Формула бинома Ньютона

(n=2,3,4,5) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.
1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun
formula o'rinlidir.
lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion о 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni
. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi, deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan, ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi.

Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo'lgan holida (ya'ni yig'indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va Ali Qushchi ifodani n>2 bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo'llagan. L. Eyler 1774-yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchun qo'lladi. Nihoyat, 1825-yilda N. Abel daraja ko'rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.
C sonlarni binomial koeffitsiyentlar, deb ham atashadi. Bunday ta'rif bu koeffitsiyentlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o'rniga qarab berilgan bo'lib, C son

yoyilmadagi ifodaning koeffitsiyentidir.
2-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.
Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (—b) ga almashtirsak, kerakli formulani hosil qilamiz. ■
1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko'paytirish formulalari kelib chiqadi:
n=2 bo'lganda ayirmaning kvadrati formulasi

n=3 bo'lganda ayirmaning kubi formulasi

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.

Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodani
ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar
ichidagi qo'shiluvchilar soni n ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar (n ta)
elemcntlardan ikkitadan ko'paytmalar (soni ga teng grup-
palashlar) ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar esa o'sha n ta elementlardan uchtadan
ko'paytmalar bo'lib, ularning soni ga teng va hokazo. Oxirgi
qo'shiluvchi oldidagi koeffitsiyent birga teng. Yuqoridagi tenglikda deb olsak, Nyuton binomi formulasini hosil qilamiz.
3.3. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koef­fitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.
1-xossa. tenglik o'rinlidir.
Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:
bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.
2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni
Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi. ■
3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.
Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda,
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi. ■
2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.4- xossa.
n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun tenglik hmda n sondan oshmaydigan
eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.
5-xossa.Toq n son uchun
juft n son uchun esa
munosabatlar о`rinlidir.
Haqiqatan ham, shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy
natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,
bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,
formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.
Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,
formuladan bo'lganda
tenglik kelib cliqadi. ■
Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bo`lib, unga ko`ra binomial
koeffitsiyentlar oldin dan gacha¹ o'sadi, keyin esa
gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koef-
fitsiyentlar qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'l­ganda, uning o'rtadagisi hadi eng katta va yagonadir. Quyidagi 6—8-xossalar o'rinlidir:
6-xossa.
7-xossa.
8-xossa.
Oxirgi tenglik Koshi¹ ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,

ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:
Bu yerdan, s ko'phaddagi x ⁿ ifodaning koeffitsiyenti
yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.
Ikkinchidan, s =(l+x)ⁿ(l +(1 +x)+...+(1 +x)^k) ifodani geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish mumkin:
Bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning xⁿ daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekan-
ligini ko'rish mumkin. Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz. ■
Ravshanki, formula e'tiborga olinsa, 7-xossa 8- xos- sadan m =k =n bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning
uchun faqat 8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,

Bayonot 17
Misollar 18

ning har ikki tomonidagi x^k(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz. ■
Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbot­lanishi mumkin. Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.
2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan к (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan к talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.
Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha к elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida s (o≤S≤k)o'g'il bola
bo'lgan к elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,
keyin (k—s) qizlarni xil usullardan birontasi yordamida tan­lash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan к talabadan
iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz. ■
Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to'plamlar nazariyasiga tatbiqini qaraymiz.
3-misol. Chekli A to'plam 2^A bulcanining elementlari va bu elementlar soni bilan binomial koeffitsiyentlarning uzviy bogianishi bor. Bu bog'lanishni quyidagicha ifodalash mumkin. Chekli A to'p­lam 2^A buleani tarkibidagi elementlar A to'plamning qism to'p- lamlaridan iborat bo'lgani uchun, shu qism to'plamlarni quvvatlari bo'yicha ( +1) ta guruhga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu
yerda к raqamli guruh (k = 0,| A |) quvvati к ga teng bo'lgan barcha qism to'plamlardan tashkil topadi va undagi qism to'plamlar
soni ga teng. Bu mulohazani hisobga olgan holda 2-xossa yordamida ushbu 1-teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo'lamiz. ■

Siz ma’ruzadan buyuk matematik Isaak Nyutonga tegishli qanchalar yorqin g‘oyalar va kashfiyotlar borligini eshitdingiz. Uning kashfiyotlaridan biri Binom Nyuton formulasidir. Aynan shu kashfiyotga biz bugungi darsimizni bag'ishlaymiz. Keling, dars mavzusini yozamiz. Darsimizning maqsadlari: Nyuton binomial formulasi bilan tanishish, Nyuton binomial formulasini binomialning kuchiga ko'tarishda qo'llashni o'rganish.

