Fizika” yo‘nalishi 1-bosqich magistranti G‘ufronova Dilafro‘zning Nozchiziqli tebranishlar va to‘lqinlar nazariyasi fanidan

Adiabatik invariantlar
Nochiziqli ta'sirlar turli yo'llar bilan o'zini namoyon qilishi mumkin. Klassik misol chiziqli bo'lmagan buloq bo'lib, unda tiklash kuchi chiziqli bo'lmagan cho'zilishlarga bog'liq. Simmetrik nochiziqlik holatida (siqilish va taranglikda bir xil javob) harakat tenglamasi shaklni oladi.
Agar damping bo'lmasa va davriy echimlar mavjud bo'lsa, ular uchun , tabiiy chastota amplituda bilan ortadi.
Tebranishlar davriy bo'lgan va harakatlantiruvchi kuch bilan bir xil davrga ega bo'lgan holatda qattiq prujinali chiziqli bo'lmagan osilatorning klassik rezonans egri chizig'i (a va (1.2.4) tenglamada aniqlanadi).
Ushbu model ko'pincha uni o'rgangan matematikning nomi bilan Duffing tenglamasi deb ataladi.
Agar tizimga davriy kuch ta'sir etsa, u holda klassik nazariya javob ham davriy bo'ladi deb taxmin qilinadi. Kuchning chastotasiga to'g'ri keladigan javob chastotasidagi chiziqli bo'lmagan kamonning rezonansi shaklda ko'rsatilgan. 1.7. Ushbu rasmda ko'rsatilganidek, doimiy harakatlantiruvchi kuch amplitudasi uchun uch xil javob amplitudasi mumkin bo'lgan bir qator harakatlantiruvchi chastotalar mavjud. Ko'rsatish mumkinki, rasmda kesilgan chiziq. 1.7 beqaror va chastotaning ortishi va kamayishi bilan histerezis paydo bo'ladi. Bu hodisa overshoot deb ataladi va u ko'plab mexanik va elektr tizimlari bilan tajribalarda kuzatilgan.
Boshqa davriy yechimlar mavjud, masalan, subharmonik va superharmonik tebranishlar. Agar harakatlantiruvchi kuch shaklga ega bo'lsa, u holda subharmonik tebranishlar shaklga ega bo'lishi mumkin va undan yuqori harmoniklar ( - butun son). Quyida ko'rib turganimizdek, subharmonikalar o'ynaydi muhim rol xaotikdan oldingi tebranishlarda.
Nochiziqli rezonans nazariyasi davriy harakat davriy javobni keltirib chiqaradi degan taxminga asoslanadi. Biroq, bu postulat shubha ostiga olinadi yangi nazariya xaotik tebranishlar.
O'z-o'zidan qo'zg'aluvchan tebranishlar chiziqli bo'lmagan hodisalarning yana bir muhim sinfidir. Bu davriy tashqi ta'sirlar yoki davriy kuchlarsiz tizimlarda sodir bo'ladigan tebranish harakatlaridir.
Birinchi misolda, tomonidan yaratilgan ishqalanish nisbiy harakat massa va harakatlanuvchi kamar. Ikkinchi misol aeroelastik tebranishlarning butun sinfini ko'rsatadi, bunda statsionar tebranishlar suyuqlikning statsionar oqimi tufayli yuzaga keladi. mustahkam elastik suspenziyada. Shaklda ko'rsatilgan klassik elektr misolida. 1.9 va Van der Pol tomonidan tekshirilgan sxema elektron trubkani o'z ichiga oladi.
Ushbu misollarning barchasida tizim statsionar energiya manbai va tarqalish manbai yoki chiziqli bo'lmagan damping mexanizmini o'z ichiga oladi. Van der Pol osilatorida energiya manbai doimiy kuchlanishdir.
Van der Pol tekshirgan bir xil turdagi chegara siklida tebranuvchi vakuum trubkasi sxemasi diagrammasi.
IN matematik model Ushbu sxemada energiya manbai salbiy qarshilik ko'rinishida kiradi:
Energiya tizimga kichik amplitudalarda kirishi mumkin, ammo amplituda ortishi bilan uning o'sishi chiziqli bo'lmagan damping bilan cheklanadi.
