Фракталы – геометрия природы

2-bob Fraktal o'lchov
Fraktal tushunchasi (lotincha fractus - bo'lingan, bo'lingan, bo'laklardan iborat) 1975 yilda frantsuz olimi Benua Mandelbrot tomonidan o'zi o'rgangan tartibsiz, lekin o'ziga o'xshash tuzilmalarni belgilash uchun kiritilgan. Uning ishlarida 1875-1925 yillarda xuddi shu sohada ishlagan boshqa olimlarning (Puankare, Yuliya, Kantor, Hausdorf) natijalaridan foydalanilgan. Lekin bizning davrimizda ularni yagona tizimga birlashtira oldik.
Mandelbrot quyidagi ta'rifni beradi: "Fraktal - bu qaysidir ma'noda butunga o'xshash qismlardan tashkil topgan tuzilishdir". Fraktal atamasi lotincha fractus fractus dan olingan . Tegishli frangere fe'li sindirish, sindirish, ya'ni. tartibsiz shakldagi bo'laklarni yaratish. Demak, fraktus so'zi "parchalangan" ma'nosidan tashqari (masalan, kasr yoki sinish so'zlarida) " shakl jihatdan tartibsiz" ma'nosiga ham ega bo'lishi kerak deb taxmin qilish oqilona; har ikki ma’noning birikmasiga misol bo‘lagi so‘z bo‘lagidir. "Tabiiy (yoki tabiiy) fraktal" birikmasi u yoki bu maqsadda fraktal to'plam sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan tabiiy tuzilmalarni belgilash uchun ishlatiladi. Misol uchun, Broun egri chiziqlari fraktal to'plamlardir va biz Broun harakatini tabiiy fraktal deb ataymiz.
Mandelbrot ushbu tamoyilning mohiyatini qirg'oq chizig'i yoki har qanday milliy chegara uzunligini hisoblash misolida tushuntiradi. U ingliz olimi Lyuis F.Richardsonning muallif vafotidan keyin chop etilgan kam ma’lum bo‘lgan asarini o‘rganish orqali qirg‘oq hodisasiga duch keldi. Mandelbrot qirg'oq chizig'ining uzunligini o'lchash imkoniyatlarini sinchkovlik bilan tahlil qildi va natijaga erishdi, bu nafaqat hayratda qoldirdi, balki uning tafakkurida burilish nuqtasiga aylandi.
B uyuk Britaniya qirg'oqlarining uzunligi, deydi Mandelbrot, biz foydalanadigan asbobning uzunligiga bog'liq, o'lchov o'lchagich qanchalik qisqa bo'lsa, o'lchov bilan ko'proq tafsilotlar olinadi. Xo'sh, qirg'oqning uzunligi qanday o'lchanadi? Cheksizlik, chunki tabiiy ob'ektlar cheksizlikka eziladi. Faqat atom darajasiga erishilganda o'lchovlar tugaydi.

Рис.1. снежинка Коха
Sohil chizig'i - cheklangan fazoda cheksiz uzunlikka ega bo'lgan ob'ektlar sinfining vakili. Bunday narsalar qatoriga Kochning qor parchasi va Sierpinski gilami ham kiradi.
Koch qor parchasini qurish misoli 1-rasmda ko'rsatilgan. Biz teng qirrali uchburchakni olamiz, har tomondan 1/3 qismini kesib tashlaymiz va yon tomondan kesilganga teng ikkita segmentni biriktiramiz va hokazo.
Sierpinski gilamini qurishning dastlabki uchta bosqichi 2-rasmda ko'rsatilgan. Gilam qurish uchun qog'ozga teng tomonli uchburchak chizamiz. Biz uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalarini to'g'ri chiziqlar bilan bog'laymiz, uning ichida biz to'rtta uchburchakni olamiz. O'rtasini kesib oling. Biz uchta burchakli uchburchakda xuddi shunday qilamiz. Siz to'rtta teshik va to'qqizta kichik uchburchak olasiz. Har birimiz bir xil operatsiyani bajaramiz. Nazariyaga ko'ra, bu jarayonning oxiri bo'lmaydi, uchburchakda yashash joyi qolmaydi, lekin u ham parchalanmaydi - siz faqat teshiklardan iborat "pishloq" olasiz.
Bizning dunyomiz shunday ishlaydi. Undagi hamma narsa cheksiz qismlarga bo'lingan, taxminan butunga o'xshaydi, chunki haqiqat fraktaldir. O'xshashlik osongina tan olinadi, chunki uning tasvirlari hamma joyda mavjud.
Cheksiz parchalanish va eng kichik qismlarning butunga o'xshashligi - bu tabiatning "tartibga solish" tamoyilidir. Hozirgi vaqtda ushbu tamoyilni ko'rsatish uchun ko'plab sun'iy modellar ixtiro qilingan.
Fraktal strukturada har qanday ixtiyoriy nuqta tarmoqlanish nuqtasi hisoblanadi. Eyfel minorasi bunga yaqqol misol bo‘la oladi: uning antennalari, metall trusslari va ustunlari mayda detallarning yaltiroq tizimida nafis panjara konstruksiyalariga aylanadi. Va Eyfel minorasining qurilishi doimo inson suyaklarining qurilishi bilan taqqoslanadi, masalan, tibia, shuningdek, fraktal ob'ektning xususiyatlariga ega, xususan, bir butunga o'xshash qismlarga bo'linish yoki bir xil o'zgarish vaqtida takrorlanadi. pasayib borayotgan shkala.
Fraktallar ikkita eng muhim xususiyatga ega bo'lgan juda qiziqarli xususiyatlar to'plamiga ega bo'lgan geometrik raqamlardir: singanlik va o'ziga o'xshashlik. Fraktalning sinishi vizual va matematik jihatdan tushunarli, chunki har bir sinish nuqtasida hosilaning yo'qligi. Hech bir nuqtada hosilasi bo'lmagan o'ziga o'xshash fraktal funktsiyalar 19- asr oxirida kashf etilgan. Ushbu g'oyaning kuchini anglash uchun yana yuz yil kerak bo'ldi.
Fraktallik tartibsizlikning o'lchovidir. Masalan, daryo qancha burilish qilsa, uning fraktal soni shunchalik ko'p bo'ladi. Fraktallar nazariyasini yaratuvchisi Mandelbrot o'zi o'rgangan vaqt oralig'ida Missisipi daryosining fraktal soni va paxta narxi o'rtasida yaqin bog'liqlikni topdi.
Fraktallar chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan bo'lishi mumkin. Chiziqli fraktallar - chiziqli bo'lmagan funksiyalar, ya'ni birinchi tartibli tenglamalar bilan aniqlangan fraktallar. Ular eng oddiy "to'g'ri chiziqli" shaklda o'ziga o'xshashlikni ko'rsatadi: har qanday qism butunning qisqartirilgan aniq nusxasidir.