Fizika” yo‘nalishi 1-bosqich magistranti G‘ufronova Dilafro‘zning Nozchiziqli tebranishlar va to‘lqinlar nazariyasi fanidan

Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.
Chiziqli (damping bo'lmaganda - garmonik) osilator - tebranishlarning chiziqli nazariyasining asosiy modeli. Uning harakat tenglamasi (Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra):
qayerda X- tebranishlari model tomonidan tavsiflangan qiymat (maatnikning siljishi amplitudasi, tebranish zanjiridagi oqim yoki kuchlanish, populyatsiya hajmi va boshqalar), - uning "tezlanishi".
Chiziqli bo'lmagan osilator tebranishlarning chiziqli bo'lmagan nazariyasining asosiy modelidir. Uning harakat tenglamasi:
qayerda f(.X) kamida bitta chiziqli bo'lmagan (birinchi daraja emas) o'z ichiga olgan chiziqli bo'lmagan funktsiyadir X) a'zosi. Tizimning umumiy energiyasi vaqtga, ya'ni tizimga bog'liq emas konservativ.
Nizoxron bo'lmagan tebranishlar, masalan, tekis potentsial quduqdagi zarracha - cheksiz baland devorlarga ega quti tomonidan amalga oshiriladi:
U(x)=0 da - l/ 2<х< l/ 2; U(X)=¥ da X£ - l/ 2, X>l/ 2.
Zarracha quti ichida doimiy tezlikda harakatlanib, chegaralarda bir zumda elastik aks etadi. Uning kinetik energiya E k \u003dmv 2/2, ya'ni tezlik V= Ö (2E dan /m) energiyaga bog'liq. Zarrachaning tebranish davri formula bilan ifodalanadi



