Фракталы – геометрия природы

3 BOB Benua Mandelbrot


B enua Mandelbrot 1924 yilda Varshavada tug'ilgan. 1936 yilda uning oilasi Frantsiyaga, Parijga hijrat qildi. Sorbonna universitetiga o‘qishga kirdi. Universitetni tugatgach, Mandelbrot "sof matematik" bo'ldi. Ammo doktorlik dissertatsiyasini qo'lga kiritgach, u akademik fandan uzoqlashdi. 1958 yilda Mandelbrot Yorktaundagi IBM tadqiqot markazida ish boshladi. IBM da Benoit Mandelbrot turli vazifalarni bajarishda ishtirok etgan. U bir mavzudan ikkinchisiga shoshilishni yaxshi ko'rardi: u qidirardi. Iqtisodiyotni tadqiq qilayotib, men narxlarning o'zboshimchalik bilan o'zgarishi yashirin matematik tartibga rioya qilishini aniqladim. U uzoq vaqt (yuz yildan ortiq) davomida paxta bahosi statistikasini o‘rganish bilan shug‘ullangan. Kun davomida narxlarning o'zgarishi tasodifiy tuyuldi, lekin Mandelbrot uzoq muddatli narxlarning o'zgarishi va qisqa muddatli tebranishlarda simmetriyani aniqladi. O'shanda ham, uning "avtografiga" aylangan to'plam kashf etilishidan deyarli yigirma yil oldin, Mandelbrot o'ziga o'xshash fraktallarni ko'rdi, bu erda hamma faqat pul va matolarni ko'rdi.
Bugun Benoit Mandelbrot Yel universiteti professori, Amerika sanʼat va fanlar akademiyasi va AQSh Milliy fanlar akademiyasining aʼzosi. U ko'plab faxriy ilmiy darajalar va mukofotlar - fizika bo'yicha Bo'ri mukofoti bilan taqdirlangan.

4-bob Mandelbrot to'plami


Barcha matematikaning eng murakkab ob'ekti Mandelbrotning fraktal shakllar to'plamidir. To'plam eng oddiy matematik tushuncha bo'lib, u ta'riflanmaydi, faqat misollar yordamida tushuntiriladi: osmonda ko'plab yulduzlar, javonda juda ko'p kitoblar va boshqalar.
Mandelbrotning ko'plab fraktal shakllarini to'liq ko'rish uchun (tikanli shinalar, spirallar va iplar tokda uzumdek osilgan bo'rtib ketgan molekulalar bilan o'ralgan doiralar) abadiylikni talab qiladi. Ushbu to'plamni yoki tizim konturining raqamli tasvirini tashkil etuvchi barcha elementlarning katalogini yaratish cheksiz miqdordagi ma'lumotlarni talab qiladi.
Mandelbrot tizimi olim Yuliya to'plamining umumiy qonunlarini kamaytirishga harakat qilganda shakllana boshladi. Ushbu to'plamlar Birinchi jahon urushi paytida hech qanday hisoblash va ixtirochilik texnikasisiz ishlagan frantsuz matematiklari Gaston Julia va Per Fato tomonidan kashf etilgan va o'rganilgan.
1979 yilda Mandelbrot murakkab tekislik ichida Julia to'plamining o'ziga xos katalogi bo'lib xizmat qiladigan yagona tasvirni yaratishga harakat qildi. Eng oddiy chiziqli bo'lmagan fraktallar kvadratik funksiyalar bilan berilishini aniqlab, Mandelbrot eng oddiy chiziqli bo'lmagan algoritmni murakkab tekislikda Z _{n +1} Z ² + C ko'rinishida amalga oshirishni taklif qilib, fanda tub yutuq yaratdi . O'q ( ) iteratsiyani bildiradi.
Ushbu algoritm har bir keyingi a'zosi oldingisining kvadratiga va ba'zi bir hadlarga teng bo'lgan sonli ketma-ketlikni olish imkonini beradi. Shuni ta'kidlash joizki, Mandelbrot algoritmi Z Z ² + C asosning soddaligi va oqibat va ma'noning boyligi nuqtai nazaridan, zukko Pifagor a ² + b ² = c ^{2 teoremasi} yoki Eynshteynning yagona E formulasi bilan solishtirish mumkin. = mc ² .
