Фракталы – геометрия природы

Chiziqli bo'lmagan fraktallar birinchisidan bir daraja yuqori bo'lgan chiziqli bo'lmagan funktsiyalar bilan belgilanadigan fraktallar bo'lib, ancha boy va xilma-xildir . Chiziqli bo'lmagan fraktallarning o'ziga o'xshashligi ham xilma-xildir: ularda qism aniq emas, balki butunning o'xshash deformatsiyalangan nusxasi.
asoslanib , Mandelbrot ob'ektning qancha o'lchamga ega ekanligi haqidagi savolga javob idrok darajasiga bog'liq degan xulosaga keldi.
Harakatlar oralig'ini aniqlashdagi noaniqlik uni farq muammosiga yangicha qarashga majbur qildi. Natijada u kasrli o'lchovlarga, ya'ni butun bo'lmagan (fraktal) o'lchamga keldi.
Fraktal ob'ektning klassik namunasi - Kantor to'plami yoki Kantorning "changi" (3-rasm).
Uzunlikdagi segmentni oling 1. Uni uchta teng qismga bo'linib, biz o'rta qismni istisno qilamiz. Qolgan ikkitasi bilan biz xuddi shu tartibni bajaramiz va natijada har biri 1/9 uzunlikdagi 4 ta segmentni olamiz va hokazo. n- chi amaldan so'ng segmentlarning N soni 2 ^{n ga} , har birining uzunligi esa segmentlar 1/3 ^{n ni tashkil qiladi} . Cantor to'plamining o'lchamini aniqlash uchun d N cheksizlikka, u o'lcham esa nolga teng bo'lsin. Biz 2=(3) nisbatni olamiz, bundan d = log 2/ log 3, bu taxminan 0,63 ga teng. Ushbu cheksiz ketma-ketlikdan keyin qolgan nuqtalar to'plami Cantor to'plamidir. Shuning uchun Cantor to'plami 0 (nuqta o'lchami) va 1 (chiziq o'lchami) o'rtasidagi kasr o'lchamiga mos keladi.
Shunga o'xshab, 1 dan 2 gacha bo'lgan o'lchamli ikki o'lchovli geometrik ob'ektlarni va 2 va 3 gacha bo'lgan o'lchamli uch o'lchovli narsalarni qurish mumkin. Masalan, Sierpinski gilamining o'lchami 1,58; Koch qor parchalari - 1,2618.
Biz bilamizki, to'g'ri chiziqning o'lchami bitta, kvadratning o'lchami ikkita va kubning o'lchami uchta. Mandelbrot "dahshatli" egri chiziqlarni o'lchash uchun fraksiyonel o'lchamlardan foydalanishni taklif qildi - Hausdorff-Besikovich o'lchamlari.
Fraktallarning o'ziga o'xshashligi shundan iboratki, biz ushbu to'plamlarning tafsilotini qanchalik kichik olsak ham, u butun to'plamga o'xshash bo'ladi. Bu fraktal to'plamlarga xos xususiyatdir, garchi u har doim ham biz ko'rib chiqqan misollardagi kabi muntazam shaklda topilmasa ham.
Mandelbrotning fraktal ob'ektlarni kashf etishi tabiatda mavjud bo'lgan ajoyib shakllar olamiga yangicha qarash imkonini berdi. Ularning ko'pchiligi oddiy geometrik ob'ektlar emas, balki kasr o'lchamlari bilan tavsiflanishi mumkin. Masalan, bulut - bu qandaydir hajmli jism yoki sirt emas, balki o'lchami 2 dan 3 gacha bo'lgan oraliq geometrik ob'ektdir.
Fraksiyonel o'lchov sizga boshqa yo'l bilan aniq belgilab bo'lmaydigan xususiyatlarni hisoblash imkonini beradi: ob'ektning xiyonat darajasi, uzluksizligi yoki beqarorligi. Masalan, o'ralgan qirg'oq chizig'i, "uzunligi" ning o'zgarmasligiga qaramay, faqat unga xos bo'lgan qo'pollikka ega. Mandelbrot atrofdagi voqelikdagi ob'ektlarning kasr o'lchovlarini hisoblash usullarini ko'rsatdi . Geometriyani yaratib, tabiatda uchraydigan tartibsiz shakllar qonunini ilgari surdi. Qonunda shunday deyilgan: beqarorlik darajasi turli miqyoslarda doimiydir . Va D. Gleick o'z kitobida ta'kidlaganidek: "Ushbu postulatning haqiqiyligi qayta-qayta tasdiqlanadi. Dunyo yana va yana doimiy tartibsizlikni ochib beradi."
Geometrik tushunchalar bilan boshlangan fraktallar nazariyasi geometrik versiyadan tashqariga chiqadigan jismoniy narsalarni qamrab oldi. Fraktal tuzilishga ega bo'lgan fizik tizimlar ijtimoiy xususiyatlar jihatidan o'ziga xos xususiyatlarga ega. Bunday turdagi xususiyatlar, masalan, tizim parametrlari orasidagi quvvatga bog'liqlikni o'z ichiga oladi. Fraktallar elektromagnit nurlanishni turlicha sochadi, turlicha tebranadi va tovush chiqaradi, elektr tokini turlicha o‘tkazadi, fraktallar orqali moddaning tarqalishi boshqacha tarzda sodir bo‘ladi. Fraktallar nazariyasidagi analitik usullar, kasr tartibini interdifferentsiatsiyalashning matematik apparatiga asoslangan holda, fizikada fraktal funktsiyalarni eng nozik va har tomonlama tekshirish imkonini beradi.
Fraktal to'plamlarning kashf etilishi nafaqat oldindan aytib bo'lmaydigan jarayonlarning mavjudligini aniqladi, balki insonni ularni boshqarishga o'rgatdi, chunki xaotik tizimlarning beqarorligi ularni tashqi ta'sirlarga juda sezgir qiladi.