(3) formuladan ko'rinib turibdiki, tebranishlar davri energiya ortishi bilan kamayadi (boshqa tizimlar uchun u ko'payishi mumkin).
Energiyani tejash qonuni E osilator (konservativ chiziqli bo'lmagan tizim) shaklga ega
Chiziqli bo'lmagan osilator harakatining to'liq sifatli tasviri uning fazaviy portreti bilan ta'minlanadi. Energiyaning saqlanish qonunidan xulosa chiqarish mumkin
Hatto kashfiyotlarning to'liq bo'lmagan ro'yxati va fundamental ishlar Akademik Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) o'zining xilma-xilligi bilan hayratlanarli: yorug'likning yorug'lik tarqalishi va dalgalanishi, mikroskop nazariyasi, chiziqli bo'lmagan tebranishlar va radiotexnika, rezonans nazariyasi, radiogeodeziya, yangi tur elektromagnit to'lqinlar generatorlari - parametrik mashinalar. L. I. Mandelstamning ish natijalariga bo'lgan g'ayrioddiy, og'riqli emas, talabchanligi ushbu ro'yxatga boshqa, kam bo'lmagan qatorlarni kiritishga imkon bermadi. muhim kashfiyotlar, - masalan, 1912 yilda (Styuart va Tolmanning klassik tajribalaridan bir necha yil oldin) metallardagi elektronlar inertsiyasining eksperimental kashfiyoti.
Ammo Mandelstamning ilmiy faoliyatidagi barcha ta'sirchan yutuqlar va qiziqishlar kengligi ortida aniq ko'rish mumkin. asosiy mavzu- tebranishlar nazariyasi. Lord Reylining ikki jildlik "Ovoz nazariyasi" dan bu soha bilan birinchi marta tanishgan Mandelstam o'z g'oyalarining go'zalligiga singib ketdi va bir necha bor "tebranish yordami" ga murojaat qildi, bu esa turli bo'limlar natijalari o'rtasida o'xshashlikni topishga imkon berdi. fizika.
Mandelstam baxtiyorlik bilan nazariyotchi va eksperimentchi, tadqiqotchi va o'qituvchining noyob kombinatsiyasini o'zida mujassam etgan. Uning so'zlariga ko'ra, birinchi turdagi tushuncha bor, ular yozilgan hamma narsani o'qib, tushunganlarida, ular har qanday formulani olishlari mumkin, ammo o'qiganlaridan biron bir savolga mustaqil javob bera olmaydilar va ikkinchi turdagi tushunchalar mavjud. , butun rasm aniq bo'lsa, g'oyalar, hodisalarning butun aloqasi . Chuqur va nozik mutafakkir Mandelstam butun fizikaning ikkinchi turini tushunishga erishdi va o'z bilimlarini ko'plab talabalar bilan (ular orasida A. A. Andronov, A. A. Vitt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, V. V. Migulin, SM Rytov, SP) o'rtoqlashdi. Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin va boshqalar) va talabalar.
Mandelstam Mogilevda dunyoga olimlar, shifokorlar va yozuvchilarni bergan oilada tug'ilgan. Tez orada oila Odessaga ko'chib o'tdi. 12 yoshgacha bola uyda, keyin gimnaziyada o'qidi va uni oltin medal bilan tugatdi. 1897 yilda Novorossiysk universiteti (Odessa) fizika-matematika fakultetining matematika bo'limiga o'qishga kirdi. Ikki yil o'tgach, talabalar tartibsizliklari tufayli yigit universitetdan haydaldi. Ota-onasining maslahati bilan Mandelstam markazlardan biri bo'lgan Strasburgga jo'nab ketdi jismoniy tadqiqotlar u erda u o'qishni davom ettirdi. Matematik Geynrix Veber (Rimanning shogirdi va klassik kurs muallifi " Differensial tenglamalar"Matematik fizika"), fizik Ferdinand Braun (Fizika institutining yarim kunlik direktori), Nazariy fizika kafedrasini Emil Kon (mashhur "Elektromagnit maydon" asari muallifi) boshqargan.
Har qanday tebranishlardan uzoqda, tiklash kuchi og'ish bilan mutanosibdir (ya'ni, u qonunga muvofiq o'zgaradi (- kx)). Masalan, 2.74-rasmda ko'rsatilgan kamonni ko'rib chiqaylik. U bir nechta plitalardan iborat. Kichik deformatsiyalar bilan faqat uzun plitalar egiladi. Og'ir yuk ostida, qisqaroq (va qattiqroq) plitalar ham egilishga duchor bo'ladi. Endi tiklash kuchini quyidagicha ta'riflash mumkin:


batareya rejimiga o'tadi aperiodik, tebranishlar yo'qolganda va tana asta-sekin muvozanat holatiga yaqinlashganda (1-rasm). 2.72, b, c).
Nuqtalar qo'yilgan chiziq o'rniga kiriting (t, x), nuqta qo'yiladigan chiziq ( x,v) va turli ishqalanish uchun so'yilgan tebranishlarning fazali portretlarini oling. Siz tayyor dasturlardan birini ham ishlatishingiz mumkin Faspdem* yoki Phport* PAKPRO to'plamida mavjud bo'lganlardan. 2.73-rasmda ko'rsatilgan turdagi diagrammalarni olish kerak.
Uning qaytib kelishi uchun, ya'ni. F Va X har doim bor edi turli belgilar, u g'alati kuchlarda ketma-ket kengaytirilishi kerak X. Shu darajada potentsial energiya U formula bo'yicha kuch bilan bog'liq F = - dU/dx, shuni anglatadiki

ya'ni tebranishlar devorlari parabolanikiga qaraganda tikroq bo'lgan potentsial quduqda sodir bo'ladi (2.75-rasm, a). Plitalarning bir-biriga ishqalanishi tebranishlarni susaytirish uchun zarur bo'lgan dampingni ta'minlaydi.
Assimetrik quduqda tebranishlar ham mumkin, qachon

(2.75-rasm, b). Qayta tiklash kuchi teng bo'ladi