Z Z ² + C elementar formulasi bilan berilgan kompleks tekislikning o'zgarishini o'rgandi . Mandelbrot tomonidan o'rganilgan transformatsiyani oddiygina tekislik o'zgarishi deb hisoblash mumkin. Mandelbrot bu o'zgartirish natijasida olingan nuqtalarning traektoriyalarini ko'rib chiqdi va natijada olingan naqshning C parametriga bog'liqligini o'rgandi. Ammo C parametridagi ozgina o'zgarishlar bilan ham silliq doira cheksiz ravishda buziladi - fraktal. Uning keyingi deformatsiyasi chegaralarning yopilishiga va bulutlarga, dendritlarga yoki dengiz otlarining dumiga o'xshash cheksiz qisqaruvchi jismlarning cheksiz sonining ajralishiga olib keladi. Nihoyat, bu jismlar fraktal chang deb ataladigan sehrli otashinlarga aylanadi.
Ma'lum bo'lishicha, C parametrlarining qiymatlari hayratlanarli darajada g'alati chegaraga ega bo'lgan bog'langan to'plamni tashkil qiladi va to'plamning asosiy qismining shakli turli masshtablarda takrorlanadi va takrorlanadi. Ushbu to'plam Mandelbrot to'plami deb nomlangan.
B iroq, agar iterativ jarayonda Z _{n +1} Z ² + C bo'lsa, biz Z _{0 ni tuzatib} , C ni o'zgartirsak, u holda Mandelbrot to'plamini olamiz. Yigirmanchi asrning 70-yillarida Z _{n +1} Z ² + C algoritmini kashf etgan B. Mandelbrot kompyuter yordamida ko'plab iteratsiyalarni amalga oshirdi va funktsiya grafigini oldi - bu ajoyib raqam butun dunyoga "Mandelbrot fraktal" nomi bilan mashhur. ".

Рис.4.множество Мандельброта
Kvadrat jarayonga doimiy S ni qo'shish va dastlab Z ni nolga teng deb qabul qilish orqali cheksiz katta yoki cheksiz kichik sonlarga olib kelmaydigan barqaror iteratsiyalarni olish mumkin. Bu raqamlar Mandelbrot fraktalining qora zonasida bo'ladi. Bu formula noldan boshlanadigan kompleks sonlarning takrorlanishiga asoslangan dinamik ifodadir. Formula dunyo tabiatining fraktal geometriyasi yoki to'rtinchi o'lchov tufayli olingan Mandelbrotning ko'plab natijalarini qisqacha jamlaydi. Olingan rasm Evklid shakllarining ideal dunyosidan butunlay farq qiladi: birinchi, ikkinchi va uchinchi o'lchovlar. Mandelbrot fraktal geometrik figura bo'lib, nafaqat tartibsiz shaklga ega, balki bu tartibsizlikning orqasida o'ziga xos tartib yotadi.
4-rasmdagi Mandelbrot fraktali ikki o'lchovda ko'rsatilgan. 3D ko'rinishi G'alati Attraktor tomonidan tashkil etilgan o'z-o'zidan va erkinlikning go'zal dunyosini ko'rsatadi. Bu eski paradigmalar chegarasidan tashqariga chiqish imkonini beradi.
To'plam chegaralarini o'rganar ekan, Mandelbrot, tasvirning har qanday o'sishi bilan dengiz otlari yoki issiqxona o'simliklarining ko'tarilish shoxlariga o'xshash yangi shakllar paydo bo'lishiga ishonch hosil qildi. Ammo hech qachon tizimning bir bo'lagi boshqasiga o'xshamagan. Bundan tashqari, u asosiy ob'ektni o'rab turgan kichik orollarga juda o'xshash "suzuvchi" molekulalar yoki "chang zarralari" ni aniqlashga muvaffaq bo'ldi.
Amerikalik matematiklar Jon Xabbard va Andrian Doudi har bir suzuvchi molekula haqiqatda uni boshqa molekulalar bilan bog'laydigan filigra ipga osilganligini isbotladilar. Oxir-oqibat, ular mayda zarrachalardan asosiy ob'ektga - Mandelbrot aytganidek, "iblisning polimeriga" olib boradigan nozik to'rga ega bo'lishdi.
Aytish mumkinki, Umumjahon ong tabiatni cheksiz sabr bilan takrorlanadigan oddiy jismoniy qonunlar yordamida hamma joyda bir xil yaratdi.