Froude mayatnikida (masalan, qarang), energiya o'qning statsionar aylanishi bilan ta'minlanadi. Kichik tebranishlar uchun chiziqli bo'lmagan ishqalanish salbiy damping rolini o'ynaydi; shu bilan birga, kuchli tebranishlar uchun tebranishlar amplitudasi chiziqli bo'lmagan atama bilan chegaralanadi.
Tebranish harakatlari bunday tizimlar ko'pincha chegara sikllari deb ataladi. Shaklda. 1.10 Van der Pol osilatorining fazalar tekisligidagi traektoriyalarini ko'rsatadi. Kichik tebranishlar spiral bo'lib, yopiq asimptotik traektoriyaga yaqinlashadi va katta amplitudali harakatlar spiral tarzda bir xil chegara davriga qisqaradi (qarang. 1.10 va 1.11-rasmlar, bu erda).
Bunday muammolarni o'rganishda ko'pincha ikkita savol tug'iladi. Cheklanish siklidagi tebranishlarning amplitudasi va chastotasi qanday? Parametrlarning qaysi qiymatlarida barqaror chegara davrlari mavjud?
Van der Pol osilatorining relaksatsion tebranishlari.
Van der Pol tenglamasi holatida bo'shliq o'zgaruvchisini va vaqtini normallashtirish qulay, shuning uchun tenglama shaklni oladi. Kichkina uchun chegara davri faza tekisligida 2 radiusli doiradir, ya'ni uchinchi va undan yuqori darajali garmonikalar qayerda. Umuman olganda, harakat shaklda ko'rsatilgan gevşeme tebranishlari shaklini oladi. 1,11, o'lchovsiz davr taxminan 1,61 da
Van der Pol tizimidagi davriy kuch bilan bog'liq muammo yanada murakkab: Ushbu tizim chiziqli bo'lmaganligi sababli, erkin va superpozitsiya printsipi majburiy tebranishlar. Buning o'rniga, natijada paydo bo'lgan davriy harakat, ikkinchisi chegara aylanish chastotasiga yaqin bo'lganda, haydash chastotasida olinadi. Zaif tashqi ta'sir bilan uchta davriy yechim mavjud, ammo ulardan faqat bittasi barqaror (1.12-rasm). Kuch amplitudasining katta qiymatlari uchun faqat bitta yechim mavjud. Har qanday holatda, detuning kuchayishi bilan - belgilangan vaqtda, olingan davriy eritma beqaror bo'lib chiqadi va boshqa harakat turlari mumkin bo'ladi.
Van der Pol osilatorining majburiy harakati uchun amplituda egri chiziqlari (1.2.9). Van der Pol tizimidagi haydash va tabiiy chastotalar o'rtasidagi katta farqlar bilan yangi hodisa paydo bo'ladi - ba'zida deyarli davriy yoki kvazi-davriy eritmalar deb ataladigan kombinatsiyalangan tebranishlar. Kombinatsiyalangan tebranishlar shaklga ega
Qachonki chastotalar va o'lchovsiz bo'lsa, ya'ni - irratsional son, eritma kvazi-periodik deb ataladi. Van der Pol tenglamasi uchun chegara siklining chastotasi bu yerda erkin tebranishlar(masalan, qarang).
Chiziqli tebranishlarning asosiy xususiyatlarini umumlashtirish qimmatli va qiziqarli ko'rinadi. Buni qilish uchun bir qancha sabablar bor. Bizning asosiy vazifalarimizdan biri tebranishlarni o'rganishning chiziqli va chiziqli bo'lmagan usullarini solishtirishdir. Bundan tashqari, chiziqli va chiziqli bo'lmagan masalalarda qo'llaniladigan terminologiyani iloji boricha qo'llash amaliyoti ishlab chiqilgan. Nihoyat, qulaylik uchun chiziqli nazariyaning asosiy g'oyalari va formulalari haqida qisqacha ma'lumotga ega bo'lish foydalidir.
