Funksional analiz

|x₁ - x 2| < 8 59
-- - 60
+ —< k + — < k, k = max k +—, 60
- 60
- 61
\f⁽x)^- )| = |^{f (}x)^{- f (}x_k) + ^{f (}x_k)^- ) + ^И xk)^{- И} x )| < < I^{f (}x)^{- f (}xk )|⁺1^{f (}xk)^- ^⁽ xk )|⁺И xk)^- ^⁽ x )| 61
7-§. Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar 63
7.1.Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida. 63
7.2.Uzluksiz funksionalning xossalari. 63
7.3.Kantor teoremasi. 64
|^f(x2 ⁾ — ^f(x 1 ) < ^ 64
1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari 66
2-§. Normalangan fazolar 70
s 73
s 73
+ | ^fm ⁽x 0) - ^{f (}x 0)| ^| |^f - ^fm\ |+ J + | |^f - ^fm\|< 3^ + 3^ + 3^ = ^S 73
3-§. Evklid fazolari 74
0 < ф < п. 76
cosф = 76
|^(X,у) -^(Xn,у_п) < |⁽X,у -у_п) + |⁽X-^Xn,у_п) <||^X|| ||у -у_п\| + |I^х- ^Xn|| ||уп|| 76
||х + у| |² +1 |х - у| |² = 2 (| |x| |² +1 |у| |²) 76
4-§. Gilbert fazolari 78
H = ^lim|Ixnll = ^limV⁽xn , xn 78
5 - §. Chiziqli funksionallar 83
2.1.Chiziqli funksional uzluksizligi. Normalangan fazolardagi chiziqli funksionallar. 83
2.2.Chiziqli funksional normasi. Qo‘shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi. 85
6-§. Chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning uzluksizligi, xossalari 87
6.1. Chiziqli fazolardagi chiziqli operatorlar 87
6.2.Normalangan fazolardagi chiziqli operatorlar 88
^holda II У oil =^{1 va} ||T> o| 1 = Exo x₀ 90
6.3.Chiziqli operatorlar fazosi 91
IV BOB. FUNKSIONAL ANALIZNING VARIATSION HISOBDAGI TATBIQI 103
1-§. Differensial, funksionalning variatsiyasi 103
д • d • д d • • д д df . , , . 105
2-§. Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi 106
3-§. Eyler tenglamasi 109
J 7-h⁽x)⁺ 110
J Я1? 110
4-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi 112
ds 1+ + У % 112
¹⁺^’²^-y, ^y = C=-U-. 113
^y1⁽¹+y^,2) VCI 113
y^,2 = — ^y 113
01 - sin 01 _ x funksiyalar, to‘plamida qarab, boshqa statsionar nuqta topganimiz yo‘q. Demak, bu holda masala bir qiymatli yechiladi. 114
5-§. Eng kichik yuzli aylanma sirt haqidagi masala 116
6-§. Funksional analizning variatsion hisobdagi boshqa tatbiqlari haqida 118
1-§. Banax algebralari 120
(x,a) + (y, в) = (x + У,a + в), /(x,a) = ( yx, ya), 121
(x ,a )•( y, в ) = ( xy + a y + ex ,яв), 121
||( x ,a)-( y, в )|| = || (xy + a y + fix ,a0) || = || xy + a y + fix || + |a^| < 121
xnyy,- - xy|| = ||(^xn — ^x) У_п + ^x (У_п — У )|| ^- 122
-I l^y 1’1 l^{x - x}ll+1 l^xl I ’I\n—^{- y}ll ^ 0 122
ь * я=1 kl=1 126
- X XIxn41у^ 126
2-§. Involyutiv algebralar 127
3-§. Spektr va rezolventa 129
xlln⁺¹ 130
<^x 130
^<1-H 130
(Ле - x)^-1 = (Ле - x” )-1 (Л^-1e + Л-2x + ••• + xⁿ-1) 132
4-§. Gilbert fazosida aniqlangan operatorlar 132

tengsizlikka ega bo‘lamiz. (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi.