Tabiat bu Mandelbrot algoritmidan foydalanib, o'z durdonalarini - oltin bo'lak fraktallarini - o't bargidan biologik populyatsiyagacha yaratadi. Shuning uchun fraktallarning ajoyib go'zalligi ajablanarli emas. O'zlarining go'zalligi va xilma-xilligi bilan ular nafaqat matematiklarni hayratda qoldirdi. 1984 yilda Gyote instituti fraktal tuzilmalarning portreti bo'lgan "Betartiblik chegaralari" ko'rgazmasini tashkil etdi, bu shov- shuvli muvaffaqiyatga erishdi va butun dunyo bo'ylab tarqaldi. Ilm-fan tarixida birinchi marta matematik hisob-kitoblar natijalari badiiy asar sifatida keng ommaga namoyish etildi. Ikki yil o'tgach, ko'rgazmada taqdim etilgan materiallar 1993 yilda Rossiyada nashr etilgan Peter Rixter va Xants-Otto Peitgenning "Fraktallarning go'zalligi" kitobida to'plangan. Rixter va Peitgen chiziqli bo'lmagan fraktallarning go'zalligi va xilma-xilligi bilan tom ma'noda hayratga tushishdi. Fraktal bum butun sayyorani qamrab oldi va ikkinchi ming yillikning oxirida fanning belgilaridan biriga aylandi.
Fraktal algoritmlarning hayratlanarli soddaligi va shakllarining ajoyibligi fraktal geometriyani tabiatning morfologik xususiyatlarini tasvirlash uchun noodatiy samarali vositaga aylantirdi. “Donolik soddalikdadir”, deb bejiz aytishmagan. Yagona oddiy, xilma-xil kompleksni belgilaydigan printsipni butun olamning tuzilishida kuzatish mumkin. Bu tamoyil tirik organizmning bir hujayrasi butun organizm haqidagi barcha ma'lumotlarni o'z ichiga olganida, odamlar va hayvonlarning genomiga kiritilgan.
20-asrning oxiri nafaqat fraktallar deb ataladigan hayratlanarli darajada chiroyli va cheksiz xilma-xil tuzilmalarning kashf etilishi, balki tabiat geometriyasining fraktal tabiatining yaratilishi bilan ham belgilandi. Agar tabiatshunoslik tongida Galiley tabiat kitobi aylana va uchburchaklar tilida yozilgan deb taʼkidlagan boʻlsa, 20-asr oxiriga kelib tabiat kitobi chiziqli boʻlmagan fraktallar tilida yozilganligi maʼlum boʻldi. . Sohillarning g'alati konturlari va daryolarning murakkab yo'nalishlari, tog' tizmalarining singan sirtlari va bulutlarning g'alati konturlari, yoyilgan daraxt shoxlari va qon tomirlari va neyronlarning shoxlangan tarmoqlari, shamning qo'rqoq miltillashi va tog' daryolarining ko'pikli notinch oqimlari - bularning barchasi fraktallardir. . Ba'zi fraktallar, masalan, bulutlar yoki turbulent oqimlar, o'zlarining konturlarini doimiy ravishda o'zgartiradilar, boshqalari, masalan, daraxtlar yoki neyron tarmoqlari, tuzilishini o'zgarishsiz saqlaydilar. Fraktal tuzilmalarning ikkala turiga ham umumiy bo'lib, ularning o'ziga o'xshashligi - fraktallardagi asosiy qonun - koinot xilma-xilligidagi birlik qonunining amalga oshirilishini ta'minlovchi asosiy xususiyatdir.
Tabiiy ob'ektlarning konturlari tartib va tartibsizlikning ma'lum bir almashinuvi bilan tavsiflanadi. Tartib va tartibsizlik, Kosmos va Xaos uyg'unligi, ko'rinishidan, tabiatning eng yuqori tamoyillaridan biridir.
Tartib va tartibsizlik uyg'unligi ta'sirida bizning go'zallik tuyg'umiz paydo bo'ladi. Hegel aytganidek: "Dunyo uyg'unlik va disgarmoniya uyg'unligidir". Va Jon Apdayk aytdi: "Inson - uyg'unlik, tabiiy - disgarmoniya".