Binom so'zi "Ikki son" degan ma'noni anglatadi Matematikada binom "ikki o'zgaruvchining yig'indisining manfiy bo'lmagan butun sonining alohida a'zolariga parchalanish formulasi" deb ataladi. Keling, Nyutonga ergashib, uni keyinroq qo'llash uchun uni chiqarishga harakat qilaylik.
Ratsional darajali qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish amallari bilan bog‘langan son va o‘zgaruvchilardan tuzilgan ifodalar algebraik ifodalar deyiladi.
Algebraik ifodalarni o'zgartirishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi:
Ikki haddan iborat yig'indining kvadrati va kubi uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini (bunday yig'indi "bin" deb ataladi, rus tilida bu binomial deb ataladi) ehtimol siz eslaysiz (yoki hech bo'lmaganda esda tutishingiz kerak).

Agar siz ushbu formulalarni unutib qo'ysangiz, ularni aniq tenglikdagi qavslarni kengaytirish orqali to'g'ridan-to'g'ri olishingiz mumkin


Ehtimol, sizda savol tug'ilgandir: (kompyutersiz) to'rtinchi, beshinchi, o'ninchi darajali binomiallar uchun turdagi formulalarni olish mumkinmi?
Keling, to'g'ridan-to'g'ri hech bo'lmaganda beshinchi darajaga o'tishga harakat qilaylik, va u erda, ehtimol, "butalarda pianino" bo'ladi (buyurtma uchun biz atamalarni o'ng tomonga a darajasining kamayishi bilan joylashtiramiz, u maksimaldan pasayadi. nol):


Ehtimol, sizda savol tug'ilgandir: (kompyutersiz) to'rtinchi, beshinchi, o'ninchi darajali binomiallar uchun turdagi formulalarni olish mumkinmi?
Keling, to'g'ridan-to'g'ri hech bo'lmaganda beshinchi darajaga o'tishga harakat qilaylik, va u erda, ehtimol, "butalarda pianino" bo'ladi (buyurtma uchun biz atamalarni o'ng tomonga a darajasining kamayishi bilan joylashtiramiz, u maksimaldan pasayadi. nol):

Endi binomialni berilgan quvvatga ko'tarishda formulalarning o'ng tomonidagi raqamli koeffitsientlarni alohida yozamiz:

Oldingi sahifadagi “Butalardagi pianino” Paskal uchburchagi ekanligini hozirga qadar taxmin qilgandirsiz. Koeffitsientlar uchun yozilgan raqamlar uchinchidan boshlab Paskal uchburchagining chiziqlari ekanligini tekshirish oson. Birinchi ikkita satrga ega bo'lmagan ushbu "kesilgan uchburchak" osongina to'liq bajarilishi mumkin (n = 0 va n = 1 uchun chiziqlarni oling):


Bu bayonot Paskaldan ancha oldin ma'lum bo'lgan - uni XI-XII asrlarda yashaganlar bilishgan. Markaziy osiyolik matematik va shoir Umar Xayyom (afsuski, bu boradagi asari bizgacha yetib kelmagan). Bizgacha yetib kelgan Nyuton binomial formulasining birinchi tavsifi Oʻrta Osiyo matematigi at-Tusiyning 1265-yilda paydo boʻlgan kitobida keltirilgan boʻlib, unda inklyuzivgacha boʻlgan raqamlar jadvali (binomial koeffitsientlar) berilgan.
Yevropa olimlari Nyutonning binomial formulasi bilan Sharq matematiklari orqali tanishgan. Binom koeffitsientlarining xossalarini batafsil o'rganish fransuz matematigi va faylasufi B. Paskal tomonidan 1654 yilda amalga oshirilgan.
Endi binomni har qanday n darajaga ko'tarish aniq. Chap tomonda biz (a + b) n yozamiz. Va o'ng tomonda biz a + a-1b +… + bn yig'indisini yozamiz va har bir davrdagi koeffitsient uchun joy qoldiramiz. Va biz bu joylarni Paskal uchburchagining n-qatoridagi raqamlar bilan to'ldiramiz, bu albatta oldindan yozilishi kerak.
a + b binomialni n darajaga ko'tarish Nyuton binomialining kengayishi deb ataladigan formula yordamida amalga oshirilishi mumkin:
(a + b) n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 + ... + Ckn an - kbk + ... + Cn - 1nabn - 1 + Cnnbn
Bu erda Ckn - n ta elementdan k orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar.
Misol:
(a + b) 5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Shunday qilib, binomialni istalgan darajaga ko'tarish uchun formula yozishingiz mumkin. Binom Nyuton formulasi boʻyicha binomning parchalanishida atamalarning ayrim xossalariga eʼtibor qarataylik.
V) Nyutonning binomial xossalari
Terminlar soni binomial darajadan 1 ga ko'p.
Koeffitsientlar Paskal uchburchagi bo'yicha topiladi yoki C birikmalar soniga teng, bu erda n - binomial darajasi, m - 0 dan n gacha bo'lgan va ikkinchi ifoda darajasiga mos keladigan o'zgaruvchi.
Imkoniyatlar nosimmetrikdir.
Qavs ichida minus belgisi mavjud bo'lsa, u holda + va - belgilari almashinadi.
Har bir a'zoning darajalari yig'indisi binomial darajasiga teng.
Kengayish koeffitsientlarining yig'indisi (a + b) n 2 n ga teng.
VI) Yangi materialni mustahkamlash.