1. 
   tengsizlikda z va u ni mos ravishda xn va yn bilan almashtirilsa, |p(x,y) - p(xn,yn)|< p(x,xn) +p(y,yn)
   

tengsizlik hosil bo‘ladi. Bu tengsizlikning o‘ng tomoni, teorema shartiga ko‘ra nolga intiladi, bundan esa p(x_n ,yn) ^p (x ,y) kelib chiqadi.
Quyidagi teorema ravshan.
3-teorema. Agar {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashsa, u holda bu ketma- ketlikning ixtiyoriy {x_nk} qism ketma-ketligi ham shu x ga yaqinlashadi.
4-teorema. Agar {xn} ketma- ketlik x ga yaqinlashsa va x0eX tayin bir element bo‘lsa, u holda {p(x_n ,x₀)} sonlar to‘plami chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. {p(xn,x)} sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli, u chegaralangan bo‘ladi. Uning yuqori chegarasini K bilan belgilaymiz. Metrikaning uchburchak aksiomasiga ko‘ra
p(xn ,x0)< p(xn ,x)+p(x ,x0)< K+p(x ,x0)=K1.
Teorema isbot bo‘ldi.

3. 
   Ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nolari.
   

1. 
   Trivial metrik fazoda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun bu ketma-ketlikning hamma elementlari biror hadidan boshlab bir-biriga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
   
2. 
   n-o’lchamli Evklid fazosida {xk} ketma-ketlikning x elementga yaqinlashishi uchun, xk vektor koordinatalari, mos ravishda x vektor koordinatalariga yaqinlashishi zarur va yetarli.
   

Haqiqatan ham, agar R 2n da p(xk,x) = № (x(k) - x_t )² ^0 (k^ x) bo’lsa, u V i =1
holda x^(k) ^ x_i,i=1,2,...,n (k^ x) bo‘ladi.

3. 
   {x_n(t)} ketma-ketlik C[a;b] fazoning elementlari va x_n(t) ^x(t) eC[a;b], ya’ni
   

p(x_n,x) = max | x_n(t) -x(t)\ ^0, n^x a < t < b
bo‘lsin. Bundan, ixtiyoriy s>0 soni uchun shunday n₀=n₀(£) natural son topiladiki, t e[a;b] bo‘lganda
max | x_n(t) -x(t)l<£ a<t<b
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, te[a;b] ning barcha qiymatlari uchun n>n₀ bo‘lganda I xn(t) —x(t)l<£
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa {xn(t)} ketma-ketlikning x(t) funksiyaga tekis yaqinlashishini bildiradi. Va aksincha, {xn(t)} ketma-ketlik [a;b] kesmada x(t) ga tekis yaqinlashsa, u holda p(x_n,x) ^0 bo‘ladi. Demak, C[a;b] fazoda metrika ma’nosida yaqinlashish matematik analizdan ma’lum bo‘lgan tekis yaqinlashish tushunchasi bilan ustma-ust tushar ekan.
Tekshirish savollari

1. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ta’riflang.
   
2. 
   Ketma-ketlik limitining yagonaligi haqidagi teoremani isbotlang.
   
3. 
   R², R³ va C[0;1] fazolarda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarga misollar
   

keltiring.
Mashqlar

1. 
   Agar xn^a va p(x_n,yn)^0 bo’lsa, u holda yn^a ekanligini isbotlang.
   
2. 
   Quyidagi funksiyalar ketma-ketligi ko’rsatilgan fazoda f(x)^0 funksiyaga yaqinlashadimi?
   

nx

1. 
   fn(x)= — a) C[0;1]; b) Ci[0;1];
   

1 + n²x²

2. 
   fn(x) =xe”, a) C[0;10]; b) Ci[0;10];
   

1 1 2

3. 
   fn(x)=n~*j2xee, a) C[0;1]; b) C2[0;1];
   

sin nx

4. 
   f_n(x) = n , a) C[-n;n]; b) C1[-n;n];
   

3. 
   R2, Rn, R” fazolarda metrikaga nisbatan yaqinlashish bilan birgalikda koordinatalari bo‘yicha yaqinlashish tushunchasi ham qaraladi. Agar limx^(k)m=xm k ^X
   

(m=1, ...,n) bo’lsa, u holda (x^(k))=((x^(k) _h x⁽ⁱ⁾₂, .^, x^kn)) nuqtalar ketma-ketligi x=(x_1f x₂,^, xn) nuqtaga koordinatalar bo’yicha yaqinlashadi deyiladi. Mn= nuqtalar ketma-ketligi koordinatalar bo‘yicha qanday nuqtaga yaqinlashadi? Bu ketma-ketlik R ₂ⁿ , R₁ⁿ , R ⁿ_x fazolarda shu nuqtaga yaqinlashadimi?

3. 
   Rⁿ₂ fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning koordinatalar bo‘yicha ham yaqinlashuvchi va aksincha, koordinatalar bo‘yicha yaqinlashuvchi ketma- ketlikning metrika bo‘yicha ham yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
   

5-§. Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar

1.