Balki chiziqli tebranish muammosining eng oddiy misoli sig'im va qarshilik bilan ketma-ket ulangan induktordan tashkil topgan oddiy elektr zanjiri tomonidan berilgan (1-rasm). Shaklda ko'rsatilgan mexanik analog. 1 jismning siljishiga mutanosib kuchni (tiklash kuchi deb ataladi) rivojlantiruvchi buloqqa biriktirilgan massaga ega bo'lgan tanadan iborat. Ushbu elektr tizimi uchun, Kirchhoff qonunidan foydalanib, biz bor
Agar mexanik tizimdagi jism tezlikka (qovushqoq ishqalanish) mutanosib qarshilik ko‘rsatadigan muhitda harakat qiladi deb faraz qilsak, u holda mexanik tizimning tebranishlari uchun harakat tenglamasi nisbat bilan beriladi. Analogiya bo'yicha, bizda shunday bor; ; va bundan tashqari, oqim joy almashtirishga o'xshaydi.
Guruh. 1.Chiziqli elektr va mexanik tizimlar
Hozircha tashqi kuch deb faraz qilish va yozuvni kiritish
(1.2) ni shaklga keltiramiz
Chunki bu chiziqli tebranishlar aniqlanadi bir jinsli tenglama, erkin chiziqli tebranishlar deyiladi. Umumiy qaror chiziqli tenglama dan doimiy koeffitsientlar yemoq chiziqli birikma Ikki eksponensial funktsiya:
bu yerda va aniqlangan ixtiyoriy doimiylar boshlang'ich sharoitlar, a va xarakteristik tenglamaning ildizlari
Shunday qilib, va munosabatlar tomonidan beriladi
Agar (1.5) yechimni real ko’rinishda ifodalamoqchi bo’lsak, kattalik uchta holatni ko’rib chiqamiz: a) haqiqiy, b) nol, v) xayoliy. Yechimlar shaklga ega ekanligini ko'rsatish oson
qaerda va haqiqiy; va ixtiyoriy konstantalar bo'lib, ular biron bir boshlang'ich momentda siljish (joriy) va tezlik qiymatlarini belgilash orqali aniqlanadi.
(1.8 - a) tenglama amalda ko'p uchraydi. (1.3) dan ko'rinib turibdiki, bu holat amortizatsiya faktoriga nisbatan kichik bo'lsa sodir bo'ladi. Tenglama (1.8 - a) bu holda shunday tebranish harakatini tavsiflaydiki, har ikki ketma-ket maksimal va siljishlar munosabatni qanoatlantiradi.
Jarayonlarning, shu jumladan tebranishlarning nochiziqliligi matematik jihatdan mos keladigan harakat tenglamalarining chiziqli emasligida ifodalanadi. Fizika nuqtai nazaridan, tebranishlarning nochiziqliligi ikkita mutlaqo boshqa xususiyat bilan tavsiflanadi: angarmoniklik va isoxronizm. ostida garmoniya spektrdagi chastota tebranishlari mavjudligini tushunish, ular asosiyga ko'payadi, - Furye garmonik, yoki ohanglar. Izoxron bo'lmagan Tebranishlar deyiladi, ularning chastotalari (asosiy va yuqori harmonikalar) tebranishlarning amplitudasi yoki energiyasiga bog'liq.
Chiziqli bo'lmagan tebranishlarning klassik namunasi - bu sayyoralarning Quyosh atrofida aylanishi - bu muammoni hal qilish bilan zamonaviy mexanika va fizika. Keplerning uchinchi qonuniga ko'ra, sayyoralarning Quyosh atrofida aylanish chastotasi ularning umumiy energiyasi bilan belgilanadi:
w=│ E│ 3/2 .
Nonizoxronizm, umuman olganda, anharmoniya bilan bog'liq emas. Shunday qilib, yorug'lik tezligiga yaqin tezlikda doimiy magnit maydonda aylana orbita bo'ylab harakatlanadigan zaryadlangan zarracha sof garmonik tebranishlarni amalga oshiradi va uning aylanish chastotasi energiyaga teskari proportsionaldir.