Misol 1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida ifoda qiymatini hisoblang.

Yechim. Biz kvadratlar farqi uchun formuladan foydalanamiz. Berilgan ifoda quyidagi shaklni oladi:


Binomial teoremaning alohida holatlari miloddan avvalgi kamida 4 asrdan beri ma'lum bo'lgan Yunonistonlik matematik Evklid binomiya teoremasining eksponent uchun maxsus holatini eslatib o'tdi. Kublar uchun binomial teorema milodiy VI asrda Hindistonda ma'lum bo'lganligi haqida dalillar mavjud. Binomial koeffitsientlar, tanlash usullarining sonini ifodalovchi kombinatorial kattaliklar sifatida k ob'ektlar tashqarida n almashtirishsiz qadimgi hind matematiklari qiziqish uyg'otdi. Ushbu kombinatoriya muammosiga ma'lum bo'lgan dastlabki ma'lumot bu Chandḥśāstra hind lirik muallifi tomonidan Pingala (miloddan avvalgi 200 yil), uni hal qilish usulini o'z ichiga oladi.^[3]:230 Sharhlovchi Halayudha eramizning 10-asridan boshlab ushbu usulni hozirgi kunda ma'lum bo'lgan narsalar yordamida tushuntiradi Paskal uchburchagi. Milodiy VI asrga kelib, hind matematiklari buni qanday qilib keltirilgan so'z sifatida ifodalashni bilishgan  , va ushbu qoidaning aniq bayonini XII asr matnida topish mumkin Lilavati tomonidan Bxaskara.
Binomial teoremaning birinchi formulasi va binomial koeffitsientlar jadvali, bizning ma'lumotimizga ko'ra, Al-Karaji tomonidan topilgan , Al-Samaval tomonidan keltirilgan uning "al-Bahir" asarida. Al-Karaji binomial koeffitsientlarning uchburchak naqshini tasvirlab berdi^[8] va shuningdek matematik isbot ikkala binomiya teoremasi va Paskal uchburchagi, ning erta shakli yordamida matematik induksiya. Fors shoiri va matematik Omar Xayyom matematik ishlarining ko'pi yo'qolgan bo'lsa-da, ehtimol yuqori buyurtmalar formulasi bilan tanish edi. Kichik darajadagi binomial kengayishlar XIII asrning matematik ishlarida ma'lum bo'lgan Yang Xui^[9] va shuningdek Chu Shih-Chie. Yang Xui bu usulni XI asrning ancha oldingi matni bilan bog'laydi Jia Sian, garchi bu yozuvlar endi yo'qolgan bo'lsa ham.
1544 yilda, Maykl Stifel "binomial koeffitsient" atamasini kiritdi va ularni ifodalash uchun qanday ishlatilishini ko'rsatdi   xususida  , "Paskal uchburchagi" orqali. Blez Paskal o'z nomidagi uchburchakni har tomonlama o'rganib chiqdi  Biroq, raqamlarning naqshini so'nggi Uyg'onish davri Evropa matematiklari, shu jumladan Stifel, allaqachon ma'lum bo'lgan, Nikkole Fontana Tartalyava Simon Stevin.
Isaak Nyuton odatda har qanday ratsional ko'rsatkich uchun amal qiladigan umumlashtirilgan binomial teorema bilan hisobga olinadi.