Darhaqiqat, oqshom osmoni fonida bargsiz bo'ronlar bilan egilgan daraxt silueti negadir qalbimizni ta'sir qiladi, lirik, g'amgin, lekin go'zal, she'riy fikrlarni bildiruvchi narsa sifatida qabul qilinadi.
Qurigan daraxt qalbimizda javob uyg'otadi va ulug'vor geometrik universitet binosi, me'morning barcha sa'y-harakatlariga qaramay, bizni befarq qoldiradi. Nega?
Geometrik deb ataladigan binolar oddiy shakllarga ega - to'g'ri chiziqlar va doiralarning kombinatsiyasi. Oddiy shakllar inson uchun begona, tabiatning tashkil etilishi va odamlarning dunyoni idrok etish uslubiga mos kelmaydi.
Geometrik shaklning o'lchovi, uning uchun xarakterli o'lchami bor. Betartiblik tadqiqotchilarining fikricha, haqiqiy san’at yaratilayotganda muhim detallar bir necha katta-kichik masshtablarda takrorlanib turadigan ma’noda aniq ko‘lamga ega emas.
Xaos va Kosmosning uyg'unligi bizning go'zallik g'oyamizni shakllantiradi.
Yaqindan o'rganib chiqqach, turli dinlar va ekzotik maktablarning barcha ramziyligi, shuningdek, ba'zi bir fundamental geometrik fundamental printsipga - o'zgartirilgan xoch tasviriga asoslangan fraktal tuzilmalarning elementlarini o'z ichiga olganligi ma'lum bo'ldi. Tashqi me'moriy soha - Evrosiyo nasroniy monastirlari, buddist datsanlar va ibodatxonalari, islom masjidlari, Misr piramidalari, Mayya tsivilizatsiyasining piramidal tuzilmalari va boshqalarning kub-piramidali shakli bir xil fraktal asosni o'z ichiga oladi - uch o'lchamli xoch va yozuv. kuboktaedr sharga aylanadi. Binobarin, fraktal shakllar fundamental texnologiyalarning ramzi emas, aksincha, fundamental ezoterik texnologiyalar koinotimizning axborot fundamental printsipining fraktal tuzilishining namoyonidir.
Ma'lum bo'lishicha, fraktal algoritmlarning hayratlanarli soddaligi va shakllarining hayratlanarli ko'rkamligi fraktal geometriyani tabiat va insonning morfologik xususiyatlarini tasvirlash uchun noodatiy samarali vositaga aylantirgan. Buyuk yunon faylasufi, neoplatonizm asoschisi Plotin bundan ikki ming yil avval shunday yozgan edi: “Agar quyoshning o‘zi bo‘lmaganida, ko‘z hech qachon quyoshni idrok eta olmas edi; xuddi shunday, ruhning o'zi go'zal bo'lmaguncha go'zalni ko'ra olmaydi va hokazo. Go'zallik va ilohiylikni ko'rish uchun har bir inson go'zal bo'lishi va o'zini ilohiylashtirishi kerak. Bu bayonot butunning o'zaro ta'sir qiluvchi ikkita qismining o'xshashligini ta'kidlaydi (ko'z - quyosh, ruh - ilohiy modda).
Mandelbrot tomonidan o'rganilgan jarayonlar turli xil fizikaviy va matematik masalalarda paydo bo'ladi. Bunday raqobatda hududlar o'rtasidagi oddiy chegaralar kamdan-kam hollarda paydo bo'ladi. Ko'pincha, hatto eng kichik syujetlar uchun ham aralashish va davomli kurash bor. Aynan shu chegara hududida bir shaklning ikkinchisiga o'tishi sodir bo'ladi: tartibdan tartibsizlikka, tartibsizlikdan uyg'unlikka. Mandelbrotning tadqiqotlari tufayli paydo bo'lgan xaotik tuzilmalarni tasniflash va o'rganish imkoniyati shubhasiz oldinga qadam edi. Ilgari istisnolar - matematikaning "yirtqich hayvonlari" va "yirtqich hayvonlari" qoidalarga aylandi va klassik geometriya istisno bo'ldi. Sog‘lom fikr esa, H.xon so‘zlaridan farqli o‘laroq, endi cheksiz buzib tashlangan chegaralarga e’tiroz bildirmaydi, chunki u yana ularni atrofida ko‘rishni o‘rgangan.