Функционал ва даражали қаторлар

Функционал ва даражали қаторлар
Режа:
1. Функционал қаторлар ҳақида тушунчалар.
2. Даражали қаторлар ва уларнинг хоссалари.
3. Тейлор ва Маклорен қаторлари.
4. Функцияларни даражали қаторларга ёйиш.
5. Қаторларнинг тақрибий ҳисоблашга татбиқлари.
Таянч ибора ва тушунчалар

Функционал қатор, яқинлашиш интервали, яқинлашиш радиуси, даражали қатор йиғиндиси, даражали қаторни ҳадлаб интеграллаш ва дифференциаллаш, Тейлор қатори, Маклорен қатори, биномиал қатор, тақрибий ҳисоблаш, яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари, функцияларни даражали қаторларга ёйиш.

1. Функционал қаторлар ҳақида тушунчалар.

функциялар кетма-кетлиги бўлсин.
1-таъриф. (1)
ифодага функционал қатор дейилади. (1) да бирор сон бўлса, қўйидаги сонли қаторни ҳосил қиламиз
(2)

(2) сонли қатор яқинлашувчи бўлса, (1) функционал қатор нуқтада яқинлашувчи дейилади ва нуқтага яқинлашиш нуқтаси деб аталади.

1-мисол. (3)
функционал қатор нуқтада яқинлашувчидир, чунки

сонли қатор яқинлашувчи.
Берилган (3) функционал қатор нуқтада узоқлашувчи, чунки


.
сонли қатор узоқлащувчи.
Функционал қатор яқинлашувчи бўлган нуқталар тўпламига, унинг яқинлашиш соҳаси дейилади.


2. Даражали қаторлар ва уларнинг хоссалари.
(4)
функционал қаторга даражали қатор дейилади. ўзгармас сонлар, даражали қаторнинг коэффициентлари деб аталади.
Даражали қатор шундай хоссага эгаки, у нуқтада яқинлашувчи бўлса, тенгсизликни қоноатлантирувчи ҳамма лар учун ҳам яқинлашувчи бўлади. Даражали қатор учун шундай сон мавжудки, учун, қатор абсолют яқинлашувчи учун қатор узоқлашувчи, яъни оралиқда даражали қатор абсолют яқинлашувчи, нуқталарда ҳосил бўлган қатор яқинлашувчи ёки узоқлашувчи бўлиши мумкин. Ҳар икки нуқтада қатор яқинлашишини алоҳида текшириш керак бўлади. интервалга яқинлашиш интервали, га даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси дейилади. Яқинлашиш радиуси бўлиши мумкин бўлса, даражали қатор фақат нуқтада, бўлса, бутун сонлар ўқида яқинлашувчи бўлади.
Яқинлашиш интервалини, берилган қаторнинг абсолют қийматидан тузилган қатор учун Даламбер ва Коши белгиларидан фойдаланиб топиш мумкин. Даражали қаторнинг ҳамма коэффициентлари 0 дан фарқли бўлса, яқинлашиш радиусини топишда

формуладан фойдаланилади. Бошқа ҳолларда бевосита Даламбер белгисидан фойдаланиб яқинлашиш интервалини топиш мумкин.
2-мисол.
даражали қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш: . Қаторнинг яқинлашиш радиусини
топамиз.
.
Демак, тенгсизликни қаноатлантирувчи ҳамма лар учун қатор яқинлашувчи.
Қатор яқинлашишини интервалнинг четки нуқталарида текширамиз: бўлсин. Бу ҳолда

гармоник қатор ҳосил бўлиб, у узоқлашувчидир. бўлсин, бу ҳолда

сонли қатор ҳосил бўлиб, у Лейбниц белгиси шартларини қаноатлантиргани учун яқинлашувчи бўлади.
Шундай қилиб, берилган қаторнинг яқинлашиш интервали
дан иборатдир.
3-мисол.
даражали қатор яқинлашишини текширинг.

Ечиш. бўлганлиги учун

.

Демак, интервалда қатор яқинлашувчи. Интервалнинг четки нуқталарида қатор яқинлашишини текширамиз. бўлсин, бунда

сонли қатор ҳосил бўлиб, интеграл белгидан фойдалансак унинг яқинлашувчилиги келиб чиқади(бажариб кўринг). бўлса,

сонли қатор ҳосил бўлиб, у абсолют яқинлашувчидир.
Шундай қилиб, берилган қаторнинг яқинлашиш интервали бўлади.