilgan B matrisani rangi
  ,
Кronekor- Кapelli teoremaga asosan bo’lganligidan berilgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda va cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi. No’malumlardan ikkitasi va ixtiyoriy tanlanadi (uchinchi tenglama birinchi ikkita tenglamani chiziqli yigindisidan iborat bo’lganligi uchun uni tashlab yubrish mumkin)

bu erda ixtiyoriy tanlanganidan xususan bo’lganida sistemani уechimi kelib chiqadi. (0; 0; 0; 1).