Функционал ва даражали қаторлар

3. Тейлор ва Маклорен қаторлари. функция нуқтада тартибгача ҳосилаларга эга бўлса, у ҳолда қўйидаги Тейлор формуласи ўринлидир:

бу ерда бўлиб, Лагранж
шаклидаги қолдиқ ҳади дейилади.
да Тейлор формуласининг хусусий ҳоли - Маклорен формуласи ҳосил бўлади:



функция нуқта атрофида исталган марта дифференциалланувчи бўлса ва бу нуқтанинг бирор атрофида

бўлса, Тейлор ва Маклорен формулаларидан

қаторлар ҳосил бўлади. Буларнинг биринчиси Тейлор қатори, иккинчисига Маклорен қатори дейилади.
Бу қаторлар нинг бўладиган қийматларида га яқинлашади.
А нуқтани ўз ичига олувчи бирор интервалда исталган учун ( бирор мусбат сон) тенгсизлик бажарилса,
бўлади ва функция Тейлор қаторига ёйилади.
4. Функцияларни даражали қаторларга ёйиш
Айрим функцияларни даражали қаторга ёйямиз.
1) , исталган учун

Буларни Маклорен қаторига қўйиб,

ҳосил қиламиз. Охирги тенгликдан десак,

бўлиб, сони қатор йиғиндиси кўринишида ифодаланади. Бундан фойдаланиб сонининг тақрибий қийматини исталган даражадаги аниқликкача ҳисоблаш мумкин.
2) . Исталган учун

Бундан



бўлиб,буларни Маклорен қаторига қўйсак,



ҳосил бўлади.
Бу қатор исталган учун яқинлашувчи . Охирги қаторни ҳадлаб дифференциалласак,

қатор ҳосил бўлади, бу функция учун Маклорен қатори бўлади.
3) Худди юқоридагидек усул билан функция учун

қаторни ҳосил қиламиз. Бу қаторга биномиал қатор дейилади. У интервалда абсолют яқинлашувчи бўлади.

4) функция учун юқоридаги усул билан



ёйилмани ҳосил қилиш мумкин.
5 -мисол. функцияни нинг даражалари бўйича қаторга ёйинг.
Ечиш. Юқоридаги учун келтирилган қаторда ни билан алмаштирсак,

бўлади. Бу қатор исталган учун яқинлашувчидир, бироқ функция да аниқланмаганлигини ҳисобга олиб, ҳосил қилинган қатор функцияга да яқинлашади.