Fraktallar geometriyasi: jozibador va beto‘xtov olam

Fraktallarning cheksiz uzunligi va o‘lchamligi
Endi esa, muhim bir paradoks: sirkul qadami orasi qanchalik mayda bo‘lsa, bizga chegara chizig‘i uzunligini o‘lchab chiqish uchun shunga muvofiq ko‘proq vaqt talab etiladi. Va «maydalashgan sari uzoqroq» qoidasidagi bu o‘yin cheksiz davom etishi mumkin. Chunki, biz chegaraning butun uzunligini sirkulning mayda qadamlariga borgan sari yana va yana maydaroq qadamlarga bo‘lish bilan cheksiz davom ettirishimiz mumkin. Agar siz chegara hududidagi qishloqlardan biri yaqinida havo sharida osmonga ko‘tarilib, chegaraga nazar solsangiz, siz o‘lchamoqchi bo‘lgan butun chegara uzunligini kichik bir bo‘lagidan iborat mitti modelini ko‘rishingiz mumkin. Biz bunday o‘lchashlarda, ayniqsa qog‘ozga tushirilgan proyeksiyalarda Yevklid geometriyasiga tayanib ish ko‘rishga o‘rganib qolganmiz. Lekin, haqiqiy holatda esa bunday o‘lchashlar uchun Yevklid geometriyasi bizga yordam bera olmaydi. Bu o‘rinda biz fraktal geometriyaga murojaat qilishimiz kerak. Yevklid geometriyasida obyektning o‘lchami tushunchasi intuitiv ravishda tushunarli narsadir: unda har qanday chiziq – bir o‘lchamli. Masalan, elektr simi faqat bir o‘lchamli – uning uzunligi bor xolos. Tekislik esa ikki o‘lchamli – masalan, stol yuzasi shunday. Sfera va shunga o‘xshash uch o‘lchamli jismlarni ham yaxshi bilamiz. Biz shuningdek, to‘rt o‘lchamli fazo haqida ham eshitganimiz bor (nisbiylik nazariyasiga ko‘ra, vaqt to‘rtinchi o‘lcham bo‘ladi). Fraktallarning o‘ziga xos tarafi shundaki, ularning o‘lchamligi butun son orqali ifodalanmaydi. Masalan, biz o‘lchamoqchi bo‘layotgan chegara chizig‘i o‘lchamligi 1 yoki, 2 emas, 1,25 bo‘lishi mumkin. fraktalning o‘lchamligini aniq aytish va matematikadan yiroq bo‘lgan oddiy til bilan tushuntirish biroz qiyin. Lekin, bu borada ham ayrim, intuitiv tushunarli jihatlar borki, mutaxassisligi matematikadan yiroq bo‘lgan odamlarga ham fraktallar haqida umumiy tasavvur bera oladi. Masalan, bir chegara chizig‘i 1,2 fraktal o‘lchamlikka ega bo‘lsa va yana boshqa biri 1,4 fraktal o‘lchamlik kasb etsa, bundan kelib chiqib, birinchi fraktal bilan belgilangan chegara chizig‘i nisbatan tiniqroq, ikkinchisi esa, biroz dag‘alroq ekanini xulosa qilish mumkin bo‘ladi.
Kantor to‘plami
Eng mashhur fraktallardan birini 1883-yilda, to‘plam nazariyasi muallifi Georg Kantor tomonidan tuzilgan. Bu fraktal quyidagicha yasaladi: to‘g‘ri chiziq olib, uni uchta teng qismga bo‘lamiz va o‘rtadagisini olib tashlaymiz.

Keyin xuddi shu jarayonni qolgan ikki qism bilan takrorlaymiz.

Va shu tarzda yana davom etamiz:

Endi, tasavvur qilingki, ushbu jarayon bir necha ming marta takrorlandi. Oxir-oqibatda biz, fraktal strukturaning eng mayda-mayda zarra shakllarini ham hosil qilamiz. Kantor fraktalining haqiqiy ahamiyatini matematiklar tushunib yetgunicha ancha vaqt kerak bo‘ldi, Garchi, tashqi ko‘rinishidan u unchalik ham jozibador fraktal bo‘lmasa-da, lekin, u eng ahamiyatli fraktallardan biri sanaladi. Xossatan, ushbu fraktalni Saturn halqalarining taqsimlanishi singari qiziqarli va muhim fizik hodisalarni o‘rganishga tadbiq qilinadi. Ekonometriyada, narx-navoning keskin o‘zgarishlari, yoki, raqamli aloqa tizimlarida tarmoqdagi xalaqitlarning yuzaga kelishi sabablarini o‘rganishda ham aynan Kantor fraktalidan foydalaniladi. Nil daryosining so‘ngi 2000 yil mobaynidagi sath o‘zgarishlari, yoki, Koinotda galaktika va yulduzlarning joylashish tartiblari ham fraktal strukturalar orqali ifodalanadi.